对应学生书P251
一、选择题
1．(2011·沈阳模拟)在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()
A．11B．12C．13D．14
解析：观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.
答案：C
2．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()
A．2n－1 B. n－1
C．n2 D．n
解析：方法一：由已知，整理，得(n＋1)an＝nan＋1，
∴ ＝，∴数列 是常数列．
且＝ ＝1，∴an＝n.
方法二(累乘法)：n≥2时， ＝
＝ ，
?
＝，
＝，
以上各式两边分别相乘，得答案：D
＝n.又∵a1＝1，∴an＝n.
3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N*，都有an＋1＞an 成立，则实数k 的取值范围是()
A．k＞0 B．k＞－1
C．k＞－2 D．k＞－3
解析：∵an＋1＞an，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，
即k＞－(2n＋1)对于n∈N*都成立，
而－(2n＋1)当n＝1时取到最大值－3，所以k＞－3.
答案：D
4．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝ (n≥3，n∈N*)，则a17＝()
A．1 B．2 C． D．2－987
解析：由已知，得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，
a10＝1，a11＝，a12＝，即an的值以6为周期重复出现，故a17＝.
答案：C
5．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则 的值是()
A.B. C. D.
解析：由已知，得a2＝1＋(－1)2＝2，
∴a3a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝，
∴a4＝＋(－1)4，∴a4＝3，
∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，
∴＝＝.
答案：C
6．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a，b为常数，
则ab等于()
A．1 | B．－1 | C．2 | D．－2 |
解析：方法一：n＝1时，a1＝，∴＝a＋b，①
当n＝2 时，a2＝ | ，∴＋ | ＝4a＋2b.② |
由①②得，a＝2，b＝－，∴ab＝－1.
方法二：a1＝，Sn＝ ＝2n2－n，
又Sn＝an2＋bn，∴a＝2，b＝－，
∴ab＝－1.
答案：B
二、填空题
7．(2011·福建厦门质检)已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝__________.
解析：∵an＋1－an＝2n－1，
∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，
an－an－1＝2n－3，n≥2.
∴an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)．
∴an＝20＋ ＝n2－2n＋21.
答案：n2－2n＋21
8．已知{an}的前n项和为Sn，满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝__________.
解析：由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1，
∴Sn＝2n＋1－1.
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n.
∵n＝1时不适合an，
∴an＝
答案：
9．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝__________，a2014＝__________.
解析：a2009＝a4×503－3＝1，a2014＝a1007＝a252×4－1＝0.
答案：10
三、解答题
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，求该数列的通项公式．
解析：由S1＝1，得a1＝1.又由S2＝2可知，a2＝1.
∵Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*，且n≥2)，
∴Sn＋1－Sn－2Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*，且n≥2)，
即(Sn＋1－Sn)－2(Sn－Sn－1)＝0(n∈N*且n≥2)，
∴an＋1＝2an(n∈N*且n≥2)，故数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列．∴数列{an}的通项公式为an＝ n∈N*.
11．(2011·宿州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)．
(1)求a2，a3；[来源:Z.xx.k.Com]
(2)求数列{an}的通项公式.
解析：(1)由已知，{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，∴a2＝a1＋4＝5，a3＝a2＋7＝12.
(2)由已知，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，得an－an－1＝3n－2.
由递推关系，
得an－1－an－2＝3n－5，…，a3－a2＝7，a2－a1＝4，累加得
an－a1＝4＋7＋…＋3n－2
＝ ＝ ，
∴an＝ (n≥2)．
当n＝1时，1＝a1＝ ＝1，
∴数列{an}的通项公式an＝ .
12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.(1)设bn＝an＋1－an＝2n－6，求bn的通项公式；
(2)求n为何值时an最小.[来源:学科网]
解析：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6，得
(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6.
∴bn＋1－bn＝2n－6.
当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6，
bn－1－bn－2＝2(n－2)－6，
?
b3－b2＝2×2－6
b2－b1＝2×1－6
累加得bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)
＝n(n－1)－6n＋6
＝n2－7n＋6.
又b1＝a2－a1＝－14，
∴bn＝n2－7n－8(n≥2)，
n＝1时，b1也适合此式．
故bn＝n2－7n－8.
(2)由bn＝(n－8)(n＋1)，得an＋1－an＝(n－8)(n＋1)，∴当n＜8时，an＋1＜an；
当n＝8时，a9＝a8；
当n＞8时，an＋1＞an.
∴当n＝8，或n＝9时，an的值最小.
自助餐·选做题
1．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的()
A．第48项 B．第49项C．第50项 D．第51项
解析：将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n组n个， ， ，
，…， ，则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则为第10组中
的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.
答案：C[来源:Z#xx#k.Com]
2．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…的第100项是()A．14 B．12C．13 D．15
解析：易知数字为n时共有n个，到数字n时，总共的数字的个数为1＋2＋3＋…＋n＝
.易知n＝13时，最后一项为第91项，n＝14共有14个，故第100项为14.
答案：A
3．(2011·哈尔滨模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23
456
710[来源:学科网ZXXK]
… … … … …
按照以上排列的规律，第15行从左向右的第3个数为__________．[来源:学科网ZXXK]
解析：方法一：由数阵可知，第n行共有n个数．
设an为第n个正整数，则a1＝1，a2＝2，an＝n，
其前n行的项数和为Sn，
则Sn＝ .
令n＝14，则S14＝7×15＝105，
∴第14行的从左向右的最后1个数是105，
第15行从左向右的第1个数是106，第3个数为108.
方法二：由各行的首位组成数列{bn}，
则b1＝1，b2＝2，b3＝4，b4＝7，
∴bn＝bn－1＋(n－1)，
bn－1＝bn－2＋(n－2)，
?
b2＝b1＋1.
累加得bn＝b1＋1＋2＋…＋(n－1)＝＋1.
∴b15＝＋1＝106.
∴第15行从左向右的第3个数为108.
答案：108