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2001年北京市西城区第一次模拟试题数学试卷（理科）

来源：华拓科技网




2001年北京市西城区第一次模拟试题数学试卷（理科）

学校________

___ 班级____

_______ 姓名 _____

______


题号

一

二

三

总分

（17）

（18）

（19）

（20）

（21）

（22）

分数










一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的。每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

答案

A
B

C
D

A
B

C
D

A
B
C
D

A
B
C

D

A
B
C
D

A
B
C
D

A
B
C
D

A
B
C
D

A
B
C
D

A
B
C
D

A
B
C
D

A

B
C
D


1、已知集合

P

?

?(

x ,

y

)

|

x

?

y

?

1?，

Q

?

?(

x ,

y

)

|

x

2

?

y

2

?

1?

，则（）.

(A)

P ?

Q

(B)P=Q

(C)

P ?

Q

(D)

P

?

Q

?

Q

2、设

?，

?均为第二象限角，且

sin

??

sin

?，则下列不等式成立的是（）.

(A)

tg??

tg?

(B)

ctg??

ctg?

(C)

cos??

cos

?

(D)

sec??

sec

?




3、如右图，正方体ABCD–A 1 B 1 C 1 D 1中，EF 是异面直线AC

和A1 D的公垂线，则EF 和BD 1的关系是（）.

（A）相交不垂直 （B）相交垂直

（C）异面直线 （D）互相平行



4、设

a

?

1

cos

6?

?

3

sin

6?

，

b

?


2 tg 13?

，

c

?

1

?

cos

50?

，则有（



）.



2


2



1

?

tg

2

13?


2






(A) a>b>c

(B)a<b<c

(D)b<c<a

(C)a<c<b



3

sin

?)

5、已知圆的极坐标方程为

?2

?

2?(cos?

?

?

5

，则此圆在直线?

?

0

上截得的弦长

为（

）.

(C)

2

3

(D) 3

(A)

6

(B)

2

6

6、甲，乙，丙三个单位分别需要招聘工作人员2 名、1 名、1 名，现从10 名应聘人员中招

聘4 人到甲，乙，丙三个单位，那么不同的招聘方法共有（ ）.

(A) 1260 种 (B)2025 种 (C) 2520 种 (D) 5040 种

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7、设

f

(

x

)

?

( 1

?

x

)

?

( 1

?

x

)

2

?

?

?

( 1

?

x

)

n

，在

f

(x

)

中

x

2

的系数为

T

n

，则

lim

n??

n

Tn 3 ?

2

n

等于

（

）.

(A)

1

（B）

1

（C）

1

（D）2

3

6

?

3

的位置关

8、直线

x

?

3

y

?

0

绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆

(

x

?

2 )

2

?

y

2

系是（

）.

(A)直线与圆相切

(B) 直线与圆相交但不过圆心

(C)直线与圆相离

(D) 直线过圆心

9、若

x

?

( 1 ,

2 )

时，不等式

(

x

?

1 )

2 ?

log

a

x

恒成立，则a 的取值范围是（）.

(A) (0,1)

(B) (1,2)

(C)

?1 ,

2

?

(D)

?1 ,

2

?

10、某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是

y

?

3000

?

20

x

?

0 . 1 x

2

(

0

?

x

?

240 ,

x

?

N

)

，若每台产品的售价为25 万元，则生产者不亏

本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）.

(A) 100 台

x

(B) 120 台

?

1

(C)150 台

(D) 180 台

11、已知方程

2


?


y

2

表示焦点y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）.


m

?

1


2

?

m




(A) m<2

(B) 1<m<2

(C) m<–1 或1<m<2

(D)m<–1 或

1

?m

?

3









2

12、对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：（1）与a是异面直线；（2）与 a所成的角为定值?；（3）与a的距离为定值d.那么，这样的直线b有（）.

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数条
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。共16分，把答案填在题中横线上。

13、已知

a

?

arcsin(?

3

)

，则

sina

的值是__________。



5



2

14、过抛物线

y

2 ?

4

x

的焦点，且倾斜角为

3?

的直线交抛物线于P、Q 两点，O 是坐标原点，




4

则

?OPQ

的面积等于___________.

