材料力学基本概念

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第一章a绪论
第一节材料力学的任务与研究对象

1、组成机械与结构的零、构件，统称为构件。构件尺寸与形状的变化称为变形。

2、变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形 或残余变形。

3、在一定外力作用下，构件突然发生不能保持其原有平衡形式的现象，称为失稳。

4、保证构件正常或安全工作的基本要求：a强度，即抵抗破坏的能力；b刚度，即抵抗变形的能力；c稳定性，即保持原有平衡形式的能力。

5、材料力学的研究对象：a一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件，称为杆件；b一个方向的尺寸远小于其它两个方向尺寸的构件，成为板件，平分板件厚度的几何面，称为中面，中面为平面的

板件称为板，中面为曲面的板件称为壳。

6、研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与方法。

第二节材料力学的基本假设

1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。

2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同
3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。

第三节内力与外力

1、外力：⑴按作用方式分①表面力②体积力⑵按作用时间分①动载荷②静载荷

2、内力：构件内部相连个部分之间有力的作用。

3、内力的求法：截面法

4、内力的分类：轴力

F N

；剪力

F S

；扭矩

；弯矩

，

FSy

C
FSz

5、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②

对分离体建立平衡方程，求得内力

第四节应力

、点的应力：

lim

；正应力：?

lim

?F N

；切应力：?

lim

?F S

；

??2

??0

2、切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。

第五节应变

、正应变：	??		lim ab?0		?ab		。正应变是无量纲量，在同一点不同方向正应变一般不同。
1					ab
2、切应变：	?	?	tan	?		。切应变为无量纲量，切应变单位为rad。

第六节胡克定律

1、??E?，E为（杨氏）弹性模量

2、??G?，剪切胡克定律，G为切变模量

第二章轴向拉压应力与材料的力学性能

第一节引言

1、杆件受力特点：轴向载荷，即外力或其合力沿杆件轴线 2、杆件变形特点：轴向拉伸或压缩
第二节拉压杆的内力、应力分析

1、轴力符号规定：拉为正，压为负
2、轴力图（两要素为大小、符号）
3、拉压杆受力的平面假设：横截面仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线。即，横截面上没有切应变，正 1

应变沿横截面均匀分布??

F N

4、材料力学应力分析的基本方法：①几何方程：

const

即变形关系②物理方程：?

E?即应力应变

关系③静力学方程：??

F N

即内力构成关系

、

F N

适用范围：①等截面直杆受轴向载荷（一般也适用于锥角小于5 度的变截面杆）②若轴向载

荷沿横截面非均匀分布，则所取截面应远离载荷作用区域

6、圣维南原理（局部效应原理）：力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区

的轴向范围约离杆端1—2个杆的横向尺寸

7、拉压杆斜截面上的应力：

F N

?0cos?；

/ cos?

cos??

cos

?，

sin

sin 2?；

，?max

；??

45o

，?max

第三节材料拉伸时的力学性能

1、圆截面试件，标距l=10d 或l=5d；矩形截面试件，标距

11.3

或

5.65

2、材料拉伸时经过的四个阶段：线弹性阶段，屈服阶段，硬化阶段，缩颈阶段

3、线（弹）性阶段：

E?；变形很小，弹性；

为比例极限，

为

弹性极限

4、屈服阶段：应力几乎不变，变形急剧增大，含弹性、塑性形变；现象是

出现滑移线；?s

为屈服极限

5、硬化阶段：使材料继续变形需要增大应力；?b

为强度极限

6、缩颈阶段：现象是缩颈、断裂

7、冷作硬化：预加塑性变形使材料的比例极限或弹性极限提高的现象（考虑材料卸载再加载的??							?图）
、材料的塑性或延性：材料能经受较大的塑性变形而不被破坏的能力；延展率：	?	?	?l 0	?	00%	，延展
8			l			，延展

率大于5%的材料为塑性材料

、断面收缩率?	?	A	?	A 1	?	100%	，	A	是断裂后断口的横截面面积
9			A				，	A 1	是断裂后断口的横截面面积
10、			A			?e	为塑性形变，			?p	为弹性形变

