2013高三数学总复习7-3简单的线性规划问题

1.(文)在平面直角坐标系中，若点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方，则t 的取值范围是()
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(0,2)
[答案]C

[解析]∵点O(0,0)使x－2y＋4>0 成立，且点O 在直线下方，故

点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0 的下方?3t－2－2t＋4>0，∴t>－2.

[点评]可用B 值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0

?点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0 的上方；d<0?点P 在直线下方．

(理)若2x＋4y<4，则点(x，y)必在() A．直线x＋y－2＝0 的左下方
B．直线x＋y－2＝0 的右上方
C．直线x＋2y－2＝0 的右上方
D．直线x＋2y－2＝0 的左下方
[答案]D

[解析]∵2x＋4y≥2 ，由条件2x＋4y<4 知，

2 <4，∴x＋2y<2，即x＋2y－2<0，故选D.

2．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()
A．95B．91C．88D．75

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[答案]B

[解析]由2x＋3y＝30 知，y＝0 时，0≤x≤15，有16 个；

y＝1 时，0≤x≤13；y＝2 时，0≤x≤12；y＝3 时，0≤x≤10；y＝4 时，0≤x≤9；y＝5 时，0≤x≤7；y＝6 时，0≤x≤6；y＝7 时，0≤x≤4；y＝8 时，0≤x≤3；y＝9 时，0≤x≤1，y＝10 时，x＝0.

∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91 个．

3．(2011·天津文，2)设变量x，y 满足约束条件 则目标函数z＝3x－y 的最大值为()
A．－4 B．0

C. D．4

[答案]D
[解析]

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该线性约束条件所代表的平面区域如图，易解得A(1,3)，B(1，

)，C(2,2)，由z＝3x－y 得y＝3x－z，由图可知当x＝2，y＝2 时，z

取得最大值，即z 最大＝3×2－2＝4.故选D.

4．(文)(2011·安徽示范高中皖北协作区联考)已知x，y 满足不等

式组 目标函数z＝ax＋y 只在点(1,1)处取最小值，则有()

A．a>1 B．a>－1

C．a<1 D．a<－1

[答案]D

[解析]作出可行域如图阴影部分所示．

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由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.

只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a>1，

故a<－1，故选D.

(理)(2011·宝鸡质检)已知约束条件 若目标函数z＝x＋

ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为()

A．0<a< B．a≥

C．a> D．0<a<

[答案]C

[解析]作出可行域如图，

∵目标函数z＝x＋ay恰好在点A(2,2)处取得最大值，故－>－3，∴

a> .

5．(文)设不等式组 所表示的平面区域为S，若A、B 为区

域S 内的两个动点，则|AB|的最大值为()

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A．2 B.

C．3 D.

[答案]B

[解析]在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，

结合图形观察不难得知，

位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是

(0,3)与(2,0)，因此|AB|的最大值是 ，选B.

(理)(2012·内蒙古包头模拟)若变量x，y 满足约束条件 则z＝

2x－y 的最大值为()

A．－1B．0C．3D．4

[答案]C

[解析]作出可行域如图，作直线l0：2x－y＝0，平移l0 当平移

到经过点A(2,1)时，zmax＝3.

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6．(2011·兰州模拟)设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点

()

A．1 B．2

C．3 D．无数个

[答案]D

[分析]点N(x，y)在不等式表示的平面区域之内，U＝ ·

为x，y 的一次表达式，则问题即是当点N 在平面区域内变化时，求

U 取到最大值时，点N 的个数．

[解析]如图所示，可行域为图中阴影部分，而 · ＝2x＋y，

所以目标函数为z＝2x＋y，作出直线l：2x＋y＝0，显然它与直线2x＋

y－12＝0 平行，平移直线l 到直线2x＋y－12＝0 的位置时目标函数

取得最大值，故2x＋y－12＝0 上每一点都能使目标函数取得最大值，

故选D.

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7．(文)(2012·内蒙包头模拟)已知不等式组 表示的平面区域

S 的面积为4，点P(x，y)∈S，则z＝2x＋y 的最大值为________．

[答案]6
[解析]由题意知 ∴a＝2，

易得z＝2x＋y 的最大值为6.

(理)若由不等式组 (n>0)确定的平面区域的边界为三角形，

且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m＝________.

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[答案]－

[解析]根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上，

∴OA 为外接圆的直径，

∴直线x＝my＋n 与x－y＝0 垂直，

∴× ＝－1，即m＝－ .

8．(2011·浏阳模拟)设变量x，y 满足约束条件 则目标函数

z＝4x＋y 的最大值为________．

[答案]11

[解析]

如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z＝4x

＋y 在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.

9．铁矿石A 和B 的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2 的排放

量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：

	a	b(万吨)	c(百万元)
A	50%	1	3
B	70%	0.5	6

某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2 的排放量不超过

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2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．

[答案]15
[解析]设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：
目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：zmin＝3×1＋6×2＝15.

稳健型组合投资每份由金融10．某公司准备进行两种组合投资，
投资20 万元，房地产投资30 万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40 万元，房地产投资30 万元组成．
已知每份稳健型组合投资每 每份进取型组合投资每年可获利15 万元．若可作年可获利10 万元，
投资用的资金中，金融投资不超过160 万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？

[解析]设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z(单位：10 万元，则目标函数为z＝x＋1.5y(单位：10 万元)，线性约束条件为：
即

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作出可行域如图，解方程组
得交点M(4,2)，作直线l0：x＋1.5y＝0，平移l0，当平移后的直线过点M 时，z 取最大值：zmax＝(4＋3)×10 万元＝70 万元．

答：稳健型投资4 份，进取型投资2 份，才能使一年获利总额最多.

能力拓展提升
11.(文)(2012·福建文，10)若直线y＝2x 上存在点(x，y)满足约束条件 则实数m 的最大值为()
A．－1 B．1

C. D．2

[答案]B
[解析]本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力．

由约束条件作出其可行域，如图

由图可知当直线x＝m 过点P 时，m 取得最大值，

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由

得，

∴P(1,2)，此时x＝m＝1.

[点评]对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助

分析思路．

(理)(2011·重庆一诊)设实数x，y 满足条件 若目标函数z＝ax

＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为()