2.梳理高中数学课程中“几何”的结构脉络，并设计一道立体几
何或解析几何的应用题以评价学生建模及综合应用知识解决问题的能
力。（注意：题目必须是自编或改编）
知识部分分了这样三大块，一块是立体几何，一块是解析几何，一块是向量，
这是支撑几何课程的三个基点，对向量有一个完整的认识，向量有两个称号，一
个叫向量代数，就是我们在代数里讲的；一个叫向量几何，所以向量是一个独特
的数学研究对象。
首先，立体几何部分，整个课程分成两块，一块叫立体几何初步，一块叫
空间向量与立体几何，支撑空间向量几何的内容除了立体几何初步之外，还有平
面向量。立体几何初步的定位是什么？它是要培养学生的空间想象力为主的一个
课程载体。通过这样一些内容，来支撑这样的一个载体，第一部分就是要对空间
图形有一个了解，尽而我们要会画空间图形的直观图，在此基础上我们要建立三
视图的概念，这个是在义务教育基础上的一个深化，在三视图中我们要关注什么
问题，我想将来我们再细化，那么紧接着，我们需要帮助学习建立的是点、线、
面的位置关系，这是必修课程的基本的东西，当然还有一些，体积面积的计算，
这个不是重点。
关于点、线、面的位置关系，在立体几何初步中，帮助学生形成两个角度，
一个是从局部到整体，一个是从整体到局部，如长方体这个模型，就能成为贯穿
对于点、线、面位置关系认识的一个基本图形，这个图形不仅在高中阶段是基本
图形，在大学学习其他的几何的时候，它仍然是很重要的，仍然是最基本的，特
别是正交系这都是非常基本的图形。立体几何初步对于逻辑推理的要求，做了一
定的控制，大概有4个判定定理和4个性质定理，只要求证明性质定理，不要求
证明判定定理，在性质定理的证明中，要增加更多的空间、图形来支撑它。
对于空间向量与立体几何。首先，要清楚在立体几何初步里主要是位置关
系，定性的认识位置关系，实际上在高中阶段，要帮助学生研究的主要对象有两
个，一个是位置关系，一个是度量关系。
最主要的位置关系是两个，一个是平行，一个是垂直，判定垂直就是看这两
个平面（要平面就说法向量，要直线就说方向向量），它们的点乘是不是等于零，
另外一个是平行问题，平行问题是共线问题。
对于度量问题。度量问题一个是长度，一个是角度，距离是属于长度的范畴，
对于面积和体积不是中学的重点，到大学会专门去讲，如何利用空间向量来求面
积、来确定体积，也就是差乘和混合积的问题，那么用什么样的向量语言来刻画
长度呢？一个是向量自己和自己的点乘，是自己这个向量长度的平方，另一个就
是投影，大家特别注意投影是个数，距离是个正数，因此我们在求投影完了以后
要取绝对值，所以在上的投影，是指是与的单位向量的点乘，然后取绝对值，
向量有一个完整的认识，向量是个代数的东西，所以叫向量代数，可以算。
向量是几何的东西可以帮助我们刻画点、直线和平面，它可以帮助我们去处理几
何问题，特别是位置关系的问题和度量关系的问题，第三，我们还需要认识到，
向量有丰富的物理背景，一旦我们要考虑到向量的应用的时候，我们一定要考虑
到在具体的物理情景中，是一要素的矢量、两要素的矢量、还是三要素的矢量，
千万不要搞错，我们千万不能出这样的笑话，用南京的风速和北京的风速做平行
四边形法则这就大错特错了，这是不能合成的，就是说我们在考虑一个地区的风
速的时候，是三要素。所以这些问题都是我们在教学中应该特别注意的。
要强调的是既然向量代数的内容，又是几何的内容，那么向量就是连接代数
和几何的一座天然的桥梁，我们通常都说数形结合，数形结合要有载体，我觉得
向量是最重要的载体，解析几何也是载体，函数也是载体，因此对于向量这样的
认识，是重要的。
向量为我们构建了一个重要的数学模型，就是线性空间和线性赋范空间的初
步。这在我们将来线性代数的学习中，泛函分析的学习中，都是非常基础的东西，
所以我希望我们的老师，对于向量和向量的应用有一个正确的认识，比如说在平
面问题里，向量可以帮助我们解直角三角形，推出余弦定理、正弦定理等等，我
想这些都是我们在教学中需要整体认识的一个内容。
关于解析几何与传统的内容相差不大，只是我们把它分成两个阶段，一个是
解析几何初步，解析几何初步是以圆和直线作为载体来建立解析几何初步思想。
那么到了选修1和选修2，我们是以圆锥曲线作为载体，来进一步深化我们解析
几何的思想。我们还是要突出它的几何的这个地位，我们用代数来解几何问题，
所以这个容易划出，不能就把它变成一个代数的运算，变成解方程组了，一定要
重视图形的作用。几何图形，除了我们几何有这个作用，在函数图象里面，在各
个方面，我们要贯彻使用，在解析几何就更要体现。
关于几何直观的培养，就是空间想象力的培养。空间想象力和几何直观的培
养绝不仅仅是几何的任务，是我们数学的任务，因此用图形说话，帮助学生更好
的使用图形语言是我们数学第一线老师的一项根本任务，就像我们重视符号语言
一样，我们必须重视这件事情，把它贯穿在整个学习的自始至终，我想这一点，
用通俗的话来表述，就是能画图的就画图，重视对学生识图、作图能力培养.
用直观教具与实物，培养识图、作图能力；通过解剖图形，提高识图、作图能力；
介绍基本作图方法，直接训练作图能力。我想引用希尔伯特对于几何直观的一个
论述，当然我是把它通俗化了，就是我们要帮助我们的学生，学会用图形来描述
问题，这是第一
第二，我们要帮助学生学会用图形去发现解决问题的过程。
第三，我们要帮助我们的学生，用图形来帮助学生记忆和理解我们所得到的
结果。
我觉得这些都是靠图形来帮助我们揭示数学的本质，我觉得这一点是我们应
该特别注意的。典型的就是一元二次方程式，6个图非常直观。
第四:加强形象直观善于使用模型.教会学生去有意识地使用立体几何模型，是顺
利地进入立体几何之门的有用钥匙。这里所说的模型并不仅指教学使用的立体几
何教具，而主要是指学生人人都有的桌面、书本、笔、手掌（表示平面）、手指（表
示直线）、打开的书本（表示二面角）,最重要的一个模型就是我们的教室里面
的线,面,等等。善于使用这些现成的模型，可以使许多立体几何问题变得比较直
观，比较容易解决。
解析几何应用题：
某养鸡厂想筑一个面积为144平方米的长方形围栏。围栏一边靠墙，现有50
米铁丝网，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最
少利用多长？
解：假设围栏的边长为x米和y米，如图所示，于是由题设可知x＞0，y＞0，
且
xy＝144（1）
2x+y≤50（2）
双曲线xy＝144在第一象线内的一支与直线2x＋y＝50的交点是A
（），B（ ），满足条件（1）、（2）
的解集是在双曲线xy＝144（
），这一段上的点集（即如
图中双曲线A、B 之间的一段），当过双曲线A、B 之间上的任一点作一点作直
线2x＋y＝k（k＞0）就是相应需用铁丝网的长度，直线2x+y=k（k＞0）与
双曲线xy＝144 相切。这时，相应的k 值最小，消去y 得x 的二次方程：
，从△＝0 得， 即k＝24（米）所需
用铁丝网的最短长度为24米。从图中知，利用已有墙的最大长度由点A 的
纵坐标给出，即米，利用墙的最短长度由B纵坐标给出，即
米。