第四节材料拉压力学性能的进一步研究

1、条件屈服极限?0.2：对于没有明显屈服极限的材料，工程上常以卸载后产生残余应变为0.2%的应力作

为屈服强度，叫做名义屈服极限。

2、脆性材料拉伸的应力—应变曲线：断口与轴线垂直3、塑性材料在压缩时的力学性能（低碳钢）：越压越扁

4、脆性材料在压缩时的力学性能（灰口铸铁）：压裂，断口与轴线成45度角；

可以看出脆性材料的压缩强度极限远高于拉伸强度极限

第五节应力集中与材料疲劳

、实际应力与应力集中因数：	K	?	?max	，其中，?	为最大局部应力，?	为名义应力
1			?n	max	n

2、疲劳破坏：在交变应力的作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象
3、疲劳破坏与①应力大小②循环特征③循环次数有关； 1灰口铸铁拉伸力学性能 S—N图，?r为持

久极限

4、应力集中 ?max对构件强度的影响：⑴静载荷，对

于脆性

材料，					?			lgN S—N 曲线先被破坏；对于塑性料，应力分布均匀化⑵
?	在				?r
?s ?p	?max			=	?＋b	?－b	o
o	?	?b	处		?
3 低碳钢的压缩力学性能	首				2 灰口铸铁的压缩力学性能
材疲劳强度问题：应力集中对材料疲劳强度影响极大

第六节失效、许用应力与强度条件

1、失效：断裂，屈服或明显的塑性变形
2、工作应力：构件实际承载所引起的应力

3、许用应力：构件工作应力最大的允许值

，

???＝?u

，其中

为安全因数，

〉1，一般的，

n s

取1.5—2.2，

n b

取3.0—5.0，?u

为极限应力（强度极限或屈服极限）

4、强度条件：?max＝?

F N

max

5、工程设计当中的等强度原则
第七节连接部分的强度计算

、剪切强度条件：

F s

，对受拉铆钉，

?dh

即圆柱面的投影面积

2、挤压强度条件：?bs,max

F b

，受压面为圆柱面时，

A bs

第三章轴向拉压变形

第一节拉压杆的变形与叠加原理

1、拉压杆的轴向变形与胡克定律：??

F N

，

，?

F l N

2、

为拉压刚度

3、拉压杆的横向形变：

，

???

，一般为负

4、泊松比：

???

，对于各向同性材料，

0.5

，特殊情况是铜泡沫，

???0.39

5、

，也就是说，各向同性材料的弹性常数只有两个

2 1?

、叠加原理：⑴分段叠加：①分段求轴力②分段求变形③求代数和	??	?	F Ni		?	l i	⑵分载荷叠加：几组
6			E i	?	A i

载荷同时作用的总效果，等于各组载荷单独作用产生效果的总合。

7、叠加原理适用范围：①线弹性（物理线形，即应力与应变之间的关系）②小变形（几何线形，即用原尺寸进行受力分析）
第二节桁架节点位移
分析步骤：①平衡方程求各杆轴力②物理方程求各杆变形③切线代圆弧，求节点位移
第三节拉压与剪切应变能
1、在外载荷作用下，构件发生变形，载荷在相应位移上作了功，构件变形因此而储存了能量，且遵循能量守恒

、轴向拉压应变能

?
（缓慢加载），

F N

。注意：对于非线弹性材料，以

上不成立。

3、单向受力情况：

dV?

?dxdz

?dy

??
dxdydz

，拉伸应变能密度为

。纯剪切情况：

?dxdz

?dy

dxdydz

，剪切应变能密度为

4、用应变能解题：①不用通过画变形图来确定节点位移②只能求解沿载荷作用线方向的位移③同时作用多个载荷时，无法求载荷的相应位移
第四节简单拉压静不定问题
1、静定问题是由平衡条件即可解出全部未知力的问题；静不定度=未知力数—有效平衡方程数 2、静不定问题的求解方法：补充变形协调方程
3、关于变形图的画法：①若能直接判断出真实变形趋势，则按此画变形图②若不能直接判断出真实变形趋势，则画出任意可能变形图即可③对于不能判断出真实变形趋势的情况，一般可设各杆都是拉伸变形，即内力为正（设正法）
，若计算结果为负，则说明真实方向与所设方向相反第五节热应力和预应力
1、热应力：因温度变化在构件内部产生的应力
2、预应力：由于实际杆长与设计尺寸不同，当结构不受外力时已经存在的应力
第四章扭转

