对应学生书P281
一、选择题
1．(2010·山东)在空间，下列命题正确的是()
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，因此A不对．平行于同一
直线的两个平面可以平行也可以相交，故B不对．垂直于同一平面的两个平面可以相交也
可以平行，故C不对．由于垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.
答案：D
2．(2010·湖北)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是()
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
解析：由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不
正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确.
答案：C
3．平面α∥平面β的一个充分条件是()
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
解析：A、B、C三个选项提供的条件都有可能平面α与β相交，故排除A、B、C.
答案：D
4．已知直线m、n及平面α、β，则下列命题正确的是()[
A. | ?α∥β | B. | ?n∥α |
C. | ?m∥β | D. | ?m∥n |
解析：A选项α也可能与β相交；B选项n也可能包含于α；C选项m也可能包含于
β.故选D.
答案：D
5．(2008·安徽)已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是()
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m∥α，m∥β，则α∥β
解析：对于D选项，m∥α，m∥β时，α、β可以平行，也可以相交，如m平行于α、β
的交线时，α、β便相交，∴D错；对于C选项，m∥α，n∥α时，m、n可以平行，也可以
相交，也可以异面，∴C错；对于A选项，α⊥γ，β⊥γ时，α、β可以平行，也可以相交(也
可以参照教室的一角)，∴A错；对于B，当m⊥α，n⊥α时，根据直线与平面垂直的性质
定理知m∥n，故B正确.
答案：B
6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()
A．4条 B．6条
C．8条 D．12条
解析：与边BD(或B1D1)平行的直线有4条；
与边BB1(或DD1)平行的直线有4条；
与对角线BD1平行的直线有2条；
与对角线B1D平行的直线有2条，共12条.
答案：D
二、填空题
7．已知a、b是异面直线，且a?平面α，b?平面β，a∥β，b∥α，则平面α与平面β的位置关系是______．
解析：若α∥\[KG*3]β，则α∩β＝c，∵a∥β，α∩β＝c，∴a∥c.同理b∥α，α∩β＝c，
∴b∥c.∴a∥b，与a、b是异面直线矛盾，∴α∥β.
答案：α∥β
8．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件__________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：由题意，HN∥平面B1BDD1，
FH∥平面B1BDD1.
∴平面NHF∥平面B1BDD1.
∴当M在线段HF上运动时，有MN∥平面B1BDD1.
答案：M∈线段HF
9．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β；
②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
解析：①由线面关系知，α、β也可能相交，故错；②由线面关系知l，m还可能异面，
故错；③三个平面两两相交，由线面平行关系知，m∥n正确.
答案：③
三、解答题
10．如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.
证明：取PC的中点M，连接ME、MF，
∵FM∥CD且FM＝CD，
AE∥CD且AE＝CD，
∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形．∴AF∥ME，又∵AF?平面PCE，EM?平面PCE，∴AF∥平面PCE.
11．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.
解析：(1)如图，取PD的中点H，连接AH、NH，由N是PC的中点，
知NH綊DC.
由M是AB的中点，
知AM綊DC.
∴NH綊AM，即AMNH为平行四边形．
∴MN∥AH.
由MN?平面PAD，AH?平面PAD，
知MN∥平面PAD.
(2)若平面MNQ∥平面PAD，则应有MQ∥PA，
∵M是AB中点，∴Q点是PB的中点．
12．(2010·陕西)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E－ABC的体积V.
解析：(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
∴EF∥AD.
又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，
则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA.
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
∴AP＝AB＝ ，EG＝.
∴S△ABC＝AB·BC＝× ×2＝，
∴VE－ABC＝S△ABC·EG＝× ×＝.
自助餐·选做题
1．(2011·浙江台州模拟)已知m、n为直线，α、β为平面，给出下列命题：① ?
n∥α；② | ?m∥n；③ | ?α∥β；④ | ?m∥n.其中正确命题的序号是() |
A．③④ | B．②③ | ||
C．①② | D．①②③④ | ||
解析：①不正确，n可能在α内．
②正确，垂直于同一平面的两直线平行．
③正确，垂直于同一直线的两平面平行．
④不正确，m、n可能为异面直线．故选B.
答案：B
2．下列命题中正确的个数是()
①若直线a不在平面α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑥平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：a∩α＝A时，a?α，∴①错；
直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；
l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；
a∥b，b∥α时，a∥α或a?α，故④错；
l∥α，l与α无公共点，∴l与α内任何一直线都无公共点，⑤正确；
长方体ABCD－A1B1C1D1中A1C1与B1D1都与面ABCD平行，∴⑥正确．故选B.
答案：B
3．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若m∥n，n?α，则m∥α；②若m∥α，n∥α，且m?β，n?β，则α∥β；③若m∥α，n?α，
则m∥n；④若α∥β，m?α，则m∥β.其中正确命题的个数是() A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①中m可能在α内，故①不正确；②中缺少m与n相交，这一条件，故②不正
确；③中m与n可能异面，故③不正确；④中由面面平行与线面平行的定义知④正确，故
选A.
答案：A
4．已知直线m，n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m，n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是() A．①②③ B．①④
C．①②④ D．②④
解析：当m，n都在α内时，是一条直线．
当m，n分别在α的两侧都平行于α且到α的距离相等时，是一个平面．
当m，n都平行于α，但到α的距离不相等时，是空集，任何时候都不可能只有一个点
满足条件.
答案：C