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8-3 直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系
基础巩固强化
1.(文)(2011·深圳二模)直线l：mx－y＋1－m＝0 与圆C：x2＋(y－
1)2＝5 的位置关系是()
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
[答案]A
[解析]解法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝ | <1< | ，故 |
选A.
解法二：直线mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2
＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线l 与圆C 是相交的，故选A.
(理)(2012·重庆理，3)对任意的实数k，直线y＝kx＋1 与圆x2＋y2
＝2 的位置关系一定是()
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心[答案]C
D．相交且直线过圆心
[解析]本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．
圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0 的距离d＝ | ≤1< | . |
所以直线与圆相交，故选C.
[点评]圆与直线的位置关系一般运用圆心到直线的距离d 与圆的半径关系判断．若直线过定点，也可通过该点在圆内，圆外，圆上去判断．如本题中直线y＝kx＋1 过定点M(0,1)，M 在圆内．
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2．(2011·济南二模)“a＝3”是“直线y＝x＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 相切”的()
A．充分不必要条件C．充要条件
[答案]A
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]若直线y＝x＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 相切，则有
＝2 ，即|a＋1|＝4，所以a＝3 或－5.但当a＝3 时，直线y
＝x＋4 与圆(x－a)2＋(x－3)2＝8 一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x
＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 相切”的充分不必要条件．
3．(2011·东北三校联考)若a、b、c 是直角三角形的三边(c 为斜
边)，则圆x2＋y2＝2 截直线ax＋by＋c＝0 所得的弦长等于()
A．1B．2C. D．2
[答案]B
[解析]∵a、b、c 是直角三角形的三条边，
∴a2＋b2＝c2.
设圆心O 到直线ax＋by＋c＝0 的距离为d，则d＝ ＝1，∴
直线被圆所截得的弦长为
2 ＝2.
4．(2011·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4 与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝
0 关于直线l 对称，则直线l 的方程是()
A．x－2y＋1＝0 C．x－y＋3＝0
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[答案]D
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[解析]解法一：圆心O(0,0)，C(3，－3)的中点P( ，－)在直
线l 上，排除A、B、C，选D.
解法二：两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，
即x－y－3＝0，故选D.
[点评]直线l 为两圆心连线段的中垂线．
5．(2012·山东文，9)圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的
位置关系为()
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
[答案]B
[解析]本题考查圆与圆的位置关系．
两圆圆心分别为A(－2,0)，B(2,1)，
半径分别为r1＝2，r2＝3，|AB|＝，
∵3－2< <2＋3，∴两圆相交．
6．(文)(2012·福建文，7)直线x＋ y－2＝0 与圆x2＋y2＝4 相交
于A，B 两点，则弦AB 的长度等于()
A．2 B．2
C. D．1
[答案]B
[解析]本题考查了圆的弦长问题．
如图可知
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d＝ | ＝1， | ＝2 | . |
∴|AB|＝2|BC|＝2 | |||
[点评]涉及到直线与圆相交的弦长问题，优先用Rt△OCB 这一
勾股关系，在椭圆中的弦长问题则选用弦长公式l＝ |x2－x1|＝
|y2－y1|.
(理)(2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中考)已
知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，则圆C 上任意一点A 到直
线l 的距离小于2 的概率为()
A. B.
C. D.
[答案]B
[解析]⊙C 上的点到直线l：4x＋3y＝25 的距离等于2 的点，
在直线l1：4x＋3y＝15 上，圆心到l1 的距离d＝3，圆半径r＝2 ，∴⊙
C 截l1 的弦长为|AB|＝2 ＝2 ，∴圆心角∠AOB＝， 的长为
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⊙C 周长的，故选B.
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7．(2012·北京东城区示范校练习)已知圆x2＋y2＝9 与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0 关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．
[答案]x－y－2＝0
[解析]由题易知，直线l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分
线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－
1)，又过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l 的斜率是1，于是
可得直线l 的方程为：y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
[点评]两圆方程相减，即可得出对称直线方程．
8．(文)(2012·皖南八校第三次联考)已知点P(1，－2)，以Q 为圆心的圆Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，以PQ 为直径作圆与圆Q 交于A、B两点，连接PA、PB，则∠APB 的余弦值为________．
[答案]
[解析]由题意可知QA⊥PA，QB⊥PB，故PA，PB 是圆Q 的
两条切线，cos∠APB＝2cos2∠APQ－1＝2×( )2－1＝ .