第一节引言

1、内力分析仍用截面法，扭矩矢量离开截面为正

2、轴的动力传递：

9549P kW

n r /min

b’

N m

?处的矩形平面的切

第二节圆轴扭转横截面上的应力

d’

1、扭转应力问题是静不定问题

2、变形几何方程：

，其中，

?是距轴线的径向距离，

是楔形微体在

应变，是个角度，

d?是角bO2b’

3、物理方程：横截面上

?处的切应力为??

G??

4、静力学方面：圆轴扭转切应力一般公式??

，

为极惯性矩

5、最大扭转切应力：?max

，定义抗扭截面系数

，?max

6、适用范围：①因推导公式时用到了剪切胡克定律，故材料必须在比例极限范围内②只能用于圆截面轴，因为别的形状刚性平面假设不成立

7、关于极惯性矩和抗扭截面系数：

?
A

D?d

2
2

2??d

?
32(

)

，

)

，或者有时提出一个D，令??

d D

第三节圆轴扭转破坏与强度条件

1、扭转极限应力?u

对脆性材料来说是扭转强度极限?b

，对塑性材料而言是扭转屈服应力?s

、许用切应力

[ ]??

，工作应力：?

，强度条件：?max

[ ]

max

?
?

W P

max

W P

max

第四节圆轴扭转变形与刚度条件

、

d??

，

d??

，对于常扭矩等截面圆轴，相差距离的两截面的相对扭转角l

，

定义圆轴截面扭转刚度

2、许用扭转角变化率

[ ]

，工作时扭转角变化率

d??

，刚度条件为

，注意，一般

[ ]

max

单位为度/米
第五节扭转静不定问题（找出变形协调条件）

第六节非圆截面轴扭转（只讨论自由扭转）

1、非圆截面轴，截面不保持平面，

?和

?不成正比，平面假设不

适用

2、矩形截面轴的扭转⑴①?平行于截面周边②角点处??

③截面

长边中点有

⑵

，

和

分别代表矩形

max

W t

?hb

?max

的长边和短边，短边中点处的切应力

??max

，

，其中

?，

?与

h b

有关，查表4-1

G hb

⑶当

h b

时，?和

?均接近1/3，?max

，??

3Tl

Ghb

3、椭圆等非圆截面杆?max

，??

，

W t

和

与圆截面杆的量纲相同，可查附录

W t

第七节薄壁杆扭转（自由扭转）

1、闭口薄壁杆的扭转应力：①切应力的方向与中心线平行，且沿壁厚均布②

???ds

，

?是

该点离形心的距离，

?为壁厚，

为线微元③所围面积

????

?ds

，?

，则?max

④

2??

2??min

扭转变形??

，

2、开口薄壁杆扭转概念①切应力沿截面周边形成环流②?max

3 T?max

，??

3 Tl

③开口薄壁杆抗

n
?

i?1

h i?i 3

n
?

i?1

h i?i 3

扭性能很差，截面产生明显翘曲
第五章弯曲应力
第一节引言
1、以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲
2、受力特征是力或力矩矢量垂直于轴线，变形特征是轴线变弯

3、以弯曲为主要变形形式的杆——梁
第二节梁的约束与类型
可动铰支，提供一个方向的力；固定铰支提供两个方向的力；固定端提供两个方向上的力以及弯矩第三节剪力、弯矩方程及剪力、弯矩图

1、截面法，求得剪力

F S

，使分离体顺时针转为正；弯矩

使分离体完成凹形为正

2、①求支反力②建立坐标③建立剪力、弯矩方程（截面法）④画出剪力、弯矩图
3、在集中力作用处（包括支座）剪力有突变；在集中力偶作用处（包括支座），弯矩有突变
4、刚架的内力分析：刚架受轴力、剪力和弯矩作用，轴力、剪力符号同前，弯矩符号没有明确规定，画在受压一侧，分析方法还是用截面法
5、平面曲杆内力分析，同前，但是一般用极坐标表示
第四节剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系

