《一元二次方程》课时学案（一）一元二次方程
【目标导航】
1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；
2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会根据实际问题列一元二次方程；
一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！
1、下列方程：(1)x2-1=0； (2)4 x2+y2=0； (3)（x-1）（x-3）=0； (4)xy+1=3． | |||||||||
(5) | 1 |
| ? | 3 | 其中，一元二次方程有（ ） | ||||
| x | 2 | x | | | | |||
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、一元二次方程（x+1）（3x-2）=10 的一般形式是 ，二次项 |
，二次项系数 ，一次项 ，一次项系数 ，常数项 。
二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！
3、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。
5、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A.3(x+1)2= 2(x+1) B. | 1 |
| ? | 5 | ? | 0 | |||
| x | 2 | x | | | | | ||
C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2-1
6、把下列方程化成ax2+bx+c=0 的形式，写出a、b、c的值：
(1)3x2=7x-2 (2)3(x-1)2= 2(4-3x)
7、当m为何值时，关于x的方程(m-2)x2-mx+2=m-x2是关于x的一元二次方程？8、若关于的方程(a-5)x∣a∣-3+2x-1=0是一元二次方程，求a的值?
三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！
9、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？
一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。10、
求这个正方形的边长。
用心爱心专心 1
11、判断下列关于x的方程是否为一元二次方程：
(1)2（x2－1）=3y； (2) | | 1 | | ? | 4 | ； | |
| x | 2 | ? | 1 | | | |
(3)（x－3）2=（x＋5）2； (4)mx2＋3x－2=0；(5)（a2＋1）x2＋（2a－1）x＋5―a=0.
12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数及常数项。
(1)(3x-1)(2x+3)=4； (2)(x+1)(x-2)=-2.
13、关于x的方程(2m2+m-3)xm+1-5x+2=13是一元二次方程吗？为什么？
一元二次方程的解法（1）第一课时
【目标导航】
1、了解形如x2=a(a≥0)或(x＋h)2=k(k≥0)的一元二次方程的解法—— 直接开平方法
2、理解直接开平方法与平方根的定义的关系，会用直接开平方法解一元二次方程一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！
1、3的平方根是 ；0的平方根是 ；-4的平方根 。2、一元二次方程x2=4的解是 。
二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！
3、方程 | ( | x | ? | 5 ) | 2 | ? | 36 | ? | 0 | 的解为（ ） |
A、0 B、1 C、2 D、以上均不对
4、已知一元二次方程 | mx | 2 | ? | n | ? | 0 ( | m | ? | 0 ) | ，若方程有解，则必须（ ） |
A、n=0 B、n=0或m，n异号 C、n是m的整数倍 D、m，n同号5、方程(1)x2＝2的解是 ； (2)x2=0的解是 。
6、解下列方程：
(1)4x2－1＝0； (2)3x2+3=0； (3)(x-1)2=0 ； (4)(x+4)2= 9；7、解下列方程：
(1)81(x-2)2=16； (2)(2x+1)2=25；8、解方程：
(1) 4(2x+1)2-36=0 ； (2) | ( | x | ? | 2 ) | 2 | ? | ( | 2 | x | ? | 3 ) | 2 | 。 |
三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！
9、用直接开平方法解方程（x＋h）2=k，方程必须满足的条件是（）A．k≥o B．h≥o C．hk＞o D．k＜o
用心爱心专心 2
10、方程（1-x）2=2的根是（ ）
A.-1、3 B.1、-3 C.1- | 2 | 、1+ | 2 | D. | 2 | -1、 | 2 | +1 |
11、下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(1)x2=-2,解方程，得x=± 2
(2)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(3)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x= | 7 | ;x= | 1 |
1 | 4 | 2 | 4 |
(4)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-412、方程(3x－1)2=－5的解是 。
13、用直接开平方法解下列方程：
(1)4x2=9； (2)（x+2）2=16
(3)(2x-1)2=3; (4)3(2x+1)2=12
一元二次方程的解法（2）第二课时
【目标导航】
1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为（x＋h）2=k（n≥0）形式的过程，进一步理解
配方法的意义；
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！
1、填空：
（1）x2+6x+ =(x+ )2；(2)x2-2x+ =(x- )2；
(3)x2-5x+ =(x- )2；(4)x2+x+ =(x+ )2；
(5)x2+px+ =(x+ )2；
2、将方程x2+2x-3=0化为(x+h)2=k的形式为 ；二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！
3、用配方法解方程x2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
4、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（）A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9
C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57
