每天发布最有价值的高考资源4-3三角函数的图象与性质
基础巩固强化
1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的
图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω 的最
小值等于()
A. B．3
C．6 D．9
[答案]C
[解析]由题意知，＝ ·k(k∈Z)，
∴ω＝6k，令k＝1，∴ω＝6.
(理)(2012·浙江诸暨质检)函数f(x)＝sin2x＋ cos2x的图象可以由
函数y＝2sin2x 的图象经哪种平移得到()
A．向左平移 | 个单位 | B．向左平移个单位 |
C．向右平移 | 个单位 | D．向右平移个单位 |
[答案]B
[解析]∵f(x)＝sin2x＋ cos2x＝2sin(2x＋)＝2sin2(x＋)，∴f(x)
的图象可以由函数y＝2sin2x 向左平移个单位得到，故应选B.
2．(文)(2012·福建文，8)函数f(x)＝sin(x－)的图象的一条对称轴
是()
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A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
[答案]C
[解析]本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题．
函数f(x)＝sin(x－)的图象的对称轴是
x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋ ，k∈Z.
当k＝－1 时，x＝－π＋ ＝－.
[点评]正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低
点．
(理)(2011·海淀模拟)函数f(x)＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可以
为()
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
[答案]A
[解析]令2x＋＝kπ＋得x＝ | ＋ | ，k∈Z， | |
令k＝0 得x＝ | ，故选A. | ||
[点评]f(x)＝sin(2x＋)的图象的对称轴过最高点将选项代入检
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验，∵2× ＋＝，∴选A.
3．(文)(2011·唐山模拟)函数y＝sin(2x＋)的一个递减区间为()
A．( ， ) B．(－，)
C．(－，) D．( ， )
[答案]A
[解析]由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋ 得，
kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
令k＝0 得，≤x≤ ，故选A.
(理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在
( ，π)上单调递减，则ω 的取值范围是()
A．[ ，] B．[ ，]
C．(0，] D．(0,2]
[答案]A
[解析]本题考查了三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及间接法解
题．
ω＝2?ωx＋∈[ | ， | ]不合题意，排除D，ω＝1?(ωx＋)∈[ | ， |
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]合题意，排除B，C.
4．(2011·大连模拟)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上
的最小值是－2，则ω 的最小值为()
A. B.
C．2 D．3
[答案]B
[解析]∵f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上的最小值为－2，∴
≤，即≤，
∴ω≥，即ω 的最小值为.
5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，
ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则()
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝
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D．ω＝，φ＝
[答案]C
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[解析]∵＝3－1＝2，∴T＝8，∴ω＝ ＝.
令×1＋φ＝，得φ＝，∴选C.
(理)函数y＝ ，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中
的()
[答案]C
[解析]依题意，函数y＝ ，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，
排除A，当x∈(0，π)时，直线y＝x 的图象在y＝sinx 上方，所以y＝
>1，故选C.
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6．(文)(2011·课标全国文)设函数f(x)＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)，
则()
A．y＝f(x)在(0，)单调递增，其图象关于直线x＝对称
B．y＝f(x)在(0，)单调递增，其图象关于直线x＝对称
C．y＝f(x)在(0，)单调递减，其图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)在(0，)单调递减，其图象关于直线x＝对称
[答案]D
[解析]f(x)＝sin ＋cos
＝ sin ＝ cos2x.
则函数在 单调递减，其图象关于直线x＝对称．
(理)(2011·河南五校联考)给出下列命题：
①函数y＝cos( x＋)是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα
＝；③若α、β 是第一象限角且α<β，则tanα<tanβ；④x＝是函数y
＝sin(2x＋ )的一条对称轴方程；⑤函数y＝sin(2x＋)的图象关于点
( ，0)成中心对称图形．
其中正确命题的序号为()
A．①③ B．②④
C．①④ D．④⑤
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[答案]C
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[解析]①y＝cos( x＋)?y＝－sin x 是奇函数；
②由sinα＋cosα＝ | sin(α＋)的最大值为 | < ，所以不存在实数 |
α，使得sinα＋cosα＝；
③α，β 是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)，
即tanα<tanβ 不成立；
④把x＝代入y＝sin(2x＋ )得y＝sin ＝－1，
所以x＝是函数y＝sin(2x＋ )的一条对称轴；
⑤把x＝代入y＝sin(2x＋)得y＝sin ＝1，
所以点(，0)不是函数y＝sin(2x＋)的对称中心．
综上所述，只有①④正确．
[点评]作为选择题，判断①成立后排除B、D，再判断③(或④)即可下结论．
7．(文)函数y＝cosx 的定义域为[a，b]，值域为[－，1]，则b－
a 的最小值为________．
[答案]
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[解析]cosx＝－时，x＝2kπ＋ | 或x＝2kπ＋ | ，k∈Z，cosx＝ |
1 时，x＝2kπ，k∈Z.