、

为载荷集度，

d F

，

d M

，

说明剪力图某点的切线斜率等于该点处载荷集度的

d x

大小，弯矩图某点的切线斜率就等于该点处的剪力大小，该截面处载荷集度的正负决定弯矩图某点的凹凸性，如图所示

2、

向上为正，

轴方向向右为正

3、在集中力作用处，弯矩连续，剪力突变；在集中力偶作用处，剪力连续，弯矩突变

4、求特征点剪力、弯矩的方法：⑴截面法是基本方法⑵面积法（积分法）由

dF
dx?

q x ( )

有

F S

x?0

q x dx

，即

左边分布载荷的面积加

左边的集中载荷（包括支反力），

、

向上为正；

由

dM
dx?

F S

有

x?0

F dx S

，即

左边剪力图的面积加

左边集中

力偶（包括支反力偶），

顺时针为正

5、利用微分关系快速画剪力、弯矩图口诀：剪力图口诀“跟着箭头走—— 先求支反力，从左往右去”，弯矩图口诀“根据剪力图，两点对一段；若遇到力偶，顺上逆下走”
第六章弯曲内力
第一节引言

1、横截面上内力与应力的关系：

ydA

2、中性层和中性轴的概念

3、几何方程：

yd?

4、物理方程：?

5、静力学方程：由

Ay dA

有

y dA 2

，定义

y dA 2

，可确定中性层的曲率半径

1
??

6、由上得??

，则有?max

My max

，定义抗弯截面系数

，则?max

y max

7、两种典型的抗弯截面系数：矩形截面

W ?z

，圆截面

第二节极惯性矩与惯性矩

2、组合截面的静矩与形心：

y c? S z ? ?

i?
n

1
S i

?
?

i?
n

1
y c i ?A i

；对于缺口截面，
S z?y c 1?A 1?y c 2

S
?

z
A

?
2

S
?

z
(整
y c

)
3

?
?A

S
3

z
(孔
，

)
，

1、静矩：面积对轴的矩，S z??A ydA，S y??A zdA，对于均质等厚

的板，S z?y c?A，S y?z c?A，即面积乘形心到轴的距离

A A A

( z

整

)

(

孔

)

a A i 2

)

A (

整

)

A (

孔

)

，对空心圆截面

( 1

)

，

3、（轴）惯性矩：

y dA 2

，

z dA 2

4、惯性矩的平行轴定理：

a A 2

5、组合截面的惯性矩：

n
??

i?1

，

n
?

i?1

n
?

i?1

(

z 0

6、极惯性矩：截面对某点的矩

A?2

；对圆截面

对薄壁圆截面

2?R 0 3?

第三节弯曲切应力
1、梁在非纯弯曲段，横截面上的弯曲切应力平行于侧边或剪力，沿宽度均匀分布

、

?( )

F S

( )?

，其中

ydA

( )?

代表

处横线一侧的部分截面（面

积为

?）对

轴的静矩，对于矩形截面，

S ?z

b h 2

(

2 4

)

，

bh 3

，

?( )

3 F S

( 1

)

，则

2 bh

?max

3 F S

F S

2 bh

3、工字梁的弯曲切应力分布如图。

处横线下的截面是由下翼缘与部分腹板所组成，该截面队中性轴

的静矩为

( )??

(

h 0 2

)

?
(

)

，

?为腹板厚度，腹板上

处的弯曲切应力为

?( )

Fs [ ( b h 0 2

8 z?

)

)]

，可见，腹板上弯曲切应力沿腹板高度成抛物线状分布，在中

型周处弯曲切应力最大，为?max

FsS

,max

Fs [ bh 0 2

8 I z?

( b

]

，在

腹板与翼缘交接处切应力最小，为?min

Fs ( bh 0 2

8 z?