5、已知方程x2-5x+q=0 可以配方成(x- | 5 | )2= | 6 | 的形式，则q 的值为（ ） | |
| 2 | | 4 | | 3 |
用心爱心专心 | |||||
A. | 6 | B. | 25 | C. | 19 | D. - | 19 |
| 4 | | 4 | | 4 | | 4 |
6、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么q的值是（）A.9 B.7 C.2 D.-2
7、用配方法解下列方程：
（1）x2-4x=5； （2）x2-100x-101=0；
（3）x2+8x+9=0； （4）y2+2 | 2 | y-4=0； | ||||
8、试用配方法证明：代数式x2+3x- | 3 | 的值不小于- | 15 | 。 | ||
| 2 | 4 | | |||
三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！
9、完成下列配方过程：
（1）x2+8x+ =(x+ )2
（2）x2-x+ =(x- )2
（3）x2+ +4=(x+ )2
（4）x2- + | 9 | =（x- ）2 | | |||||||||||||||||||||||||||
4 | | |||||||||||||||||||||||||||||
10、若x2-mx+ | 49 | =(x+ | 7 | )2，则m 的值为（ ）. | ||||||||||||||||||||||||||
25 | 5 | | ||||||||||||||||||||||||||||
A. | 7 | B.- | 7 | C. | 14 | D. - | 14 | |||||||||||||||||||||||
5 | 5 | 5 | 5 | | ||||||||||||||||||||||||||
11、用配方法解方程x2- | 2 | x+1=0，正确的解法是（ ）. | ||||||||||||||||||||||||||||
3 | | |||||||||||||||||||||||||||||
A.(x- | 1 | )2= | 8 | ,x= | 1 | ± | 2 | 3 | 2 | B.(x- | 1 | )2=- | 8 | ,方程无解 | ||||||||||||||||
3 | 9 | 3 | 3 | 9 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
C.(x- | 2 | )2= | 5 | ,x= | 2 ? | 5 | D.(x- | 2 | )2=1, x1= | 5 | ;x=- | |||||||||||||||||||
3 | 9 | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 | ||||||||||||||||||||||||
12、用配方法解下列方程：
(1)x2-6x-16=0； (2)x2+3x-2=0；
(3)x2+2 | 3 | x-4=0； (4)x2- | 2 | x- | 2 | =0. |
| | | 3 | | 3 | |
13、已知直角三角形的三边a、b、b，且两直角边a、b满足等式(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0，求斜边c的值。
一元二次方程的解法（3）第三课时【目标导航】
用心爱心专心 4
1、掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤和方法
2、使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要
的数学方法
一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！
1、填空：
(1)x2- | 1 | x+ =(x- )2, (2)2x2-3x+ =2(x- )2. |
| 3 | |
2、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是 。二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！
3、2x2-6x+3=2（x- ）2- ；x2+mx+n=（x+ ）2+ .4、方程2(x+4)2-10=0的根是 .
5、用配方法解方程2x2-4x+3=0，配方正确的是（） A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2-4x+4=-3+4
C.x2-2x+1= | 3 | +1 D. x2-2x+1=- | 3 | +1 |
| 2 | | 2 | |
6、用配方法解下列方程，配方错误的是（）
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100
B.t2-7t-4=0 化为(t- | 7 | )2= | 65 |
| 2 | | 4 |
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
D.3x2-4x-2=0 化为(x- | 2 | )2= | 10 |
| 3 | | 9 |
7、用配方法解下列方程：
（1） | 22 | ?t | ? | 4 | ? | 0 | ； （2） | 3 | x | 2 | ? | 1 | ? | 6 | x | ； | |||||
（3） | 22 | ? | 2 t | ? | 2 | ? | 0 | ； （4）2x2-4x+1=0。 | |||||||||||||
8、试用配方法证明：2x2-x+3 的值不小于 | 23 | . | |||||||||||||||||||
8 | |||||||||||||||||||||
三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！
9、用配方法解方程2y2- | 5 | y=1 时，方程的两边都应加上（ ） | | ||||||
A. | 5 | B. | 5 | C. | 5 | D. | 5 | ||
| 2 | | 4 | | 4 | | 16 | 5 | |
用心爱心专心 | |||||||||
10、a2+b2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )2
11、用配方法解下列方程：
(1)2x2+1=3x； (2)3y2-y-2=0； (3)3x2-4x+1=0； (4)2x2=3-7x.12、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.
13、解方程：
(x-2)2-4(x-2)-5=0
一元二次方程的解法（4）第四课时【目标导航】
1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－
4ac≥0
2、会用公式法解一元二次方程
一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！
1、把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b2-4ac= .