由图象观察知，b－a 的最小值为 .
(理)(2011·江苏南通一模)函数f(x)＝sinωx＋ cosωx(x∈R)，又f(α)
＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于，则正数ω 的值为________．
[答案]1
[解析]f(x)＝sinωx＋ cosωx＝2sin(ωx＋)，
由f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于可知，＝，T＝
2π，所以ω＝1.
8．已知关于x 的方程2sin2x－ sin2x＋m－1＝0 在x∈( ，π)上
有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．
[答案]－2<m<－1
[解析]m＝1－2sin2x＋ | sin2x＝cos2x＋ | sin2x |
＝2sin(2x＋)，
∵x∈( ，π)时，原方程有两个不同的实数根，
∴直线y＝m 与曲线y＝2sin(2x＋)，x∈( ，π)有两个不同的交点，
∴－2<m<－1.
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9．(2011·济南调研)设函数y＝2sin(2x＋)的图象关于点P(x0,0)成
中心对称，若x0∈[－，0]，则x0＝________.
[答案]－
[解析]∵函数y＝2sin(2x＋)的对称中心是函数图象与x 轴的交
点，∴2sin(2x0＋)＝0，
∵x0∈[－，0]∴x0＝－.
10．(文)(2011·北京文)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
[解析](1)因为f(x)＝4cosxsin(x＋)－1
＝4cosx( sinx＋cosx)－1
＝ sin2x＋2cos2x－1＝ sin2x＋cos2x
＝2sin(2x＋)．
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤ .
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
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当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
(理)(2011·天津南开中学月考)已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，
cosx)，函数f(x)＝a·b＋ .
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．
[解析](1)f(x)＝sinxcosx－ cos2x＋
＝sin2x－ (cos2x＋1)＋
＝sin2x－ cos2x＝sin(2x－)，
所以f(x)的最小正周期为π.
令sin(2x－)＝0，得2x－＝kπ，
∴x＝ ＋，k∈Z.
故所求对称中心的坐标为(＋，0)(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤ .
∴－≤sin(2x－)≤1，即f(x)的值域为[－ ，1].
能力拓展提升
11.(文)(2011·苏州模拟)函数y＝sinx·| ()
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|(0<x<π)的图象大致是
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[答案]B
[解析]y＝sinx·| |
＝ .
(理)(2011·辽宁文)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|< )，y＝f(x)
的部分图象如图，则f( )＝()
A．2＋ B.
C. D．2－
[答案]B
[解析]由图可知：T＝2×( π－)＝，
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∴ω＝＝2，
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又∵图象过点( π，0)，
∴A·tan(2× π＋φ)＝A·tan( π＋φ)＝0，
∴φ＝.
又∵图象还过点(0,1)，∴Atan(2×0＋)＝A＝1，
∴f(x)＝tan(2x＋)，
∴f( )＝tan(2× ＋)
＝tan( ＋)＝tan ＝ .
12．(文)为了使函数y＝cosωx(ω>0)在区间[0,1]上至多出现50 次
最小值，则ω 的最大值是()
A．98π B. π
C．99π D．100π
[答案]C
[解析]由题意至多出现50 次最小值即至多需用49 个周期，∴
· ≥1，∴ω≤99π，故选C.
(理)有一种波，其波形为函数y＝sin 的图象，若在区间[0，
t](t>0)上至少有2 个波谷(图象的最低点)，则正整数t 的最小值是()
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A．5B．6C．7D．8 [答案]C
[解析]∵y＝sin 的图象在[0，t]上至少有2 个波谷，函数y
＝sin的周期T＝4，
∴t≥T＝7，故选C.
13．(文)(2011·南昌调研)设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，
))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝
结论中：
①图象关于点( ，0)对称；
②图象关于点( ，0)对称；
③在[0，]上是增函数；
④在[－，0]上是增函数中，
所有正确结论的编号为________．
[答案]②④
对称，则在下面四个
[解析]由最小正周期为π 得， ＝π，∴ω＝2；再由图象关于直
线x＝对称，∴2× ＋φ＝，∴φ＝，
∴f(x)＝sin(2x＋)，当x＝时，f( )＝≠0，故①错；当x＝时，
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f( )＝0，故②正确；由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋ (k∈Z)得，kπ－
≤x≤kπ＋ | ，令k＝0 得，－ | ≤x≤ | ，故③错，④正确，∴正确结 |
论为②④.