)

，沿翼缘侧边的

切应力较小，一般不予考虑
4、盒形薄壁梁的弯曲切应力分布如图。最大弯曲切应力仍在中性轴上，

?max

2Fs

，

为横截面面积

5、一般对称薄壁梁的弯曲切应力平行于中心线的切线，且沿壁厚均匀分布
8

、剪流的概念：

q s ( )

?( ) s t

F S s

( )

，利用剪流的概念，可以形象地确定?的方向

l
4( )

，可见

7、弯曲正应力与弯曲切应力比较：?max

max

，?

，

?max

2 bh

W z

max

2 bh

?max

薄壁截面梁和短粗梁弯曲切应力和正应力大小相差不大，而细长非薄壁梁的最大弯曲正应力远大于最

大弯曲切应力

第四节梁的强度条件

1、梁危险点的应力状态如图，图4 为实心与非薄壁截面梁，图5 为薄壁截面梁
2、弯曲正应力强度条件：?max	?	???	M	???		?		[ ]
			W z		max
3、弯曲切应力强度条件：?max	?	???	F S S	z	,max	?	max		?	[ ]
			I	z?		??
4、梁强度问题的分析步骤：①内力分析，确定危险截面②应力分析，确定危险点 ③根据强度条件进行校核

第五节梁强度的合理设计

1、梁的合理截面形状：应将尽量多的材料放在远离中性			轴的位置。塑性材
料一般关于中性轴对称；对于塑性材料，一般		图 4	y c		?	[?c	]	，	y		与
y c	分别代表最大拉应力与最大压应力所在点距中性轴的距离		y	t		[?t	]			t

2、变截面梁与等强度梁，横截面沿梁轴变化的梁称为变截面梁，各个截面具有同样强度的梁称为等强度

梁，弯曲等强条件	M x ( )	?	[ ]	，剪切等强条件	3	F x S ( )	?	[ ]
	W x ( )				2 bh x ( )

3、合理安排约束力，如图：

图5

4、合理安排加载方式，尽量分散加载

5、加配重

第六节弯拉（压）组合与截面核心

1、弯拉（压）组合时，将弯曲正应力和轴力引起的正应力分别分析再合并，若轴力有偏心，则先将轴力向形心化简
2、脆 9

性材料不宜受拉，脆性材料受偏心压缩时，应保证横截面上不出现拉应力，而要使横截面上只存在压

应力，必须对偏心压应力作用点进行，使其位于一定范围内，此范围称为截面核心

3、截面核心的求法：中性轴方程

e z z

e y y

，截面边界方程

f y z ?

，截面边界上一点的曲

线斜率

第七章弯曲变形

第一节引言

梁变形的表示方法：形心轴的线位移为挠度

?，截面绕形心轴的角位移为转角?，变弯的轴线叫做挠

曲轴，挠曲轴方程

?( )

，梁的转角一般很小??

d?/

第二节梁变形的基本方程与积分法求位移
1、在建立纯弯曲正应力公式时，曾得到用中性层曲率表示的弯曲变形公式

1
??

M x??

，该式也可用于一般非纯弯曲，则该式变为

M x??

，

?( )

由高等数学可知，平面曲线??

?( )

上任意一点的曲率为

?1 [

w x??( )

3 2

，有

w x?( )] 2

?1 [

w x??( )

M x??

，即挠曲轴微分方程，因为梁的变形一般很小，故

w???

，即

w x?( )] 2

3 2

，则挠曲轴微分方程可简化为

w???

M x??

2、坐标系如图，弯矩

与

?''

同号，且x 轴的方向无影响

3、积分法算梁变形：

w???

M x??

，

M x??

，

M x??

4、位移边界与连续条件：①固定铰支和可动铰支处，

? = 0

②固定端出

? = 0 =0?

