单元测评(六)
测试内容：数列测试时间：120分钟试卷满分：150分
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为()
A．6B．7C．8D．9
解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6.
答案：A
2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足 － ＝1，则数列{an}的公差是()
A.B．1 C．2 D．3
解析：由Sn＝na1＋ d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入 － ＝1，得d＝2，
故选C.
答案：C
3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2011等于()
A．1B．－4 C．4 D．5
解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…
故{an}是以6为周期的数列，
∴a2011＝a6×335＋1＝a1＝1.
答案：A
4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是
()
A．d＜0 B．a7＝0
C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.
又S7＞S8，∴a8＜0.
假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.
∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.∴C错误.
答案：C
1
5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q的值为()
A．－ B.
C．1或－ D．－2或
解析：设首项为a1，公比为q，
则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意．
当q≠1时， ＝3·a1q2，
∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，
解得q＝1(舍去)，或q＝－.
综上，q＝1，或q＝－.
答案：C
6．若数列{an}的通项公式an＝5· | 2n－2－4· | n－1，数列{an}的最大项为第x |
项，最小项为第y项，则x＋y等于()
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：an＝5· | 2n－2－4· | n－1 |
＝5· | 2－， |
∴n＝2时，an最小；n＝1时，an最大．
此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3.
答案：A
7．数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是
()
A．a21a22 B．a22a23
C．a23a24 D．a24a25
解析：∵3an＋1＝3an－2，
∴an＋1－an＝－，即公差d＝－.
∴an＝a1＋(n－1)·d＝15－(n－1)．
2
令an＞0，即15－(n－1)＞0，解得n＜23.5.
又n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，而a24＜0，∴a23a24＜0.
答案：C
8．已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且 ＝2＋ ，则an＝()
A．2n－1 B．2n
C．2n－2 D．2n＋1－2
解析：∵＝2＋ ，∴Sn＋1＝2Sn＋2，∴Sn＝2Sn－1＋2(n≥2)，
∴当n≥2时，an＋1＝2an，又∵a2＋a1＝2a1＋2，a1＝2，
∴a2＝2a1，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＝2n，故选B.
答案：B
9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为()
A．25 B．50 C．100 D．不存在
解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10.
∴a7＋a14＝10.
又a7＞0，a14＞0，∴a7·a14≤ 2＝25.
答案：A
10．公差不为0的等差数列{an}中，3a2007－a20092＋3a2011＝0，数列{bn}是等比数列，
且b2009＝a2009，则b2008b2010＝()
A．4 B．8 C．16 D．36
解析：因为3a2007－a20092＋3a2011＝0，所以6a2009－a20092＝0，即a2009(a2009－6)＝0，
由a2009＝b2009≠0知，b2009＝a2009＝6，所以b2008b2010＝b20092＝62＝36.故选D.
答案：D[来源:学科网ZXXK]
11．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有
n个数，则第n组的首项为()
A．n2－n B．n2＋n＋2
C．n2＋n D．n2－n＋2
解析：因为前n－1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝ 项，所
3
以第n 组的首项为数列2,4,6，…的第 | ＋1 项，等于2＋ | ·2＝n2－n＋2. |
答案：D[来源:学*科*网]
12．设m∈N*，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1024)的值是()A．8204 B．8192
D．以上都不对
C．9218 解析：依题意，F(1)＝0，
F(2)＝F(3)＝1，有两个
F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个．
F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个．
F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个．
…
F(512)＝…＝F(1023)＝9，有29个．
F(1024)＝10，有1个．
故F(1)＋F(2)＋…＋F(1024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.
令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①
则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②
①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210＝
－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，
∴T＝8×210＋2＝8194，
∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1024)＝8194＋10＝8204.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若数列{an}满足关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数列的通项公式为__________．
解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)，∴{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列，∴an＋1＝3·3n－1＝3n，∴an＝3n－1.
4
答案：an＝3n－1
14．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的大小
关系是__________．
解析：设{an}的公差为d，则d≠0.
M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)]
＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2
＝－2d2＜0，
∴M＜N.
答案：M＜N
15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意大于1 的正整数n，点( | ， | )在直线x－y＝ | ||||||||
上，则数列{ | }的前n 项和Sn＝__________. | |||||||||
解析：∵点( | ， | )在直线x－y＝ | 上， | |||||||
∴ | － | ＝ | ，即数列{ | n}为等差数列． | ||||||
∴ | ＝ | ＋ | (n－1)＝ | ＋ | (n－1)＝ | n， | ||||
∴an＝6n2.
∴ | ＝ | ＝ | ＝ | ＝6 | . |
∴Sn＝6 | . | ||||
＝6 |
答案：
16．观察下表：
1
234[来源:Zxxk.Com]
34567
456710
…
则第__________行的各数之和等于20092.
解析：设第n行的各数之和等于20092，
5
则此行是一个首项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列．故S＝n×(2n－1)＋＝20092，
解得n＝1005.
答案：1005
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2.
(1)求证：{bn}是等比数列，并求bn；
(2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.
解析：(1)∵ | ＝ | ＝ | ＝ | ＝， |
∴{bn}是等比数列．
∵b1＝a1－2＝－，
∴bn＝b1qn－1＝－× | n－1＝－ | . | |
(2)an＝bn＋2＝－ | ＋2， | ||
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝ | ＋ | ＋ | ＋…＋ |
＝－3× | ＋2n | ＋2n－3. | |
＝－3× | ＋2n＝ |
18．(12分)若数列{an}的前n项和Sn＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝ ，求数列{cn}的通项公式
及其前n项和Tn.