2、方程x2+x-1=0的根是 。
二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！
3、用公式法解方程 | 2 | x2+4 | 3 | x=2 | 2 | ,其中求的b2-4ac 的值是（ ） | ||
A.16 B. | ? | |||||||
4 C. | 32 | D. | ||||||
4、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是 .。5、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）
A.x= | 12 | ? | 144 | ? | 12 | B. x= | ? | 12 | ? | 144 | ? | 12 | ||||
1.2 | 2 | 1.2 | | 2 | ||||||||||||
C. x1.2= | 12 | ? | 144 | ? | 12 | D. x1.2= | 12 | ? | 144 | ? | 48 | |||||
| 2 | 6 | ||||||||||||||
6、三角形两边长分别是3和5，第三边的长是方程3x2-10x-8=0的根，则此三角形是三角形.
7、如果分式 | x | 2 | ? | x | ? | 2 | 的值为零，那么x= . | | |
| | | x | ? | 1 | | | 6 | |
用心爱心专心 | |||||||||
8、用公式法解下列方程：
(1)3 y2-y-2= 0(2) 2x2+1=3x
(3)4x2-3x-1=x-2 (4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1)三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！
9、把方程(2x-1)(x+3)=x2+1化为ax2+ bx + c = 0 的形式，b2-4ac= ，方程的根是.
10、方程(x-1)(x-3)=2的根是（）
A.x1=1,x2=3 B.x=2?2 3 C.x=2? 3 D.x=-2?2 3
11、关于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一个根是 5-2，则m= ，方程的另一个根
是 .
12、若最简二次根式 | m | 2 ? | 7 | 和 | 8 m | ? | 2 | 是同类二次根式，则的值为（ ） |
A.9或-1 B.-1 C.1 D.9 13、用公式法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0；（3）2x2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.
一元二次方程的解法（5）第五课时【目标导航】
1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用
2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！
1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .
2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（）
A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.不能确定
二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！
3下列方程中，没有实数根的方程式（）
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
用心爱心专心 7
4、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0
C.b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0
5、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .6、不解方程，判别下列方程根的情况.
（1）2x2+3x+4=0； （2）2x2-5=6x；
（3）4x(x-1)-3=0； （4）x2+5=2 | 5 | x. |
7、试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根.
8、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围.三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！
9、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.不能确定
10、关于x 的方程x2+2 | k | x+1=0 有两个不相等的实数根，则k( ) |
A.k＞-1 B.k≥-1 C.k＞1 D.k≥0
11、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= .
12、不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）3x2－x＋1 = 3x （2）5（x2＋1）= 7x （3）3x2－4 | 3 | x =－4 |
13、当k为何值时，关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3= 0 有两个不相等的实数根？
一元二次方程的解法（6）第六课时【目标导航】
1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法
2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！
1、一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为 和 ，方程的根是 .
用心爱心专心 8
2、方程3x2=0的根是 ，方程(y-2)2=0的根是 ，方程(x+1)2=4(x+1)的根是 .
二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！
3、已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（）
A.只有一个根x= | 3 | | B.只有一个根x=0 | |
| 4 | 3 | | 3 |
C.有两个根x1=0,x2= | D.有两个根x=0,x=- | |||
4 | 12 | 4 | ||
4、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（）
A.x=1或x=-2 B.必须x=1
C.x=2或x=-1 D.必须x=1且x=-2
5、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）
A.化为x+1=1 B.化为（x+1）（x+1-1）=0
C.化为x2+3x+2=0 D.化为x+1=0
再选择适当的方法求解，得方程6、解方程x（x+1）=2时，要先把方程化为 ；的两根为x1= ,x2= .
7、用因式分解法解下列方程：
（1）x2+16x=0 （2）5x2-10x=-5（3）x（x-3）+x-3=0 （4）2(x-3)2=9-x28、用适当的方法解下列方程：
（1）(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)
(2) 4x2-20x+25=7
(3)3x2-4x-1=0
(4)x2+2x-4=0
三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！
9、用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 、 求解。
10、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为 ，该方程可化为（x-1）（x ）=0
11、方程x2=x的根为（）
A.x=0 B. x1=0,x2=1 C.x1=0,x2=-1 D.x1=0,x2=2
用心爱心专心 9
12、用因式分解法解下列方程：
（1）（x+2）2=3x+6； （2）（3x+2）2-4x2=0；
（3）5（2x-1）=(1-2x)(x+3)； （4）2（x-3）2+(3x-x2)=0.
13、用适当方法解下列方程：
（1）（3x-1）2=1； （2）2（x+1）2=x2-1；
（3）(2x-1)2+2(2x-1)=3； （4）(y+3)（1-3y）=1+2y2.
答案
第一节
4.1
1、B点拨：判定一个方程是一元二次方程，看它是否符合3个条件（1）是整式方程，（2）只含有一个未知数，（3）最高次数为2.（2）、（4）含有两个未知数，（5）是分式方程.
