2013高三数学总复习：13-6离散型随机变量的均值与方差（Word有详解答案）

对应学生书P335

一、选择题
1．已知随机变量ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P	0.5	x	y

答案：B
2．已知随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，且Eξ＝7，Dξ＝6，则p等于()

解析：根据服从二项分布的随机变量期望和方差的计算公式，可得np＝7，np(1－p)＝

6，解之得p＝，故选A.

答案：A

3．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知EX＝，DX

＝，则x1＋x2的值为()

解析：分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得：

解得 或
又∵x1＜x2，∴ ∴x1＋x2＝3.

答案：C

4．设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的均值为()

A．20B．10C．5D．15

解析：抽一件产品为废品的概率为 ＝ ，抽取150件，即进行150次试验，因为

产品数目较大，故可看成是重复试验，故查得废品数ξ～B(150， )，所以Eξ＝150×

＝10.

答案：B

5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为

的最小值为()

答案：

8．(2011·绥化模拟)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ＝__________.

解析：ξ的取值为0,1,2,3，则[

答案：

9．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是____. 方案

自然状况

盈利

A1

A2

A3

A4

概率

S1	0.25	50	70	－20	98
	0.30	65	26	52	82
S2
S3	0.45	26	16	78	－10

解析：利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；
70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；
－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；
98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.

答案：A3
三、解答题
(2010·北京)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概10．

率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p、q(p＞q)，且不同课程是否取得优

秀成绩相互．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ	0	1	2	3
P		a	b	[

(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；

(2)求p、q的值；

(3)求数学期望Eξ.

解析：事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1,2,3.由题意，知P(A1)＝，P(A2)

＝p，P(A3)＝q.

(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该

生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是

(2)由题意，知

P(ξ＝0)＝P()＝(1－p)(1－q)＝ ，

P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝pq＝.

整理，得pq＝ ，p＋q＝1.

由p＞q，可得p＝，q＝.

(3)由题意，知

a＝P(ξ＝1)＝P(A1 )＋P(A2 )＋P( A3)

＝(1－p)(1－q)＋p(1－q)＋(1－p)q＝ ，

b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.

于是Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝.

11．(2010·浙江)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C.已知

小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活

动，若投入的小球落到A、B、C，则分别设为一、二、三等奖．

(1)已知获得一、二、三等奖的折扣率分别为50%、70%、90%.记随机变量ξ为获得k(k＝一、

二、三)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；
(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得一等奖或二等奖的人次，求P(η＝2)．

解析：(1)由题意，得ξ的分布列为：

ξ	50%	70%	90%
P

12．(2010·山东)某校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分．

②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局．

③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．

假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否

相互之间没有影响．

(1)求甲同学能进入下一轮的概率；
(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.

解析：设A、B、C、D分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题，、、、

分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误，它们是对立事件，由题意，得

P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.

于是P()＝，P()＝，P()＝，P()＝.

(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，

则Q＝ABC＋ACD＋ABD＋BCD＋BD.

∵每题结果相互，
∴P(Q)＝P(ABC＋ACD＋ABD＋BCD＋BD)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)P(D)

＋P(A)P(B)P()P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P()P(D)＝××＋×× ×＋×

××＋×× ×＋×× ×＝.

(2)由题意知，随机变量ξ的可能取值为2、3、4，

则P(ξ＝2)＝P( )＝×＝，

P(ξ＝3)＝P(ABC＋A)＝××＋××＝，

P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－＝.

因此ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P(ξ)

自助餐·选做题

1．(2010·全国Ⅰ)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家评审．