(理)已知直线x＋y＝a 与圆x2＋y2＝4 交于A、B 两点，O 为原点，
且 · ＝2，则实数a 的值等于________．
[答案]±
[解析]本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算．
设 | 、 | 的夹角为θ，则 | · | ＝R2·cosθ＝4cosθ＝2， |
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∴cosθ＝，∴θ＝，则弦AB 的长|AB|＝2，弦心距为 ，由圆心
(0,0)到直线的距离公式有：
＝ | ，解之得a＝± | . |
9．(文)与直线x＋y－2＝0 和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0 都相
切的半径最小的圆的标准方程是________．
[答案](x－2)2＋(y－2)2＝2
[解析]∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝3 ，
∵A 到l 的距离5 ，∴所求圆B 的直径2r2＝2 ，
即r2＝ .
设B(m，n)，则由BA⊥l 得 ＝1，
又∵B 到l 距离为 ，∴ ＝ ，
解出m＝2，n＝2.
(理)(2011·杭州二检)已知A，B 是圆O：x2＋y2＝16 上的两点，且
|AB|＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C(1，－1)，则圆心M 的
轨迹方程是________．
[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝9
[解析]设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6 知，圆M 的半径r＝3，则
|MC|＝3，即 ＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
10．(文)已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0 与直线l：x＋2y－3＝
0.
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(1)若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；
(2)若直线l 与圆C 相交于P、Q 两点，O 为原点，且OP⊥OQ，
求实数m 的值．
[解析](1)将圆的方程配方，
得(x＋)2＋(y－3)2＝ | . | ， | |
故有 | >0，解得m< | ||
将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组，得
消去y，得x2＋( | )2＋x－6× | ＋m＝0， |
整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0，①
∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m
－27)<0，解得m>8.
∴m 的取值范围是(8， )．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由OP⊥OQ，得 | · | ＝0， |
由x1x2＋y1y2＝0，②
由(1)及根与系数的关系得，
x1＋x2＝－2，x1·x2＝ ③
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又∵P、Q 在直线x＋2y－3＝0 上，
∴y1·y2＝ ·
＝[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，
将③代入上式，得y1·y2＝ ，④
将③④代入②得x1·x2＋y1·y2
＝ | ＋ | ＝0，解得m＝3， |
代入方程①检验得Δ>0 成立，∴m＝3.
(理)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l 过A(－1,0)与圆C 相
交于P、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m：x＋3y＋6＝0 相交于
N.
(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C；
(2)当PQ＝2 时，求直线l 的方程；
(3)探索 · 是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；
若有关，请说明理由．
[解析](1)证明：因为l 与m 垂直，
且km＝－，kl＝3，
故直线l：y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.
显然圆心(0,3)在直线l 上，
即当l 与m 垂直时，l 必过圆心．
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(2)①当直线l 与x 轴垂直时，
易知x＝－1 符合题意．
②当直线l 与x 轴不垂直时，
设直线l 的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
因为PQ＝2 | ，所以CM＝ | ＝1， |
则由CM＝ | ＝1，得k＝. |
所以直线l：4x－3y＋4＝0.
从而所求的直线l 的方程为x＝－1 或4x－3y＋4＝0.
(3)因为CM⊥MN，
所以 | · | · | ＋ | ＝( | ＋ | )· | . |
＝ | · | ＝ | · |
①当l 与x 轴垂直时，
易得N(－1，－)，则 | · | ＝(0，－)， | |||
又 | ＝(1,3)，所以 | ＝ | · | ＝－5. | |
②当l 的斜率存在时，
设直线l 的方程为y＝k(x＋1)，
则由 | ，得N | ， |
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· | 则 | ＝ | · | ＝ | . | |
所以 | · | · | ＝－5. | |||
综上， | 与直线l 的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且 | |||||
＝－5. | ||||||
能力拓展提升
11.(2011·济南模拟)若直线x－y＝2 被圆(x－a)2＋y2＝4 所截得的
弦长为2 ，则实数a 的值为()
A．－1 或 B．1 或3
C．－2 或6 D．0 或4
[答案]D
( | [解析]圆心(a,0)到直线x－y＝2 的距离d＝ | ，则( | )2＋ |
)2＝22， |
∴a＝0 或4.
12．(2011·银川部分中考)已知直线l 经过坐标原点，且与圆
x2＋y2－4x＋3＝0 相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为()
A．y＝－ | x | B．y＝ | x |
C．y＝－ | x | D．y＝ | x |
[答案]C
[解析]
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由题易知，圆的方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，
如图，经过原点的圆的切线，当切点在第四象限时，切线的倾斜角为
150°，切线的斜率为tan150°＝－ | ，故直线l 的方程为y＝－ | x， |
选C.