③连续条件即分段处

挠曲轴应该满足的连续光滑条件，即

?左=

?右

5、挠曲线大致形状：根据弯矩图定凹凸性，弯矩图过零点为拐点，支座支座处的位移第三节确定梁位移的叠加法

1、叠加法的适用范围：应力不超过比例极限；小变形 2、叠加法可以分载荷叠加也可以分段叠加
3、分段叠加用的是逐段刚化法或假象固定法
第四节简单静不定梁

1、分析方法：解除多余约束，代之以支反力；分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界条件（相当系统即左拥有原静不定梁载荷与多余支反力的基本系统）

2、步骤：①判断静不定数（确定多余约束数）②解除多余约束，建立相当系统③列出多余约束处的变形协调条件（位移边界条件）④结合平衡方程，求多余支反力

第五节梁的刚度条件与合理刚度设计

1、刚度条件

max

，

?max

2、梁的刚度设计与强度设计的不同点：①强度是局部量，刚度是整体量，如小孔，显著影响强度但对刚度影响甚微，辅梁和等强度梁是增加梁的强度的有效手段，但增加刚度必须整体加强②强度与材料的

?s和?b有关，但刚度与E相关③刚度对梁的跨度更敏感

3、提高梁强度的主要措施：①减小M的数值，如合理安排梁的约束，改善梁的受力情况，适当增加梁的约束，变静定梁为静不定梁②提高IA③减小跨度④提高材料的弹性模量⑤整体提高l EI第八章应力状态分析
第一节引言
1、应力状态：通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态
2、应变状态：构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点处的应变状态
第二节平面应力状态分析
1、平面应力状态就是仅在微体四个侧面作用有应力，且其作用线均平行于微体不受力表面的应力状态

cos2???

sin2?，?

sin2???

cos2?，其中，

?以拉伸为正，

使微体顺时针转为正，?以X 轴为始边，指向沿逆时针转为正

2、上述关系建立在静力学基础上，与材料性质无关
第三节应力圆

、

将

上

节

公

式

改

写

成

如

下

形

式

：

cos2???x

sin2?，

sin2???x

cos2?，平方相加，得

(??

)

??2

?x (

)

2、由上式得出在?—?

坐标下的圆：圆心坐标（

，），半径

?x (

)

3、应力圆的绘制：做出

截面的对应点

D ?x

,?x

)

，

截面的对应点

E ?y

,?y

)

，则可确定应力圆，在

应力圆上求?截面上的应力，将半径

沿方位角?的转向旋转2

?到

处，所得到

点即表示

?截面的应力状态
第四节平面应力状态的极值应力与主应力

1、平面应力状态的极值应力：

?max

???

?x 2

，最大正应力的方位角

?min

tan?

?max

，
?min

????

???

?x 2

，最大正应力的两平面互垂，最

?min

?max

大切应力的两平面也互垂，且二者差45o

2、主平面是切应力为0的截面，主平面微体是相邻主平面互垂，构成一正六面微体。主应力是主平面上

的应力，通常按其代数值，?1

和

45o

截面上。故圆轴扭转时滑移和剪切发生在?max

3、纯剪切状态下，?t,max

?，且分别位于???

截面，而断裂发生在?max

截面（

45o

）

第五节复杂应力状态的最大应力
1、三向应力圆：三组特殊的平面应力对应于三个应力圆，任意斜截面的应力值位于阴影区内
11

2、任意斜截面的应力为：

cos

?，其中

?、

?分别是与

、

的夹角，?n

?1 2

cos

3、最大应力：?max

，?min

，?max

??1

，?max

位于与?1

和?3

均成

45o

的截面

第六节平面应变状态分析

1、已知应变

，

和

?xy

，求?方向的

和

，方向角以X 轴为始边，逆时针转为正，左下直角增大

之

?为正

cos2 -

?xy

sin2?，

sin2??

?xy

cos2?，且

???

，即互

、

90 o

垂方向的切应变方向相反，大小相等

3、以上公式建立在几何关系基础上，所得规律适用于任何小变形问题，与材料的力学特性无关

4、平面应变转轴公式与平面应力转轴公式有形式上的相似性，如下：

cos2???x

sin2?

sin2???x

cos2?

cos2??

?xy

sin2?

?xy

cos2?

可见?x

，?y

，?x

?xy ~ 2

，则应力圆

应变圆

5、应变圆圆心位于

(?x

,0)

，半径

?xy

2
?