(理)(2011·南京模拟)已知函数f(x)＝xsinx，现有下列命题：
①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)的最小正周期是2π；③点(π，0)
是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间[0，]上单调递
增，在区间[－，0]上单调递减．
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．
[答案]①④
[解析]∵y＝x 与y＝sinx 均为奇函数，∴f(x)为偶函数，故①真；∵
f( )＝，f( ＋2π)＝＋2π≠，
∴②假；∵f( )＝，f( )＝－ ，＋ ＝2π，＋(－ )≠0，∴③
假；设0≤x1<x2≤，则＝· <1，∴f(x1)<f(x2)(f(x2)>0)，∴f(x)
在[0，]上为增函数，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[－，0]上为减函数，∴
④真．
14．函数f(x)＝2acos2x＋bsinxcosx 满足：f(0)＝2，f( )＝＋ .
(1)求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若α、β∈(0，π)，f(α)＝f(β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．
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[解析](1)由
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得 解得a＝1，b＝2，
∴f(x)＝sin2x＋cos2x＋1＝
∵－1≤sin(2x＋)≤1，
sin(2x＋)＋1，
∴f(x)max＝ | ＋1，f(x)min＝1－ | . |
(2)由f(α)＝f(β)得，sin(2α＋)＝sin(2β＋)．
∵2α＋、2β＋∈( ， )，且α≠β，
∴2α＋＝π－(2β＋)或2α＋＝3π－(2β＋)，
∴α＋β＝或α＋β＝ ，故tan(α＋β)＝1.
15．(文)(2011·长沙一中月考)已知f(x)＝sinx＋sin( －x)．
(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝，求f(α)的值；
(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．
[解析](1)由题设知f(α)＝sinα＋cosα.
∵sin2α＝＝2sinα·cosα>0，α∈[0，π]，
∴α∈(0，)，sinα＋cosα>0.
由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα＝，
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得sinα＋cosα＝ ，∴f(α)＝ .
(2)由(1)知f(x)＝ sin(x＋)，又0≤x≤π，
∴f(x)的单调递增区间为[0，]．
(理)在△ABC 中，a、b、c 分别是角A、B、C 的对边，向量m＝
(b,2a－c)，n＝(cosB，cosC)，且m∥n.
(1)求角B 的大小；
(2)设f(x)＝cos ＋sinωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π，
求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
[解析](1)由m∥n 得，bcosC＝(2a－c)cosB，
∴bcosC＋ccosB＝2acosB.
由正弦定理得，sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，
即sin(B＋C)＝2sinAcosB.
又B＋C＝π－A，∴sinA＝2sinAcosB.
又sinA≠0，∴cosB＝.又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)由题知f(x)＝cos(ωx－)＋sinωx
＝ cosωx＋sinωx＝ sin(ωx＋)，
由已知得 ＝π，∴ω＝2，f(x)＝ sin(2x＋)，
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当x∈[0，]时，(2x＋)∈[ ， ]，
sin(2x＋)∈[－，1]．
因此，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值 .
当2x＋＝ ，即x＝时，f(x)取得最小值－ .
16．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝－1＋2
sinxcosx＋2cos2x.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标；
(3)若角α，β 的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．
[解析]f(x)＝ sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，
(1)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋ (k∈Z)
得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
∴f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋ ](k∈Z)．
(2)由sin(2x＋)＝0 得2x＋＝kπ(k∈Z)，
即x＝ － (k∈Z)，
∴f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(－ ，0)．
(3)由f(α)＝f(β)得：
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2sin(2α＋)＝2sin(2β＋)，
又∵角α 与β 的终边不共线，
∴(2α＋)＋(2β＋)＝2kπ＋π(k∈Z)，
即α＋β＝kπ＋(k∈Z)，∴tan(α＋β)＝ .
(理)
(2011·浙江文)已知函数f(x)＝Asin( x＋φ)，x∈R，A>0,0<φ< .y＝
f(x)的部分图象如图所示，P、Q 分别为该图象的最高点和最低点，
点P 的坐标为(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ 的值；
(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ＝
[解析](1)由题意得，T＝ ＝6，
，求A的值．
因为P(1，A)在y＝Asin( x＋φ)的图象上，
所以sin( ＋φ)＝1.