13．(文)(2011·天津模拟)过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4 相交于A、
B 两点，则|AB|的最小值为()
A．2 B．2
C．3 D．2
[答案]B
[解析]当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB|取最
小值2 .
(理)(2011·宝鸡五月质检)已知直线x＋y＝a 与圆x2＋y2＝4 交于
A，B 两点，且| | ＋ | |＝| | － | |(其中O 为坐标原点)，则实数a |
等于()
A．2 B．－2
C．2 或－2 D.或－
[答案]C
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[解析]∵| | ＋ | |＝| | － | |， | ||
∴| | |2＋| | |2＋2 | · | ， | ||
＝| | |2＋| | |2－2 | ||||
· | ||||||
⊥ | ||||||
∴ | · | ＝0，∴ | ， | |||
画图易知A、B 为圆x2＋y2＝4 与两坐标轴的交点，
又A、B 是直线x＋y＝a 与圆的交点，∴a＝2 或－2.
14．(文)若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 和圆x2＋y2＝1 关于直线l1：x－y－1＝0 对称，动圆P 与圆C 相外切且与直线l2：x＝－1 相切，则动圆P 的圆心的轨迹方程是________．
[答案]y2－6x＋2y－2＝0
[解析]
由题意知圆C 的圆心为C( ，－1)，圆x2＋y2＝1 的圆心为
O(0,0)，由两圆关于直线l1 对称，易得点(0,0)关于直线l1：x－y－1＝
0 对称的点(1，－1)就是点C，故a＝2，所以圆C 的标准方程为(x－1)2
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＋(y＋1)2＝1，其半径为1.设动圆P 的圆心为P(x，y)，半径为r，由动圆P 与圆C 相外切可得：|PC|＝r＋1，由图可知，圆心P 一定在直线x＝－1 的右侧，所以由动圆P 与直线l2：x＝－1 相切可得r＝x－
(－1)＝x＋1.代入|PC|＝r＋1 得：y2－6x＋2y－2＝0.
＝x＋2，整理得：
(理)(2012·天津，12)设m、n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0 与x轴相交于点A，与y 轴相交于点B，且l 与圆x2＋y2＝4 相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．
[答案]3
[解析]∵l 与圆相交弦长为2，∴ | ＝ | ， |
∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤，l 与x 轴交点A( ，0)，与y 轴
交点B(0，)，
∴S△AOB＝| || |＝ ≥×6＝3.
15．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0 及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M 点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0 与圆相切，求a 的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0 与圆相交于A，B 两点，且弦AB 的长为2
，求a 的值．
[解析](1)∵(3－1)2＋(1－2)2>4，∴M 在圆外，
当过点M 的直线斜率不存在时，易知直线x＝3 与圆相切．
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当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，
∵直线与圆相切，∴ ＝2，
解之得k＝，
∴切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
∴所求的切线方程为x＝3 或3x－4y－5＝0. (2)由ax－y＋4＝0 与圆相切知＝2，
∴a＝0 或a＝.
(3)圆心到直线的距离d＝ ，
又l＝2，r＝2，
∴由r2＝d2＋( )2，可得a＝－.
16．(文)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1
的直线l，使l 被圆C 截得的弦为AB，以AB 为直径的圆经过原点，
若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
[解析]依题意，设l 的方程为y＝x＋b，①又⊙C 的方程为x2＋y2－2x＋4y－4＝0，②联立①②消去y 得：
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2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
③
∵以AB 为直径的圆过原点，
∴ | ⊥ | ，即x1x2＋y1y2＝0， |
而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
由③得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0，∴b＝1 或b＝－4，
∴满足条件的直线l 存在，其方程为
x－y＋1＝0 或x－y－4＝0.
(理)(2012·河南豫北六校精英联考)在平面直角坐标系xOy 中，动
点P 到两点(0，－ | )，(0， | )的距离之和等于4，设点P 的轨迹为 |
C，已知直线y＝kx＋1 与C 交于A、B 两点．
(1)写出C 的方程；
(2)若以AB 为直径的圆过原点O，求k 的值；
(3)若点A 在第一象限，证明：当k>0 时，恒有|OA|>|OB|.
[解析](1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－)，(0， )为焦点，长半轴长为2 的椭圆，它的短半轴b＝
＝1，故椭圆方程为＋x2＝1.
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(2)由题意可知，以AB 为直径的圆过原点O，即OA⊥OB，联立
方程 消去y 得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理可知：
x1＋x2＝－ ，x1·x2＝－，
y1·y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝ ，
所以，· ＝x1x2＋y1y2＝－ ＋ ＝0，得k2＝，即k
＝± .