?
?

6、最大正应变

?max

}

??x

?
2

?xy 2

，最大正应变的方位角为

?min

tan?0

?xy

??x??min

，最大切应变

?max

??x

?
2

?xy 2

?min

7、切应变为0 的方位之相应正应变，称为主应变，主应变位于互垂方位，?1

第七节各向同性材料的应力、应变关系

??y

??z

??x

??z

??x

??y

1、广义胡克定律：

?xy

?yz

?xz

2、以上结果成立条件：线弹性，小变形，各向同性
3、主应力与主应变的关系：

)]

[(1

)]

[(1

)]

[(1

)]

可见，最大与最小主应变分别发生在最大和最小主应力方向

、各向同性材料弹性常数之间的关系：	G	?	E
4			2(1	?	?)

第八节复杂应力状态下的应变能和畸变能

1、三向应力状态下的应变能密度：??

???1 1

??2 2

??3 3

，根据广义胡克定律，微体的应变能密度

为

???1 2

?2 2

2???? 1 2

??3 2

??1 3

，对于非主应力微体，应变能密度为

???x x

??y y

??z z

???xy xy

???yz yz

???zx zx

、微体的体积变化率为体应变，??	3 1 2? ??? av	，其中，?
2	E	av

?	?1	?	?2	?	?3
			3

3、在外力作用下，微体的体积和形状一般发生变化，研究的相应的应变能为体积改变能和畸变能（形状改变能）

4、应力偏量的概念：

?av

，

?av

，

?av

，其平均应力为

?av

3?av

5、在平均应力

?av

的作用下，微体形状不变，仅体积改变，体积改变能密度为：

1 2? ???1

6 E

6、在应力偏量的作用下，微体的体积不变，形状发生改变，则畸变能密度为

7、

1???

6 E ?

??1

??2

??3

?
?

??V

，即应变能密度等于体积改变能密度与畸变能密度之和

第九章复杂应力状态强度问题
第一节引言
1、研究目：利用简单应力状态实验结果，建立复杂应力状态强度条件
13

2、两类破坏形式：对于脆性材料而言是断裂，对于塑性材料是屈服，故有两类强度理论，断裂强度理论和屈服强度理论
第二节关于断裂的强度理论
1、第一强度理路（最大拉应力理论），最大拉应力理论认为，引起材料断裂的主要因素是最大拉应力，不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应力，材料即发生断裂。

实验表明，脆性材料在二向或三向拉伸断裂时，最大拉应力理论与实验结果相当接近，当存在压应力时，只要最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多，最大拉应力理论与实验结果也大致相近。断

裂条件为：?1

，则强度条件为：?r 1

2、第一强度理路的应用：铸铁试件拉伸断裂

?max

F max

，铸铁试件的扭转断裂

?max

3、第二强度理路（最大拉应变理论），该理论认为，引起材料断裂的主要因素是最大拉应变，则断裂条件

为

?1u

，不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应变达到材料单向拉

伸断裂时的最大拉应变，材料即发生断裂。复杂应力状态下最大拉应变为

1 [?1

??2

)]

，而材料在单向拉伸断裂时的最大拉应变则为

，则断裂条件为

??? 2

，则强度条件为

???2

，该强度理论适用于非金属脆性材料，二向拉压，且压应力大于拉应力

4、第一强度理论和第二强度理论的极限曲线如图：
第三节有关屈服的强度理论
1、第三强度理论（最大切应力理论），该理论认为引起材料屈服的主要原因是最大切应力，屈服条件是

?max??s，不论材料出于何种应力状态，只要最大切应力达到材料单向拉伸时的最大切应力，材料即

发生屈服，复杂应力状态下的最大切应力?max

?	?1	?	?3	，材料单向拉伸屈服时的最大切应力则为
		2

，则屈服条件是

(?－?

)/ 2

/ 2

，相应的强度条件是?

?－?

1 3

1 3

2、第三强度理论的适用范围：轴类零件，受内压之钢管常用
3、第四强度理论（畸变能理论），该理论认为，引起材料屈服的主要因素是畸变能密度，不论材料出于何

种应力状态，只要畸变能密度

材

料

即

发

生

屈

(1??)[??1－?2

6 E

??2－?3

???3－?1?
2

]＝
(1?