15、将一个圆形纸片沿其两个半径剪开，得到两个扇形，它们的圆心角之比为1∶2，再将 它们当作圆锥侧面卷成两个圆锥，则这两个圆锥的体积之比是______________.

16、定义在

(

??,

??

)

上的偶函数

f

(x

)

满足：

f

(

x

?

1 )

?

?

f

(

x

)

，且在

??

1 ,. 0

?

上是增函数，下

面是关于

f

(x

)

的判断：

2

①

f

(x

)

是周期函数；

②

f

(x

)

的图象关于直线x=1 对称；

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③

f

(x

)

在

?0 , 1?

上是增函数；

④

f

(x

)

在

?1 ,

2

?

上是减函数；

⑤

f

(

2 )

?

f

(

0 )

.

其中正确的判断是___________________(把你认为正确的判断都填上).

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）

已知由正数组成的等比数列??n ，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，

第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列??n 的通项公式.

18、（本小题满分12分）

已知复数z1?x?ai，z2?x?bi(b?a?0, x?0)的幅角主值分别为?,?，求tg(???)的

最大值及对应的x的值.

19、（本小题满分13 分）

A1

A

与AB，AC

如图，已知三棱柱

A 1

B 1

C 1

?

ABC

的底面是边长为2 的正三角形，侧棱

均成45°角，且

A 1

E

?

B 1

B

于E，

A 1

F

?

CC 1

于F.

（I）求证：平面

A1

EF

?

平面

B 1BCC 1

；

（Ⅱ）求点A 到平面

B 1BCC 1

的距离；

（Ⅲ）当

AA 1

多长时，点

A 1

到平面ABC 与平面

B 1BCC 1

的距离相等？

20、（本小题满分12分）

某乡为提高当地群众的生活水平，由投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从

甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每年上交的利润是：甲企

业以1.5 倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的

2

。根据测算，该乡从两个企业获


3


得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平.

（1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，该

年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？

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（2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？

21、（本小题满分12分）
椭圆中心是坐标原点O，集点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，

且

OP ?

OQ

.求椭圆离心率e 的取值范围。

(x

)

的图象关于直线

x

?

1

对称，而

22、（本小题满分13 分）

设

f

(x

)

是定义在

??

1 , 1?

上的奇函数，

g

(x

)

的图象与

f

)

?

f

(

x 1

)

?

2

x

2

?

x 1

；

当

x

?

?2 , 3?

时，

g

(

x

)

?

?

x

2

?

4

x

?

c

（c 为常数）

（1）求

f

(x

)

的表达式；

（2）对于任意

x 1

，

x

2?

?0 , 1?

且

x ?1

x

2

，求证：

f

(

x

2

（3）对于任意

x 1

，

x

2?

?0 , 1?

且

x ?1

x

2

，求证：

f

(

x

2

)

?

f

(

x 1

)

?

1.

数学（理科）答案及评分标准

一、ACDCB

10

CBACC

DD

10

；（16）①②⑤.

二、（13）

?

；（14）2

2

；（15）1：



10






三、解答题：其它解法仿此给分.

（17）解：∵q=1 时

S n ?

2na 1

，

S

偶数项

?

na 1


又

a 1?

0

显然

2

na ?1

11 na 1

q≠1 ………………………………………………2 分

∴

S

2

n

?

a 1

( 1

?

q

2

n

)

?

S

偶数项

?

a 1 q

( 1

?

q

2

n

)

……………………………………4 分

1

?

q

1

?

q

2




依题意

a 1

( 1

?

q

2

n

)

?

11

?

a 1 q

( 1

?

q

2

n

)

1

?

q

1

?

q

2


解之

q

?

1

……………………………………………………………………6 分

10


又

a 3

?

a

4

?

a 1 q

2

( 1

?

q

),

a

2

a

4

?

a 1

2

q

4

，………………………………………8 分

依题意

a 1 q

2

( 1

?

q

)

?

11 a 1

2

q

4

，将

q

?

1

代入得

a?

10

…………………10 分

10

1



a

n

?

10

?

(

1

)

n

??