2、3x2+x-12=0，3x2，3，x，1，-12.点拨：注意项与项的系数的区别，并注意系数的符号。
3、解：设宽为xm，列方程得x（x+10）=900
4、解：设另一个数为x，列方程得x（x+3）=10
5、A点拨：B是分式方程，C的二次项系数a值为确定，D的二次项抵消为0.
6、（1）3x2-7x=2=0，a=3，b=-7，c=2；（2）3x2-5=0，a=3，b=0，c=-5.点拨一元二次方程的各项系数中除a不能为0外，b、c可以为0。
7、解：整理得：（m-1）x2-mx+2-m=0，当m-1≠0即m≠1时，方程是一元二次方程。点拨：判定一个方程是一元二次方程，首先把方程化为ax2+bx+c=0的形式后再作判定。
8、解;由题意得:∣a∣-3=2且a-5≠0∴a=-5 点拨：注意a≠0.
9、解：设这个正方形的边长为x，列方程得：2x2=15.
10、解：设这个正方形的边长为xcm，列方程得：x（x+10）=600
11、解：是一元二次方程的有：（5）；不是一元二次方程的有：（1）、（2）、（3）、（4）.点拨：判定的方法是根据一元二次方程的定义。
12、解：（1）6x2+7x-7=0，a=6，b=7，c=-7；（2）x2-x=0
13、解：由题意得 由m+1=2得m=1，当m=1时，2m2+m-3=0，∴原方程不可能是一元二次方程。
第二节
4.2
第一课时
1、 | ? | 3 | ，0，没有平方根。点拨：运用平方根的性质。 |
2、x=±2.
3、D点拨：正数有两个平方根，方程有两解。
4、B点拨：形如x2=a的方程有根的条件是a≥0.
5、x= | ? | 2 | ，x1=x2=0. 点拨：注意一元二次方程根的写法。 | ||||||
6、解：(1) 4x2=1，x2= | 1 | ，∴x= | 1 | ，x=- | 1 | . | |||
4 | 1 | 2 | 2 | 2 | | ||||
(2)3x2=-3，x2=-1＜0，∴原方程无解.
(3)x1=x2=1.
(4)x+4=±3，∴x1=-1，x2=-7.
用心爱心专心 10
7、解：(1) (x-2)2= | 16 | ，∴x-2= | ? | 4 | ，∴x= | 22 | ，x= | 14 | . |
| 81 | | | 9 | 1 | 9 | 2 | 9 | |
(2)2x+1=±5，∴x1=2，x2=-3.
8、解：(1)4（2x+1）2=36，∴（2x+1）2=9，∴2x+1=±3，∴x1=1，x2=-2.
(2)（x-2）=±（2x+3），∴x-2=2x+3 或x-2=-（2x+3）∴x=-5，x=- | 1 | . 点拨：解形如a |
12 | 3 | |
（x+b）2=c的一元二次方程，一般情况下，总是把方程转化为（x+h）=k的形式.解(2)时把（2x+3）2当作常数。
9、A 点拨：用直接开平方法解形如（x+h）=k的方程，k≥0.10、C 点拨：k＞0时方程两解。
11、（4）
12、方程无解.
13、解：(1) x2= | 9 | ，∴x= | 3 | ，x=- | 3 | . |
| 4 | 1 | 2 | 2 | 2 | |
(2)x+2=±4，∴x1=2，x2=-6.
(3)2x-1= | ? | 3 | ，∴x= | 1? | 3 | ，x2= | 1? | 3 | . | |||
| | | 1 | 2 | | 2 | | | ||||
(4)（2x+1）2=4，∴x1= | 1 | ，x2=- | 3 | . | ||||||||
2 | 2 | | | | | |||||||
4.2
第二课时
1、(1)9，3；(2)1，1；(3) | 25 | ， | 5 | ；(4) | 1 | ， | 1 | ；(5) | p | ， | p | . 点拨：当二次项系数为1 |
| 4 | | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | | 2 | |
时，所配的常数项是一次项系数一半的平方。
2、（x+1）2=4.
3、把-2移到方程的右边；方程两边都加上4；配成完全平方，运用直接开平方法求解；
x1=-2+ | 6 | ，x2=-2- | 6 | . |
4、B
5、C
6、C点拨：方程x2-6x+q=0配方后是x2-6x+9=-q+9，∴-q+9=7，∴q=2.
7、解：(1)x2-4x+4=5+4，∴（x-2）2=9，∴x-2=±3，∴x1=5，x2=-1. (2)x2-100x=101，x2-100x+2500=2601，∴x-50=±51，∴x1=101，x2=-1.