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又因为0<φ< ，所以φ＝.
(2)设点Q 的坐标为(x0，－A)，
由题意可知x0＋＝，得x0＝4，
所以Q(4，－A)．
连接PQ，在△PRQ 中，∠PRQ＝π，由余弦定理得，
cos∠PRQ＝ | ＝ | . | ＝－， |
解得A2＝3 又A>0，所以A＝ | |||
1．(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0，－
<φ<0)在x＝处取得最大值，则f(x)在[－π，0]上的单调增区间是()
A．[－π，－ ] B．[－ ，－]
C．[－，0] D．[－，0]
[答案]D
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[解析]∵f(x)＝Asin(x＋φ)在x＝
每天发布最有价值的高考资源处取得最大值，A>0，－
<φ<0，∴φ＝－，∴f(x)＝Asin(x－)，由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)
得2kπ－≤x≤2kπ＋
，令k＝0得－≤x≤0，故选D.
2．(2011·长沙二模)若将函数y＝sin (ω>0)的图象向右平移
个单位长度后，与函数y＝sin
()
的图象重合，则ω的最小值为
A．1 B．2
C. D.
[答案]D
[解析]y＝sin
y＝sin | ＝sin | ， |
∴－ω＋2kπ＝，∴ω＝8k－(k∈Z)，
又∵ω>0，∴ωmin＝ | . | sin | 图象上相邻的 |
3．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f(x)＝ | |||
一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最
小正周期为()
A．1B．2C．3D．4
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[答案]D
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[解析]f(x)的周期T＝ ＝2R，f(x)的最大值是 ，结合图形分
析知R> ，则2R>2 >3，只有2R＝4 这一种可能，故选D.
4．(2012·河北保定模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)与b＝(cosθ，－
sinθ)互相垂直，且θ 为锐角，则函数f(x)＝sin(2x－θ)的图象的一条对
称轴是直线()
A．x＝π B．x＝
C．x＝ D．x＝
[答案]B
[解析]a·b＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝0，
∵θ 为锐角，∴θ＝，∴f(x)＝sin(2x－)．
由2x－＝kπ＋得，x＝ | ＋ | ， | |
令k＝1 得x＝ | ，故选B. | ||
5.
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(2011·北京西城模拟)函数y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分图象如图所
示，设P 是图象的最高点，A，B 是图象与x 轴的交点，则tan∠APB
＝()
A．10 B．8
C. D.
[答案]B
[分析]利用正弦函数的周期、最值等性质求解．
[解析]如图，过P 作PC⊥x 轴，垂足为C，设∠APC＝α，∠BPC
＝β，∴∠APB＝α＋β，y＝sin(πx＋φ)，T＝ ＝2，tanα＝
＝＝，tanβ＝ | ＝＝，则tan(α＋β)＝ | ＝ |
＝8，∴选B.
6．对任意x1，x2∈ | ，x2>x1，y1＝ | ，y2＝ | ， |
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则()
A．y1＝y2
B．y1>y2
C．y1<y2
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D．y1，y2 的大小关系不能确定
[答案]B
[解析]取函数y＝1＋sinx，则
的几何意义为过原点及点
(x1,1＋sinx1)的直线斜率， 的几何意义为过原点及点(x2,1＋
sinx2)的直线斜率，由x1<x2，观察函数y＝1＋sinx 的图象可得y1>y2.
选B.
7．(2011·菏泽模拟)对于函数f(x)＝ ，给出下列四个命题：
①该函数是以π 为最小正周期的周期函数；
②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值是－1；
③该函数的图象关于直线x＝ ＋2kπ(k∈Z)对称；
④当且仅当2kπ<x< ＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤ .
其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填
上)
[答案]③④
[解析]画出函数f(x)的图象，易知③④正确．
8．已知函数f(x)＝ | sin(2x－)＋2sin2(x－ | )(x∈R)． |
(1)求函数f(x)的最小正周期；
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(2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合．
[解析](1)f(x)＝ | sin(2x－ | )＋1－cos2(x－ | )＝2 |
＋1
＝2sin(2x－)＋1.
所以最小正周期为T＝π.
(2)当f(x)取最大值时，只要sin(2x－)＝1，得出x＝kπ＋ (k∈
Z)，∴x 值的集合为{x|x＝kπ＋ ，k∈Z}．
[点评]差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为
简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三
角函数的形式等等．
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