2012年北京市高级中等学校招生考试
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知二次函数 | y | ? | ( t | ? | 1) | | 2 | ? | 2( t | ? | 2 | x | ? | 3 | 在x＝0 和x＝2 时的函数值相等。 |
| | | | | | | | | | | | | | 2 | |
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A（－3，m），求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx＋6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．
答案：（1） | y | ? | ? | 1 | x | 2 | ? | x | ? | 3 | ，（2）m＝－6，k＝4（3） | 2 | ?n | ? | 6 | ||||||||||||||||||||||||||
| | 2 | | 2 | 3 | | | | |||||||||||||||||||||||||||||||||
解：（1）由题意得(t＋1)·22＋2(t＋2)·2＋ | 3＝2 | 3 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
解得 | t | ? | ? | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∴二次函数的解析式为 | y | ? | ? | 1 | x | 2 | ? | x | ? | 3 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
（2）∵点A(－3，m)在二次函数 | y | ? | ? | 1 | x | 2 | ? | x | ? | 3 | 的图象上， | ||||||||||||||||||||||||||||||
2 | | | 2 | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∴ | m | ? | ? | 1 | ? | (－3 ) | 2 | ＋(－3) | ? | 3 | ? | ?6 | . | ||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | | 2 | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∴点A的坐标为(－3，－6).
∵点A在一次函数y＝kx＋6的图象上，∴k＝4
（3）由题意，可得点B，C的从标分别为(－1，0)，（3，0）.平移后，点B，C的对应点分别为B′(－1－n，0)，C′(3－n，0)将直线y＝4x＋6平移后得到直线y＝4x＋6＋n.
如图1，当直线y＝4x＋6＋n 经过点B′(－1－n，0)时，图象G(点B′除外)在该直线右则，可得 | n | ? | 2 | ； |
| | | 3 | |
如图2，当直线y＝4x＋6＋n经过点C′(3－n，0)时，图象G(点C′除外)在该直线左侧，可得n＝6.
∴图象可知，符合题意的n 的取值范围是 | 2 | ?n | ? | 6 | . |
| 3 | | | | |
24．在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点 P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．
答案：（1）∠CDB＝30°，（2）∠CDB＝90°－α，（3）45°＜α＜60°解：（1）∵BA＝BC，∠BAC＝60°，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，AM＝MC，
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，
∴AM＝MQ，∠AMQ＝120°，
∴CM＝MQ，∠CMQ＝60°，
∴△CMQ是等边三角形，
∴∠ACQ＝60°，
∴∠CDB＝30°；
（2）如图1，连接PC，AD，
∵AB＝BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
∴AD＝CD，AP＝PC，PD＝PD，
在△APD与△CPD中，
∵ | ??? ?? | AD＝CD | ， |
PD＝PD | |||
PA＝PC |
∴△APD≌△CPD，
∴AP＝PC，∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD，
又∵PQ＝PA，
∴PQ＝PC，∠ADC＝2∠CDB，∠PQC＝∠PCD＝∠PAD，∴∠PAD＋∠PQD＝∠PQC＋∠PQD＝180°，
∴∠APQ＋∠ADC＝360°－（∠PAD＋∠PQD）＝180°，∴∠ADC＝180°－∠APQ＝180°－2α，
∴2∠CDB＝180°－2α，
∴∠CDB＝90°－α；
（3）如图2，延长BM，CQ交于点D，
∵∠CDB＝90°－α，且PQ＝QD，
∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°－2α，∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∵P点是动点，∠BAD最大为2α，∠MAD最大等于α，∴2α＞180°－2α＞α，
∴45°＜α＜60°．
25．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1－x2|；
若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1－y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．