(3)x2+8x+16=7，∴（x+4）2=7，∴x-4=± | 7 | ，∴x1=-4+ | 7 | ，x2=-4- | 7 | . | . | | ||||||||||||||||||||||||||||||
(4)y2+2 | 2 | y+2=6，∴（x+ | 2 | ）2=6，∴x+ | 2 | =± | 6 | ，∴x1=- | 2 | + | 6 | ，x2=- | 2 | - | 6 | |||||||||||||||||||||||
8、解：x2+3x- | 3 | =x2+3x+ | 9 | - | 15 | =（x+ | 3 | ）2- | 15 | ， | ||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | | 4 | 2 | | 4 | | | ||||||||||||||||||||||||||||||
∵（x+ | 3 | ）2≥0,∴（x+ | 3 | ）2- | 15 | ≥- | 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 4 | | 4 | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||
9、(1)16,4; (2) | 1 | , | 1 | ；(3) ±4x，±2；(4) ±3x，± | 3 | . 点拨：完全平方式缺2ab 这 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | | 2 | 2 | | 11 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
用心爱心专心 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
一项时，可填±2ab.
10、D 点拨：方程右边是已知的，∴-m= | 7 ? | 2 | ，∴m=- | 14 | . |
| 5 | | | 5 | |
11、B
12、解：(1) x2-6x+9=25，（x-3）2 =25，∴x-3=±5，∴x1=8，x2=-2； | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2)x2+3x+ | 9 | = | 17 | ，（ | x+ | 3 | ） | 2= | 17 | ， | ∴x+ | 3 | =± | 17 | ， | ∴x1= | ? | 3 ? | 17 | ， | ||||||||||||||||||||||||||
4 | 4 | 2 | | 4 | 2 | 2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2= | ? | 3 ? | 17 | ； | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3)x2+2 | 3 | x+3=7，（x+ | 3 | ）2=7，∴x+ | 3 | =± | 7 | ，∴x1= | ? | 3 ? | 7 | ，x2= | ? | 3 ? | 7 | ； | ||||||||||||||||||||||||||||||
(4)x2- | 2 | x+ | 1 | = | 7 | ，（x | 1 | ）2= | 7 | ，∴x- | 1 | =± | 7 | ，∴x1= | 1? | 7 | ，x2= | 1? | 7 | . | ||||||||||||||||||||||||||
3 | 9 | 9 | | 3 | 9 | 3 | 3 | 3 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13、解：（a2+b2）2-2(a2+b2)+1=16，（a2+b2-1）2=16，∴a2+b2-1=±4, ∴a2+b2=5 或a2+b2=-3， | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∵a2+b2≥0，∴a2+b2=5，又∵a2+b2=c2，∴c2=5，∴c= | 5 | （负值已舍去）. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.2
第三课时
1、(1) | 1 | ， | 1 | 9 | 3 | .点拨：代数式的配方，要注意二次项的系数没有化为1，而是提到刮 |
| 36 | | 6 | 8 | 4 | |
号的前面。
2、方程两边都除以2（即二次项的系数化为1）。 | ||||||||||||||||
3、 | 3 | ，- | 3 | ； | m | ， | 4 | n ? | m | 2 | . | |||||
2 | 2 | 2 | | 4 | | |||||||||||
4、x1= | ? | 4 ? | 5 | ，x2= | ? | 4 ? | 5 | 点拨：把刮号外的系数2 化为1. | ||||||||
5、D点拨：用配方法解二次项系数不为1的方程，先把系数化为1，再配方。
6、C
7、解：(1) t2- | 7 | t-2=0，t2- | 7 | t+ | 49 | = | 81 | ，∴（t- | 7 | ）2= | 81 | ∴t- | 7 | =± | 9 | ，∴t1=4，t2=-1； | | ||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 16 | 16 | 4 | 16 | 4 | 4 | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2)x2-2x- | 1 | =0，x2-2x+1= | 4 | ∴（x-1） | 2= | 4 | ∴x-1=± | 2 | 3 | 3 | ，∴x1= | 3 ? | 2 | 3 | ， | ||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 3 | 3 | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2= | 3 ? | 2 | 3 | ； | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3)t2- | 2 | t-1=0，t2- | 2 | t+ | 1 | = | 9 | ，∴（t- | 2 | ）2= | 9 | ∴t- | 2 | =± | 3 | 4 | 2 | ，∴t1= | 2 | ，t2= | |||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 8 | | 8 | 4 | 8 | 4 | 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
用心爱心专心 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
? | 2 2 | ； | 1 | ，∴（x-1） | 2= | 1 | ∴x-1=± | 2 | ，∴x= | 2 ? | 2 | ， | ||||||||||||||||||
(4)x2-2x+ | 1 | =0，x2-2x+1= | ||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | 2 | | 2 | 2 | 1 | 2 | | | |||||||||||||||||||||
x2= | 2 ? | 2 | ； | |||||||||||||||||||||||||||
| 2 | ）- | 1 | +3=2（x- | 1 | ）2+ | 23 | ， | | | | | | |||||||||||||||||