10

2

?

n

………………………………………………………12 分

10



（18）解：由题设知

tga

?

a

,

tg?

?

b

且0

?

??

??

?

…………………………………4 分

x

x

2

4

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∴

tg

(??

?)

?

tg??

tg?

?

b

?

a

…………………………………………6 分


1

?

tg?tg?

x

?

ab


x


∵

x

?

0 ,

ab

?

0且x

?

ab

?

ab

为定值…………………………………………9 分

x

x


所以，当且仅当

x ?

ab

即

x ?

ab

时，

x ?

ab

取得最小值

2

ab

………11 分

x

x



此时

tg

(??

?)

取最大值

b

?

a

……………………………………………12 分

2

ab

（19）解：（Ⅰ）证明；已知

A 1

E

?

B 1

B于E

,

A 1

F

?

C 1 C

于F，

∵

B1

B

∥

C1 C

，∴

B 1

B

?

A 1

F

……………………………………………1 分

又

A 1

E

?

A 1

F

?

A

.∴

B 1

B

?

平面A 1

EF

所以，平面

A 1

EF

?

平面B 1

BCC 1

…………………………………………3 分

（Ⅱ）因为

?A 1

B 1

B

?

?A 1

AB

?

A 1

AC

?

?A 1 C 1 C

?

45?,

A 1

B 1

?

A 1 C 1

，

又

?A 1

EB 1

?

?A 1

FC 1

?

90?.

A 1

B 1

?

2

∴

Rt?A 1

B 1

E

≌

Rt?A 1 C 1

F

，∴

A 1

E

?

A 1

F

?

2

∴

B1

E

C1

F

，∴EF=

B 1 C 1

?

2

∴

A 1

E

2

?

A 1

F

2

?

EF

2

∴

?A 1

EF

为等腰直角三角形……5 分

取EF 的中点N，连

A 1

N

，则

A 1

N

?

EF

，

所以

A 1

N

?

平面B 1

BCC 1

………………………………………………………………6 分

所以

A 1

N

为点

A 1

到平面

B 1BCC 1

的距离。

又

A 1

N

?

1

EF

?

1

2

5

所以点

A 1

到平面

B 1BCC 1

的距离为1. ………………………………………………8 分

（Ⅲ）设BC，

B 1C 1

的中点分别为D，

D 1

连AD，

DD 1

和

A 1D 1

，则N∈

DD 1

∵

DD 1

∥

BB 1

∥

AA 1

，∴A，

A 1

，D，

D 1

四点共面，∴AD∥

A 1D 1

∴

A 1ADD 1

为平行四边形，……………………………………………………………9 分

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∵B1C1?A1D1,A1N?平面BCC1B1

∴B1C1?D1D,又B1C1?A1N

∴B1C1?平面ADD1A1

∴BC?平面ADD1A1

∴平面A1ADD1?平面ABC …………………………………………………………10分

作A1M?平面ABC于M,则点M在AD上，

若A1M?A1N,又?A1AD??A1D1D,?A1MA??A1ND1?90?，

则Rt?A1MA≌Rt?A1ND1

于是A1A?A1D1? 3 …………………………………………………………………12分

即当A1A? 3时，点A1到平面ABC和平面B1BCC1的距离相等.……………………13分

（20）解：（Ⅰ）若以1997年为第一年，则第n年该乡从这两家企业获得的利润为

y


?

320

?

(

3

)

n

?1

?

720

?

(

2

)

n

?1

,

(

n

?

1 )

…………………………………………………2 分


n


2

3

=

80 [

4

?

(

3

)

n

?1

?

9

?

(

2

)

n

?1

]

?

2

?

80

?

4

?

(

3

)

n

?1

?

9

?

(

2

)

n

?1

2

3




2








3



=

2

?

80

?

6

?

960

………………………………………………………………………5 分

当且仅当

4

?

(

3

)

n

?1

?

9

?

(

2

)

n

?1

，即n=2 时，等号成立，

2

3

所以第二年（1998年）上交利润最少，利润为960万元。…………………………7分

由2000–960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题。……8分

（Ⅱ）2005年为第9年，该年可从两个企业获得利润

y 9

?

320

?

(

3

)

8

?

720

?