3
??

E
s
2

，强度条件

达到材料单向拉伸屈服时的畸变能密度v ds，

服，则屈服条件

??1－?2

??2－?3

??3－?1

4、第三强度理论和第四强度理论的极限曲线如图：

第十章压杆稳定问题

第一节引言

1、刚性杆单自由度体系平衡的三种类型：偏离力矩Me?Py?PL?，恢复力矩Mr?kyL?kL?，①

MefMr，Pf kL，直线平衡状态不稳定，称为失稳，又叫作屈曲②MepMr，PpkL，直线平

衡状态稳定③Me?Mr，P?kL，临界状态，P为临界载荷，临界载荷就是使压杆在直线状态下的

稳定由稳定变为不稳定的轴向压力

2、计算临界载荷的基本方法：建立临界状态平衡方程，确定临界载荷第二节细长压杆的临界载荷

1、临界载荷的欧拉公式，通用公式为

P cr

，

为相当长度，

?为长度系

)

数。对于两端铰支细长压杆，

；对于一端固定另一端自由的细长压杆，

；对于一端铰支一端可动铰支，和一端固定另一端轴向移动的细长压杆，

；对于一端固定，另一端可动铰支，

0.7

第三节中、小柔度杆的临界应力

1、

F cr

π E 2

，其中，

μl

反映约束条件，与杆长度，约束条件有关，与材料性质无关

μl

2、定义

为截面的惯性半径，只与截面形状有关

3、定义柔度

，又称长细比，无量纲量

4、综上?cr

，

?综合反映杆长度，支撑方式l

?，截面几何性质对临界应力的影响i

5、

?cr

，故

，令

，欧拉公式适用条件为

，

为材料常数，

仅与材料的弹性模量

及比例极限?p

有关，

的杆称为大柔度杆

6、临界应力总图如下：

第四节压杆稳定条件与合理设计

压

杆

稳

定

条

件

：

F cr

，

n st

?cr

，

为稳定许用压力，

为稳定许用应力，

为许用安全因数，一般稳定安

n st

全因数要大于强度安全因数

1、提高稳定性的措施：①

，减小柔度，则增大

或，或减小i

②加约束，使

减小③

?cr

，可选择材料使

增大④不计局部削弱，对于局部削弱的截面应进行强度校

第十一章

疲劳与断裂

第一节引言

1、循环应力作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象，称为疲劳破坏，简称疲劳

第二节循环应力及其类型

1、在一个应力循环中，应力的极大值与极小值，分别称为最大应力和最小应力，最大应力?max

和最小应

力?min

的平均值称为平均应力，?m

?max

?min

2、最大应力与最小应力的代数差之半，称为应力幅，?s

?max

?min

3、应力变化的特点可用最小应力与最大应力的比值

表示，称为应力比或循环特征，

?min

?max

4、

r ??1

，称为对称循环应力；

r ?

，称为脉动循环应力

第三节

曲线与材料的疲劳极限

1、疲劳实验中，由计数器记下试样断裂时所旋转的总圈数获所经历的循环应力循环数

，即试样的疲劳

寿命

2、以最大应力?为纵坐标，疲劳寿命的对数值lgN为横坐标，根据实验数据所绘制的最大应力与疲劳寿

命关系的曲线，称为S?N曲线

3、作用应力越大，疲劳寿命越短，对于寿命N?104

（或105

）的疲劳问题，一般称为低周疲劳，反之，

称为高周疲劳

4、S?N曲线中渐近线的纵坐标所对应的应力，称为材料的持久极限，用?r表示

5、对于不存在水平渐近线的材料，常根据构件的使用要求，指定某一寿命N0对应的应力作为极限应力，

并称为材料的疲劳极限或条件疲劳极限

第四节影响构件疲劳极限的主要因素

1、合理设计构件外形

2、合理选择构件截面尺寸，大试样疲劳极限更低

3、提高表面加工质量

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材料力学基本概念