8、解：2x2-x+3=2（x2- | 1 | x+ | 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| 2 | | 16 | 8 | 4 | 8 | | | | | | | ||||||||||||||||||
∵2（x- | 1 | ）2≥0,∴2（x- | 1 | ）2+ | 23 | ≥- | 23 | |||||||||||||||||||||||
| 4 | 4 | 8 | | 8 | | | | | | | |||||||||||||||||||
9、D
10 | 、1，2.点拨：a2+b2+2a-4b+5=（a2+2a+1）+（b2-4b+4） | 1 | ， | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11、解：(1) x2- | 3 | x+ | 1 | =0，x2- | 3 | x+ | 9 | = | 1 | , ∴（x- | 3 | ）2= | 1 | ∴x- | 3 | =± | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 2 | 16 | | 16 | 4 | 16 | 4 | 4 | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∴x1= ，x2= 1 | 1 | ； | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2)y2- | 1 | y- | 2 | =0，y2- | 1 | y+ | 1 | = | 25 | ，∴（y- | 1 | ）2= | 25 | ∴y- | 1 | =± | 5 | ， | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 3 | 36 | | 36 | 6 | 36 | 6 | 6 | | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∴y1= ，y2= 1 | ? | 2 | ； | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3) x2- | 4 | x+ | 1 | =0，x2- | 4 | x+ | 4 | = | 1 | , ∴（x- | 2 | ）2= | 1 | ∴x- | 2 | =± | 1 | ， | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 3 | 9 | 9 | 3 | 9 | 3 | 3 | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∴x1= ，x2= 1 | 1 | ； | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4)2x2+7x-3=0， x2+ | 7 | x+ | 49 | = | 73 | ，（x+ | 7 | ）2= | 73 | ，∴x+ | 7 | =± | 73 | ， | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 16 | 16 | 4 | 16 | 4 | 4 | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∴x1= | ? | 7 ? | 73 | ，x2= | ? | 7 ? | 73 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12、解：∵（a-b）2=a2-2ab+b2=a2+2ab+b2-4ab=（a+b）2-4ab∴（a-b）2=17-4×3=5.
13、解析：把x-2看成一个整体
解：（x-2）2-4（x-2）+4=9
∴（x-2-2）2=9
∴x-4=±3
∴x1=7，x2=-1
4.2
第四课时
1、x2+3x-4=0，25.
用心爱心专心 13
2、x= | ? | 1? | 5 | ，x2= | ? | 1? | 5 | .点拨：直接代入公式x= | ? | b | ? | b | 2 ? | 4 | ac | |||||||||||||||
1 | 2 | | 2 | | 2 | a | ||||||||||||||||||||||||
3、D 点拨：求 | b | 2 ? | 4 | ac | 的值，原方程须转化为 | ax | 2 | ? | bx | ? | c | ? | 0 | 的形式。 | ||||||||||||||||
4、4， | x 1 | ? | ?3 , | x | 2 | ? | ?5 | . | ||||||||||||||||||||||
5、D点拨：代入公式时原方程须化为一般式，并注意系数的符号。
6、直角 点拨：方程的根是4、- | 2 | ，第三边为4. |
| 3 | |
7、-2点拨：由分式概念可知x2+x-2=0且x-1≠0，∴x=-2
8、解：(1) ∵a=3,b=-1，c=-2，b2-4ac=（-1）2-4×3×（-2）=25＞0，∴x= | 1 | ? | ? | 25 | = | 1? | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
∴x1=1，x2=- | 2 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2)移项，得2x2-3x+1=0. ∵a=2,b=-3，c=1，b2-4ac=（-3）2-4×2×1=1＞0，∴x= | 3 | ? | 1 | = | 3 ? | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ? | 2 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
∴x1=1，x2= | 1 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3)整理，得 4x2-4x+1=0. ∵a=4,b=-4，c=1，b2-4ac=（-4）2-4×4×1=0，∴x= | 4 | ? | 0 | = | 4 ? | 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ? | 4 | 8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
∴x1=x2= | 1 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4) 整理，得x2-9x+2=0. ∵a=1,b=-9，c=2，b2-4ac=（-9）2-4×1×2=73＞0，∴x= | 9 | ? | ? | 73 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
= | 9 ? | 2 | 73 | ∴x1= | 9 ? | 2 | 73 | ，x2= | 9 ? | 2 | 73 | . | ||||||||||||||||||||||||
9、41，x1= | ? | 5 ? | 41 | ，x2= | ? | 5 ? | 41 | . | ||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
10、C
11、1， | ? | 5 ? | 2 | .点拨：把 | 5 ? | 2 | 代入方程，（ | 5 ? | 2 | ）2+4（ | 5 ? | 2 | ）-m=0，∴m=1；再把m=1 |
代入方程，利用公式求根。
12、D点拨：由m2-7=8m+2，得m1=9，m2=-1.但m2-7≥0，∴m=9.