(3)| | |2－| | |2＝x ＋y －(x ＋y )＝x －x ＋y －y |
＝(x1－x2)(x1＋x2)＋k(x1－x2)[k(x1＋x2)＋2]
＝[2k＋(1＋k2)(x1＋x2)](x1－x2)
＝ .
因为A 在第一象限，所以x1>0，
又因为x1·x2＝－ ，所以x2<0，故x1－x2>0，
又因为k>0，所以|OA|>|OB|.
1．(2011·豫南四校调研考试)直线l 过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y
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－2)2＝25 交于A、B 两点，如果|AB|＝8，那么直线l 的方程为() A．5x＋12y＋20＝0
B．5x－12y＋20＝0 或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x＋12y＋20＝0 或x＋4＝0
[答案]D
[解析]∵圆的半径为5，|AB|＝8，∴圆心(－1,2)到直线l 的距离
为3.当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点(－4,0)，所以直线l
的方程为x＝－4.此时圆心(－1,2)到直线l 的距离为3，满足题意．当
直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝
0，则圆心(－1,2)到直线l 的距离为 ＝3，解之得k＝－
，∴直线l 的方程为－ x－y－ ＝0，整理得5x＋12y＋20＝0.综
上可得，满足题意的直线l 方程为5x＋12y＋20＝0 或x＝－4，故选
D.
2．已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a、b∈R)，那么两圆的位置关系是()
A．内含 B．内切
C．相交 D．外切
[答案]C
[解析]两圆半径分别为2,1，因为1<|O1O2|＝ <3，所以两圆
相交．
3．直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ 与圆x2＋(y－1)2＝4 的位置关系
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是()
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A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
[答案]C
[解析]圆心到直线的距离d＝ ＝1<2，
∴直线与圆相交．
4．(2012·河南质量调研)直线ax＋by＋c＝0 与圆x2＋y2＝9 相交
于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则 | · | (O 为坐标原点)等于() |
A．－7 | B．－14 | |
C．7 | D．14 |
[答案]A
[解析]记 、 的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋
by＋c＝0 的距离等于 ＝1，
∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×( )2－1＝－，
∵ | · | ＝3×3cos2θ＝－7，选A. |
5．(2012·沈阳六校联考)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P 是
圆x2＋y2－2y＝0 上的动点，则△ABP 面积的最小值为()
A．6 B.
C．8 D.
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[答案]B
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[解析]记圆心为C，则由题意得|AB|＝5，直线AB：＋ ＝
1，即3x－4y－12＝0，圆心C(0,1)到直线AB 的距离为 ，点P 到直
线AB 的距离h 的最小值是 －1＝ ，△ABP 的面积等于|AB|h＝h≥
× ＝ ，即△ABP 的面积的最小值是 ，选B.
6．(2011·海淀期末)已知直线l：y＝－1，定点F(0,1)，P 是直线x
－y＋ ＝0 上的动点，若经过点F、P 的圆与l 相切，则这个圆面积
的最小值为()
A. B．π
C．3π D．4π
[答案]B
[解析]由于圆经过点F、P 且与直线y＝－1 相切，所以圆心到
点F、P 与到直线y＝－1 的距离相等．由抛物线的定义知圆心C 在
以点(0,1)为焦点的抛物线x2＝4y 上，圆与直线x－y＋ ＝0 的交点
为点P.显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最
小，为π.故选B.
7．(2011·北京日坛中学摸底考试)若过定点M(－1,0)且斜率为k
的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0 在第一象限内的部分有交点，则k 的取
值范围是()
A．0<k<5 | B．－ | <k<0 |
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C．0<k< D．0<k<
[答案]D
8．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为4 ，求l 的方程；(2)求过P 点的圆C 的弦的中点轨迹方程．
[解析]圆C 的方程可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，设l：y＝kx＋
5，由l 被⊙C 截得弦长为4
＝2，
及⊙C半径r＝4知d＝2，∴
∴k＝，当k 不存在时，切线l 为x＝0，
∴l 的方程为y＝x＋5 或x＝0.
(2)设弦的中点为M(x，y)，
将y＝kx＋5 代入⊙C 方程中得，
(1＋k2)x2＋2(2－k)x－11＝0，
设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ ，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋10
＝ | ＋10＝ | ， |
∵M 为AB 的中点，
∴x＝ | ＝ | ，y＝ | ＝ | ， |
消去k 得所求轨迹方程为：x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 20 / 21
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[点评]也可以直接由x＝ | 及 | ＝k 消去k 得出轨迹方程 |
更简便些．
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