（1）已知点 | A ? | 1 | ， | 0) | ，B 为y 轴上的一个动点， |
| | 2 | | | |
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知C 是直线 | y | ? | 3 | x | ? | 3 | 上的一个动点， |
| | | 4 | | | | |
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．
答案：（1）（2）见解析 解：（1）①点B 的坐标是（0，2）或（0，－2）（写出一个答案即可）； | ||
②点A 与点B 的“非常距离”的最小值是 | 1 | . |
| 2 | |
（2）①过点C作x轴的垂线，过点D作y轴的垂线，两条垂线交于点M，连接CD
如图1，当点C在点D的左上方且使ΔCMD是等腰直角三角形时，点C与点D的“非常距离”最小。
理由如下：
记此时点C 所在位置的坐标为( | x | , | 3 | x | ? | 3 | ). |
| 0 | | 4 | 0 | | | |
当点C的横坐标大于x0时，线段CM的长度变大，由于点C与点D的“非常距离“是线段CM与线 段MD长度的较大值，所以点C与点D的”非常距离“变大；当点C的横坐标小于x0时， 线段MD的长度变大，点C与点D的“非常距离”变大，点C与点D的“非常距离”变大。所以当点C的横坐标等于x0时，点C与点D的“非常距离”最小。
∵ | CM | ＝ | 3 | x 0 | ? | 3 | ? | 1 | ，MD＝－x，CM＝MD， | ||
| | 4 | | | 0 | ||||||
∴ | 3 | x | ? | 3 | ? | 1 | ? | ? | x 0 | . | |
| 4 | 0 | | | | | | ||||
解得 | x 0 | ? | ? | 8 | . |
| 15 | |
| | | | | |||||||
| | 7 | , | ?? | . | | | | | |||||||||||
∴点C 的坐标是 | ??? | 8 | ||||||||||||||||||
7 |
| 7 | ? |
| | | | | ||||||||||||
∴ | CM | ?MD | ? | 8 | ||||||||||||||||
| 7 | 8 | , | 15 | ?? | 时，点C 与点D 的“非常距离”最小，最小值是 | 8 | . | ||||||||||||
∴当点C 的坐标是 | ??? | |||||||||||||||||||
7 | | 7 | ? | | 7 | | ||||||||||||||
②如图2，对于⊙O上的每一个给定的点E，过点E作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线 交于点N，连接CE.
由①可知，当点C运动到点E的左上方且使ΔCNE是等腰直角三角形时，点C与点E的“非常距离” 最小。
当点E在⊙O上运动时，求这些最小“非常距离”中的最小值，只需使CE的长度最小。
因此，将直线 | y | ? | 3 | x | ? | 3 | 沿图中所示由点C 到点E 的方向平移到第一次与⊙O 有公共点，即与⊙O 在 |
| | | 4 | | | | |
第二象限内相切的位置时，切点即为所求点E.作EP⊥x轴于点P.
| y | ? | 3 | x | ? | 3 | |
设直线 | | | 4 | | | | 与x 轴，y 轴分别交于点H，G. |
可求得HO＝4，GO＝3，GH＝5
可证ΔOEP∽ΔGHO
∴ | OP | ? | EP | ? | OE | ||||||
| GO | HO | GH | ||||||||
∴ | OP | ?EP 4 | ? | 1 | . | ||||||
| 3 | 5 | |||||||||
∴ | OP | ? | 3 | , | EP | ? | 4 | . | |||
| | | 5 |
| 5 | | |||||
∴点E 的坐标是 | ??? | 3 | , | 4 | ?? ? | . | | | | ||||||||||||||||||
5 | 5 | . | | | |||||||||||||||||||||||
设点C 的坐标为 | ?? ? | x c | , | 3 | x | ?3 | ?? ? | ||||||||||||||||||||
4 | c | | ? | x | |||||||||||||||||||||||
∵ | CN | ? | 3 | x c | ? | 3 | ? | 4 | , | NE | ? | ? | 3 | ||||||||||||||
4 | 5 | | 5 | | c | ||||||||||||||||||||||
∴ | 3 | x c | ? | 3 | ? | 4 | ? | ? | 3 | ? | x c | . | |||||||||||||||
4 | 5 | 5 | | | | ||||||||||||||||||||||
解得 | x c | ? | ? | 8 | . | ||||||||||||||||||||||
5 | | | | ||||||||||||||||||||||||
∴点C 的坐标是 | ??? | 8 | , | 9 | ?? ? | . | |||||||||||||||||||||
5 | 5 | | | | |||||||||||||||||||||||
∴CN＝NE＝1
∴当点C 的坐标是 | ?? | 8 | , | 9 | ?? | ，点E 的坐标是 | ?? | 3 | , | 4 | ?? | 时，点C 与点E 的“非常距离”最小，最小值 |
| ? | 5 | | 5 | ? | | ? | 5 | | 5 | ? | |
是1.