13、解：(1)∵a=1,b=-2，c=-8，b2-4ac=（-2）2-4×1×（-8）=36＞0，∴x= | 2 | ? | ? | 36 | = | 2 ? | 6 |
2 | 1 | 2 |
∴x1=4，x2=-2.
用心爱心专心 14
(2) ∵a=1,b=2，c=-4，b2-4ac=22-4×1×（-4）=20＞0，∴x= | ? | 2 | ? | 20 | = | ? | 2 ? | 2 | 5 | ||||||||||||||||||||
2 | ? | 1 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||
∴x1= | ? | 1? | 5 | ，x2= | ? | 1? | 5 | . | |||||||||||||||||||||
(3) ∵a=2,b=-3，c=-2，b2-4ac=（-3）2-4×2×（-2）=25＞0，∴x= | 3 | ? | ? | 25 | = | 3 ? | 5 | ||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||
∴x1=2，x2=- | 1 | . | |||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||
(4) 整理，得9x2-6x+1=0. ∵a=9,b=-6，c=1，b2-4ac=（-6）2-4×9×1=0，∴x= | 6 | ? | 0 | ||||||||||||||||||||||||||
2 | ? | 9 | |||||||||||||||||||||||||||
= | 6 ? | 0 | ∴x1= x2= | 1 | . | ||||||||||||||||||||||||
| 18 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||
4.2
第五课时
1、-8，方程没有实数根.点拨：b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；b2-4ac＜0时，方程没有实数根；
2、B,点拨：b2-4ac=0.
3、D点拨：计算各个方程的b2-4ac的值.
4、D点拨：有实数根，包含两种情况：b2-4ac＞0和b2-4ac＝0.
5、0或24点拨:方程有两个相等的实数根，则b2-4ac＝0，即（k+6）2-4×9×（k+1）=0，解得k=0或24
6、解:(1)∵a=2,b=3，c=4，b2-4ac=32-4×2×4=-23＜0，∴原方程没有实数根.
(2)整理，得2x2-6x-5=0∵a=2,b=-6，c=-5，b2-4ac=（-6）2-4×2×（-5）=76＞0，∴原方程有两个不相等实数根.
(3)整理，得4x2-4x-3=0∵a=4,b=-4，c=-3，b2-4ac=（-4）2-4×4×（-3）=＞0，∴原方程有两个不相等实数根.
(4) 整理，得 x2-2 | 5 | x+5=0 ∵a=1,b=-2 | 5 | ，c=5，b2-4ac=（-2 | 5 | ）2-4×1×5=0，∴原 |
方程有两个相等实数根.
7、解析：只需说明b2-4ac＞0
解：b2-4ac=（2k+1）2-4（k-1）
=4k2+4k+1-4k+4
=4k2+5
∵4k2≥0，∴4k2+5＞0，即b2-4ac＞0.
∴原方程必定有两个不相等的实数根.
8、解析：在运用根的判别式确定字母的取值范围时要考虑a≠0.
解：由题意得（2m+1）2-4（m-2）2＞0且（m-2）2≠0， ∴4m2+4m+1-4m2+16m-16＞0且m≠2，
∴m＞ | 3 | 且m≠2. |
| 4 | |
9、A点拨：化为一般式后b2-4ac=121.
用心爱心专心 15
10、C 点拨：（2 | k | ）2-4＞0 且k≥0，∴k＞1. |
11、2，1点拨：答案不惟一，只需满足m2-4n=0即可.
12、解：(1)整理，得3x2-4x+1=0∵a=3,b=-4，c=1，b2-4ac=(-4)2-4×3×1=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.
(2) 整理，得5x2-7x+5=0∵a=5,b=-7，c=5，b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51＜0，∴原方程没有实数根.
(3) 整理，得 3x2-4 | 3 | x+4=0，∵a=3,b=-4 | 3 | ，c=4，b2-4ac=(-4 | 3 | )2-4×3×4=0，∴ |
原方程有两个相等的实数根.
