2013高三数学总复习：7-2一元二次不等式及其解法（Word有详解答案）

对应学生书P263

一、选择题
1．(2009·山东)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为()[
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)

解析：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0?x2＋x－2＜0?－2＜x＜1.

答案：B

则不等式f(x)＞f(1)的解集是()B．(－3,1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)

C．(，) D．(－∞，)∪(，＋∞)

解析：由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系，得－

6＜0，解集为(2,3)，故选A.

答案：A
5．设A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a＋b等于()
A．7 B．－1
C．1 D．－7

解析：由A可知x＜－1，或x＞3，如图．

若A∪B＝R，则x2＋ax＋b＝0的两根x1，x2必有x1≤－1，x2≥3.

又A∩B＝(3,4]，故x1＝－1，x2＝4.

∴－1＋4＝－a，∴a＝－3，－1×4＝b，∴b＝－4.故a＋b＝－7.

答案：D
6．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－a)*(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则()

＜0恒成立?－＜a＜.

答案：C
二、填空题

7．若不等式ax2＋bx－2＞0的解集为{x|－2＜x＜－}，则a，b的值分别是__________．

解析：由题意，知a＜0，且－2，－是方程ax2＋bx－2＝0的两根，

∴ 解得

答案：－4，－9
8．(2011·临沂模拟)若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为__________．

解析：令f(x)＝x2＋ax＋a2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，则只需f(0)

＜0，即a2－1＜0，∴－1＜a＜1.

答案：－1＜a＜1
9．(2011·金华调研)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1(b∈R)，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是__________．

解析：依题意，f(x)的对称轴为x＝1，又开口向下，

∴当x∈[－1,1]时，f(x)是单调递增函数．

若f(x)＞0恒成立，

则f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＞0，

即b2－b－2＞0，∴(b－2)(b＋1)＞0，∴b＞2，或b＜－1.

答案：b＞2，或b＜－1
三、解答题
10．函数f(x)＝x2＋ax＋3.

(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围．

解析：(1)f(x)≥a，

即x2＋ax＋3－a≥0对x∈R恒成立，

∴a2－4(3－a)≤0，解得－6≤a≤2.

(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，

即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，

∴Δ＝a2－4(3－a)≤0，或 或

解得－6≤a≤2，或－7≤a≤－4，

即－7≤a≤2.

11．已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb满足f(－1)＝－2，且对一切实数，都有f(x)≥2x.(1)求a，b；

(2)在(1)的条件下，求f(x)的最小值．

解析：(1)由已知，得f(－1)＝1－(lga＋2)＋lgb＝－2.

∴1＝lga－lgb，∴a＝10b.又∵f(x)≥2x恒成立，
∴x2＋xlga＋lgb≥0对任意的x恒成立，
∴Δ＝(lga)2－4lgb≤0，∴(lga)2≤4lgb.

∵a＝10b，∴(lg10b)2≤4lgb，
∴(1＋lgb)2≤4lgb?(lgb－1)2≤0.

又∵(lgb－1)2≥0，∴lgb－1＝0?b＝10，a＝100，∴a＝100，b＝10.

(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3，
∴当x＝－2时，f(x)的最小值为－3.

12．已知函数f(x)＝ (a，b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设k＞1，解关于x的不等式f(x)＜ .

解析：(1)将x1＝3，x2＝4分别代入方程 －x＋12＝0，

得 解得

所以f(x)＝ (x≠2)；

(2)不等式即为 ＜ ，

可化为 ＜0，

即(x－2)(x－1)(x－k)＞0.

①当1＜k＜2时，解集为{x|1＜x＜k或x＞2}；
②当k＝2时，不等式为(x－2)2(x－1)＞0，
解集为{x|1＜x＜2，或x＞2}；
③当k＞2时，解集为{x|1＜x＜2，或x＞k}．