对应学生书P221
一、选择题
1．(2011·日照模拟)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是()
A．0B．1C．2D．3
解析：f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.
∴a≤3，故amax＝3.
答案：D
2．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间 上的值域为()
解析：f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx.
∵0≤x≤，f′(x)≥0，f(x)在 上不恒为0，
∴f(x)在 上为增函数，
答案：A
3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值
是()[来源:学|科|网Z|X|X|K]
A．a＋b＋c B．8a＋4b＋c
C．3a＋2b D．c
解析：由f′(x)的图像知，x＝0是f(x)的极小值点，∴f(x)极小值＝f(0)＝c.
答案：D
4．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为()
A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
解析：从f′(x)的图像可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，∴在(a，b)内只有1个极小值点.
答案：A
5．(2009·天津)已知函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)＞x2.下面的不等式在R上恒成立的是()
B．f(x)＜0A．f(x)＞0
C．f(x)＞x
D．f(x)＜x 解析：当x＞0时，2xf(x)＋x2f′(x)＞x3，
即[x2f(x)]′＞x3＞0，
∴y＝x2f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
∴x2f(x)＞0.∴f(x)＞0.
当x＜0时，2xf(x)＋x2f′(x)＜x3，
即(x2f(x))′＜x3＜0，
∴y＝x2f(x)在(－∞，0)上为减函数．
∴x2f(x)＞0.∴f(x)＞0.
当x＝0时，显然f(x)＞0.
综上，对任意x∈R，f(x)＞0.
答案：A
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线
斜率均为－1，给出以下结论：
①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；
②f(x)的极值点有且仅有一个；
③f(x)的最大值与最小值之和等于0.
其中正确的结论有()
A．0 个 | B．1 个 | C．2 个 | D．3 个 |
解析：∵f(0)＝0，∴c＝0.
∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∴ | 即 | 解得 |
∴f(x)＝x3－4x，∴f′(x)＝3x2－4.
令f′(x)＝0，得x＝± ∈[－2,2]，
∴极值点有两个．
∵f(x)为奇函数，∴f(x)max＋f(x)min＝0.
∴①③正确，故选C.
答案：C
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝__________.
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意，得 即
得a＝4，或a＝－3.
但当a＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在极值．
∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18.
答案：18
8．用边长为48cm的正方形铁皮做一无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为__________．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
解析：设截去的正方形边长为xcm，则铁盒的底面边长为(48－2x)cm，高为xcm，其
中x∈(0,24)．
容积V＝(48－2x)2x(0＜x＜24)，
∴V′＝2(48－2x)·(－2)·x＋(48－2x)2
＝12(x－8)(x－24)．
令V′＝0，解得x＝8，或x＝24(舍去)．
在x＝8处附近，当x＜8时，V′＞0，x＞8时，V′＜0.
则在(0,24)内，当x＝8时，函数取得最大值．
即所做铁盒容积最大时，截去正方形的边长应为8cm.
答案：8cm
9．若函数f(x)＝ (a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为 ，则a的值为__________．
解析：f′(x)＝ ＝ .
当x＞ 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当－＜x＜ 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＝ 时，则f(x)max＝ ＝ ， ＝ ＜1，不符合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝ ＝ ，a＝ －1.
答案：－1[来源:学科网]
三、解答题
10．(2011·南通模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超
过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是P
＝ v4－ v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶，并求出此时运输成本的最小值．
解析：(1)Q＝P· ＝·
＝ ·400
＝ －v2＋6000(0＜v＜100)．
(2)Q′＝ －5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)，或v＝80.
当0＜v＜80时，Q′＜0；
当80＜v≤100时，Q′＞0.
∴v＝80千米/小时时，全程运输成本取得极小值，即最小值．
从而Qmin＝Q(80)＝ (元).
11．(2010·课标全国卷)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解析：(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，－1)、(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a＞1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时，g(x)＜0，即f(x)＜0.
综上，得a的取值范围为(－∞，1].
12．(2010·北京)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分
别为1、4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．解析：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.
因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1、4，所以(*)
(1)当a＝3时，由(*)式得
解得
又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a＞0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)
＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．
由 得1≤a≤9，
即a的取值范围是[1,9].[来源:Z+xx+k.Com]
自助餐·选做题
1．(2010·安徽)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，(0＜x＜2π)，求函数f(x)的单调区间与极值．
解析：由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，(0＜x＜2π)，
知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，
于是f′(x)＝1＋ | sin | . | ，得x＝π，或x＝ | . |
令f′(x)＝0，从而sin | ＝－ | |||
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与 | ，单调递减区间是 | ，极 |
小值为f | ＝ | ，极大值为f(π)＝π＋2. |
2．(2010·江西)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1、x2，且x1x2＝1，求实数a的值．
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
解析：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝ ＝1，得a＝9.
(2)因为Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)＞0，
所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．