2011年北京市中考数学试题及答案
五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)
23.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3(m>0)的图象与x轴交于A、B两点（点
A在点B的左侧），与y轴交于点C。
（1）求点A的坐标；
（2）当∠ABC＝45°时，求m的值；
（3）已知一次函数y＝kx＋b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x
轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2＋(m－3)x－(m>0)的图象于N。若只有当
－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式。
答案：(1)点A的坐标为(?1,0)，(2)m=1，（3）y=?2x?1
[解](1) ∵点A、B是二次函数y=mx2?(m?3)x?3(m>0)的图象与x轴的交点,
∴令y=0，即mx2?(m?3)x?3=0，解得x1= ?1, x2= m 3 , |
又∵点A在点B左侧且m>0,
∴点A的坐标为(?1,0).
(2) 由(1)可知点B 的坐标为( m 3 ,0). |
∵二次函数的图象与y轴交于点C，
∴点C的坐标为(0,?3).
∵?ABC=45?,∴m 3 =3，∴m=1。 |
(3)由(2)得，二次函数解析式为y=x2?2x?3.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为?2和2,由此可得交点坐标为(?2,5)和(2,?3).
将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx?b中，
得?2k?b=5,且2k?b=?3,解得k=?2，b=1，
∴一次函数的解析式为y=?2x?1。
24.在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。
（1）在图1中证明CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。
A | D C F | |||||
A | D | |||||
B | E | C | F | B | E | |
G | ||||||
A | D | |||||
B | E | C | ||||
G | F | |||||
答案：(1)见解析， (2) ?BDG=45?，（3）?BDG=60? | ||||||
(1)证明：如图1.
∵ AF平分?BAD，∴?BAF=?DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD。
∴?DAF=?CEF，?BAF=?F，
∴?CEF=?F，∴CE=CF。
(2)?BDG=45?.
(3)[解]分别连结GB、GE、GC(如图2).
∵AB//DC，?ABC=120?，
∴?ECF=?ABC=120?，
∵ FG//CE且FG=CE,
∴四边形CEGF是平行四边形.
由(1)得CE=CF,∴□CEGF是菱形,
∴EG=EC，?GCF=?GCE=2 1?ECF=60?.
∴△ ECG是等边三角形.
∴EG=CG…?,
?GEC=?EGC=60?,
∴?GEC=?GCF,
∴?BEG=?DCG…?,
由AD//BC及AF平分?BAD可得?BAE=?AEB，
∴AB=BE.
在□ABCD中，AB=DC.
∴BE=DC…?,
由???得△BEG?△DCG.
∴BG=DG，?1=?2,
∴?BGD=?1??3=?2??3=?EGC=60?.
∴?BDG=2 1(180???BGD)=60?.
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形
叫作图形C（注：不含AB线段）。已知A（－1,0），B（1,0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线
AE的反向延长线上。
（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；
（2）当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；
当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；
（3）已知□AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围。
答案：(1) | 2，(2)见解析，（3）?2<x<?1 或0?x< 2 2 |
[解](1) 分别连结AD、DB，则点D在直线AE上， 如图1,
∵点D在以AB为直径的半圆上，
∴?ADB=90?,
∴BD?AD.
在Rt△DOB中，由勾股定理得
BD= OD?OB2=2.
∵AE//BF,两条射线AE、BF所在直线的距离为2．
(2)当一次函数y=x?b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是
b=2或?1<b<1；
当一次函数y=x?b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是
1<b<2；
(3)假设存在满足题意的□AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论： ?当点M在射线AE上时，如图2.
∵ A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，
∴直线PQ必在直线AM的上方，
∴P、Q两点都在AD弧上，且不与A、D
重合.∴0<PQ<2.
∵ AM//PQ且AM=PQ,
∴ 0<AM<2,∴?2<x<?1.
?当点M在AD弧(不包括点D)上时，如图3.
∵A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，
∴直线PQ必在直线AM的下方。
此时，不存在满足题意的平行四边形。
?当点M在DB弧上时，设DB弧的中点为R，
则OR//BF.
(i) 当点M在DR弧(不包括点R)上时，如图4.
过点M作OR的垂线交DB弧于点O，
垂足为点S，可得S是MQ的中点.
连结AS并延长交直线BF于点P.
∵ O为AB的中点，可证S为AP的中点.
∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形.
(ii) | ∴ 0?x< 2 2 . 当点M 在RB 上时，如图5. |
直线PQ必在直线AM的下方.
此时，不存在满足题意的平行四边形.
?当点M在射线BF(不包括点B)上时，如图6.
直线PQ必在直线AM的下方.
此时，不存在满足题意的平行四边形.
综上，点M 的横坐标x 的取值范围是?2<x<?1 或0?x< 2 2 . |