(

2

)

8

……………………………………………………………10 分

2




3



?

320

?

(

3

)

8

?

320

?

81

?

81

?

20

?

81

?

81


2


16

?

16




16

?

20

?

81

?

5

?

8100

所以该乡到2005年底可以达到小康水平. …………………………………………12分

（21）解：

x

2

?

y

2

?

1 ,

(

a

?

b

?

0 )


a

2


b

2





当PQ⊥x 轴时，F（–c , 0），

|

FP

|?

b

2

,

又

|

FQ

|?|

FP

|

且OP

?

OQ

,

∴|OF|=|FP|



a




6

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即

c

?

b

2

∴

ac

?

a

2

?

c

2

a

∴

e

2

?e

?

1

?

0

∴

e

?

5 ?

1

…………………………………………………………2 分

2

当PQ 不垂直x 轴时，设

PQ

:

y

?

k

(

x

?

c

)

代入

x

2

?

y

2

?

1 ,

(

a

?

b

?

0 )

a

2

b

2



得

( b

2

?

k

2

a

2

)

x

2

?

2

k

2

a

2

cx

?

k

2

a

2

c

2

?

a

2

b

2

?

0

……………………………………4 分

设

P

(

x 1y 1

)

，

Q

(

x 2y

2

)

，∵

OP ?

OQ

，∴

x 1

x

2

?

y 1

y

2

?

0

，

即

x 1

x

2

?

k

2

(

x 1

?

c

)(

x

2

?

c

)

?

0

………………………………………………………6 分

亦即

(

k

2

?

1 )

x 1

x

2

?

k

2

c

(

x 1

?

x 2

)

?

k

2

c

2

?

0

∴

(

k

2

?

1 )

?

k

2

a

2

c

2

?

a

2

b

2

?

k

2

c

?

?

2

k

2

a

2

c

?

k

2

c

2

?

0

……………………………7 分

b

2

?

k

2

a

2

b

2

?

k

2

a

2

解得

k

2

?

a

2

c

2

?

a

2

b

2

?

a

2

b

2

?

?

①

……………………………………………8 分

b

2

c

2

∵

k

2 ?

0

，∴

a

2

b

2

?

b

2

c

2

?

a

2

b

2

?

0

，

又

b

2

?

a

2

?

c

2

，得

e

4

?e 32

?

1

?

0

解得

5

?

1

?

e

?

1 .

………………………………………………………………11 分

2

综合上述情况得e 的范围是

5

?

1

?

e

?

1

. ……………………………………12 分

2

（22）解：（1）设g(x)上点

Q

(

x 0y

0

)

与f(x)上点P（x，y）对应，

∴

y

0

?

y

,

x 0

?

2

?

x

………………………………………………………………2 分

∵

(

x 0y

0

)

在g（x）图象上

∴

y

?

?

(

2

?

x

)

2

?

4 (

2

?

x

)

?

c

?

?4

?

4

x

?

x

2

?

8

?

4

x

?

c

?

x

2

?

4

?

c

……………………………………………………………………………………3分

∵g(x)定义域为x∈[2,3]，而f（x）的图象与g（x）的图象关于直线x=1对称，

所以，上述解析式是f(x)在[–1，0]上的解析式

∵f(x)是定义在[–1,1]上的奇函数，∴f(0)=0，∴c=–4 ………………………5分

所以，当x∈[0，1]时，–x∈[–1，0]，f(x)=–f(–x)=–x2 ……………………6分

所以f(x)???

?

??
?

x2
x

,
2

x
,

?
x?

(0
[

,1
?

]
1, 0 ]

………………………………………………………7分

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（2）当x∈[0，1]时

|f(x2)?f(x1)|?|x22?x12

|?|( x2?x1)(x2?x1)|

∵x1,x2?[0 , 1 ], x1?x2，∴0?x1?x2?2

所以|f(x2)?f(x1)|?2| x2?x1| …………………………………………………10分

（3）∵x1,x2?[0 , 1 ]，∴0?x22?1, 0?x12?1

∴?1?x22?x12?1，∴|x22?x12

|?1

即|f(x2)?f(x1)|?1…………………………………………………………13分

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