13、解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴（2k+1）2-4k（k+3）＞0且k≠0
∴-8k+1＞0且k≠0
∴k＞ | 1 | 且k≠0 |
| 8 | |
4.2
第六课时
1、x-1=0，x-2=0，x1=，x2=2.点拨：ab=0，则a=0或b=0.1
2、x1=x2=0，y1=y2=2，x1=- ，x2=41
3、C点拨：方程两边不能除以x，否则会漏根.
4、A点拨：ab=0，a=0或b=0.
5、B点拨：利用提公因式分解因式.
6、x2+x-2=0，1，-2.点拨：x2+x-2=（x+2）（x-1）.
7、解：(1)原方程可变形为
x（x+16）=0， x=0或x+16=0. ∴x1=0，x2=-16.
(2)原方程可变形为
x2-2x+1=0， （x-1）2=0. ∴x1=x2=1.
(3)原方程可变形为
（x-3）（x+1）=0， x-3=0或x+1=0 ∴x1=3，x2=-1.
(4)原方程可变形为
2（x-3）2+x2-9=0，（x-3）（2x-6+x+3）=0，即（x-3）（3x-3）=0.
x-3=0或3x-3=0. ∴x1=3，x2=1 .
8、解：(1)原方程可变形为
（x-2）（3x-1-4x-1）=0，即（x-2）（-x-2）=0.x-2=0 或-x-2=0.∴x1=2，x2=-2 .
(2)原方程可变形为
2x2-10x+9=0，∵a=2,b=-10，c=9，b2-4ac=（-10）2-4×2×9=28＞0，∴x= | 10 | ? | 28 2 | = | ||||||||||||||
2 | ? | |||||||||||||||||
10 ? | 2 | 7 | ∴x= | 5 ? | 7 | ，x= | 5 ? | 7 | . | |||||||||
4 | | 1 | 2 | | 2 | 2 | | = | 4 ? | 2 | 7 | |||||||
(3)∵a=3,b=-4，c=-1，b2-4ac=（-4）2-4×3×（-1）=28＞0，∴x= | 4 | ? | ? | 28 | ||||||||||||||
2 | 3 | 6 | ||||||||||||||||
用心爱心专心 | 16 | |||||||||||||||||
∴x= | 2 ? | 7 | ，x= | 2 ? | 7 | . |
1 | 3 | | 2 | 3 | | |
(4)原方程可变形为
x2+2x=4，x2+2x+1=4+1，（x+1）2=5. ∴x+1= | ? | 5 | ，∴x1= -1 | ? | 5 | ，x2= -1 | ? | 5 | . |
9、x+3=0，5-2x=0；
10、2，2，-2点拨：把x=1代入得1-3+c=0，∴c=2，把c=2代入原方程求解.
11、B点拨：方程两边不能都除以x.
12、(1)原方程可变形为
（x+2）（x+2-3）=0，即（x+2）（x-1）=0. x+2=0 或x-1=0. ∴x1=-2，x2=1.
(2)原方程可变形为
(3x+2-2x)（3x+2+2x）=0，即（x+2）（5x+2）=0.x+2=0 或5x+2=0.∴x=-2, x= - | 2 | . |
12 | 5 | |
(3)原方程可变形为
（2x-1）（5+x+3）=0，即（2x-1）（x+8）=0. 2x-1=0 或x+5=0 ∴x= | 1 | ,x= -8. |
1 | 2 | 2 |
(4)原方程可变形为
2（x-3）2-x（x-3）=0，（x-3）（2x-6-x）=0，即（x-3）（x-6）=0.
x-3=0或x-6=0. ∴x1=3，x2=6 .
13、解：(1)直接开平方得:3x-1=±1，∴3x-1=1 或3x-1=-1. ∴x= | 2 | ，x=0. |
1 | 3 | 2 |
(2) 原方程可变形为 2(x+1)2-（x+1）（x-1）=0, (x+1)（2x+2-x+1）=0， 即（x+1） | ||
（x+3）=0. x+1=0 或x+3=0. ∴x1=-1x2=-3.
(3)原方程可变形为 （2x-1）2+2(2x-1)-3=0，（2x-1-1）（2x-1+3）=0 即
（2x-2）（2x+2）=0 2x-2=0 或2x+2=0. ∴x1=1x2=-1.
(4)整理，得5y2+8y-2=0.∵a=5，b=8，c=-2，b2-4ac=82-4×5×（-2）=104＞0，∴x=
? | 8 | ? | 104 | = | ? | 8 ? | 2 | 26 | ∴x= | ? | 4 ? | 26 | ，x= | ? | 4 ? | 26 | . | |
| | 2 | ? | 5 | | | 10 | | 1 | | 5 | | 2 | | 5 | | | |
江苏兴化沙沟初级中学 李小东
用心爱心专心 17