解析：(1)由题意Sn＝2n，
得Sn－1＝2n－1(n≥2)，
6
两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)．
当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2.
∴an＝
(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，
∴b2－b1＝1，
b3－b2＝3，
b4－b3＝5，
…
bn－bn－1＝2n－3.
以上各式相加，得
bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)
＝ ＝(n－1)2.
∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n，
∴cn＝
∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1，∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n.
∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n
＝－(n－2)×2n
＝2n－2－(n－2)×2n
＝－2－(n－3)×2n.
∴Tn＝2＋(n－3)×2n.
19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．
7
解析：(1)依题意，得
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
即an＝2n＋1.
(2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)
＝＋n＝2n＋2－4＋n.
20．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解析：(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n＞1)，∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，
∴an＋1＝3an(n∈N*，n＞1)．
而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.
∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n－1(n∈N*)．
∴a1＝，a2＝3，a3＝9，
在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.
又因为a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝，解得d＝－10或d＝2，∵bn＞0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N*)．
(2)由(1)知[来源:学科网]
8
Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②∴①－②得
－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n
＝3＋2× －(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n，
∴Tn＝n·3n.
21．(12分)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋an－1b2＋anb1＝2n＋1－n－2.
(1)若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{bn}是等比数列； (2)若数列{bn}是等比数列，则数列{an}是否是等差数列，若是，请求出数列{an}的通项公式；若不是，请说明理由．
解析：(1)依题意得，数列{an}的通项公式是an＝n，
原等式即为bn＋2bn－1＋3bn－2＋…＋(n－1)b2＋nb1＝2n＋1－n－2，
同时有bn－1＋2bn－2＋3bn－3＋…＋(n－2)b2＋(n－1)b1＝2n－n－1(n≥2)，
两式相减可得bn＋bn－1＋…＋b2＋b1＝2n－1(n≥2)，
bn＋1＋bn＋bn－1＋…＋b2＋b1＝2n＋1－1，bn＋1＝2n(n≥2)，又b1＝1和b2＝2也满足上式，故可得数列{bn}的通项公式是bn＝2n－1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)设等比数列{bn}的首项为b，公比为q，则bn＝bqn－1，从而有：bqn－1a1＋bqn－2a2＋bqn－3a3＋…＋bqan－1＋ban＝2n＋1－n－2，又bqn－2a1＋bqn－3a2＋bqn－4a3＋…＋ban－1＝2n－n－1(n≥2)，故(2n－n－1)q＋ban＝2n＋1－n－2(n≥2)，
an＝ | ×2n＋ | ×n＋ | (n≥2， | ，an＋1－an＝ | ×2n＋ | (n≥2)，a2－a1＝ |
an＋1＝ | ×2n＋1＋ | ×(n＋1)＋ | ||||
也满足上式，故an＋1－an＝ | ×2n＋ | ， | ||||
9
要使an＋1－an是与n无关的常数，则q＝2.
故当等比数列{bn}的公比q＝2时，数列{an}是等差数列，其通项公式是an＝；
当等比数列{bn}的公比不是2时，数列{an}不是等差数列．
22．(12分)已知各项均为正数的数列{an}满足2an＋12＋3an＋1an－2an2＝0(n∈N*)，且a3＋
是a2，a4的等差中项．数列{bn}的前n项和为Sn＝n2.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)若Tn＝ | ＋ | ＋…＋ | ，求证：Tn＜. |
(3)若cn＝－ | ，Tn′＝c1＋c2＋…＋cn，求使Tn′＋n·2n＋1＞125 成立的正整数n 的 | ||
最小值．
解析：(1)∵2an＋12＋3an＋1an－2an2＝0，
∴(an＋1＋2an)(2an＋1－an)＝0，
∵数列{an}的各项均为正数，
∴an＋1＋2an＞0，∴2an＋1－an＝0，即an＋1＝an(n∈N*)，所以数列{an}是以为公比的
等比数列．
∵a3＋是a2，a4的等差中项，∴a2＋a4＝2a3＋ ，
即a1q＋a1q3＝2a1q2＋ ，
∴a1＋a1＝a1＋ ，∴a1＝，
∴数列{an}的通项公式an＝ n.[来源:学科网]
当n＝1时，b1＝S1＝1；
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又2×1－1＝1，所以bn＝2n－1.
(2)因为Tn＝ | ＋ | ＋…＋ | |
＝ | ＋ | ＋…＋ | |
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＝
＝，
所以Tn＜.
(3)由(1)及cn＝－得，cn＝－n·2n.
∵Tn′＝c1＋c2＋…＋cn，∴Tn′＝－2－2·22－3·23－4·24－…－n·2n，①
∴2Tn′＝－22－2·23－3·24－4·25－…－(n－1)·2n－n·2n＋1，②
②－①得，Tn′＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2n－n·2n＋1＝ －n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1
－2.
要使Tn′＋n·2n＋1＞125成立，只需2n＋1－2＞125成立，即2n＋1＞127，所以n≥6.
∴使Tn′＋n·2n＋1＞125成立的正整数n的最小值为6.
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