每天发布最有价值的高考资源8-8曲线与方程(理)
基础巩固强化
1.若点P 到直线y＝－2 的距离比它到点A(0,1)的距离大1，则点
P 的轨迹为()
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案]D
[解析]由条件知，点P 到直线y＝－1 的距离与它到点A(0,1)的
距离相等，∴P 点轨迹是以A 为焦点，直线y＝－1 为准线的抛物线．
2．已知椭圆的焦点为F1、F2，P 是椭圆上一个动点，延长F1P
到点Q，使|PQ|＝|PF2|，则动点Q 的轨迹为()
A．圆 B．椭圆
C．双曲线一支 D．抛物线
[答案]A
[解析]|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴动点Q 的轨迹是以F1 为圆心，2a 为半径的圆．
3．过椭圆＋＝1 内一点R(1,0)作动弦MN，则弦MN 中点P
的轨迹是()
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案]B
[解析]设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，则4x ＋9y ＝36,4x ＋
9y ＝36，
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相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
将x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y， ＝代入可知轨迹为椭圆．
4．高12m和16m的两根旗杆笔直地竖在水平地面上，且相距50m，
则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为()
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案]A
[解析]本题是解析几何问题．假设长度为12m,16m 的两旗杆的
底部分别为A，B，地面上的观察点为P，以AB 的中点为原点，直线
AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则
A，B 的坐标分别为A(－25,0)，B(25,0)，设P(x，y)，
且PA＝b，PB＝a，∵tanθ＝ | ＝ | ，∴b＝a， | |
∴ | ＝ | ， | |
化简得方程为圆的方程，所以轨迹为圆，故选A.
5．平面α 的斜线AB 交α 于点B，过定点A 的动直线l 与AB 垂
直，且交α 于点C，则动点C 的轨迹是()
A．一条直线 B．一个圆
C．一个椭圆
[答案]A
D．双曲线的一支
[解析]过定点A 且与AB 垂直的直线l 都在过定点A 且与AB 垂直的平面β 内，直线l 与α 的交点C 也是平面α、β 的公共点．点C
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的轨迹是平面α、β 的交线．
6．(2012·长沙一中月考)方程(2x＋3y－1)( －1)＝0 表示的曲
线是()
A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段
[答案]D
D．一条直线和一条射线
[解析]原方程化为
或 －1＝0，
∴2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故选D.
7．(2011·聊城月考)过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1 与l2 分
别与x、y 轴交于A、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为________．
[答案]x＋y－1＝0
[解析]设l1：y－1＝k(x－1)，则l2：y－1＝－(x－1)，l1 与x 轴
交点A(1－，0)，l2 与y 轴交点B(0,1＋)，设AB 中点M(x，y)，则
消去k 得，x＋y－1＝0.
8．(2011·宿迁模拟)已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0 和l2：3x－2y
＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2 都相交，且l1、l2 被圆截
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得的弦长分别是定值26 和24，则圆心的轨迹方程是________．
[答案](x＋1)2－y2＝65
[解析]设圆心P(x，y)，动圆半径为r，P 到l1、l2 的距离分别
为d1、d2，由题意知d ＋169＝r2＝d ＋144，∴d －d ＝25，即
－＝25，
整理得，(x＋1)2－y2＝65.
9．(2011·北京理，14)曲线C 是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；
②曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F1PF2 的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
[答案]②③
[解析]由|PF1|·|PF2|＝a2得，
· ＝a2(a>1)，将原点O(0,0)代入等式不成
立，故①错；将(－x，－y)代入方程中，方程不变，故曲线C 关于原
点对称，故②正确；设∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sinθ＝
a2sinθ≤a2，故③正确．
10．(2011·新课标全国理，20)在平面直角坐标系中xOy 中，已知
点A(0，－1)，B 点在直线y＝－3 上，M 点满足 | ∥ | ， | · | ＝ |
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·，M 点的轨迹为曲线C.
(1)求C 的方程；
(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的
最小值．
[解析](1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)．又A(0，－1)，所
以 | ＝(－x，－1－y)， | ＝(0，－3－y)， | ＝(x，－2)． | ||
再由题意可知( | ＋ | )· | ＝0， | ||
即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.
所以曲线C 的方程为y＝x2－2.
(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2 上一点．
因为y′＝x，所以l 的斜率为x0.
因此直线l 的方程为y－y0＝x0(x－x0)，
即x0x－2y＋2y0－x ＝0.
所以O 点到l 的距离d＝ .又y0＝x －2，
所以d＝ ＝ ≥2.
当x0＝0 时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.
能力拓展提升
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11.在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O)和一个定点F(F 在圆外)．在圆上任取一点M，将纸片折叠使点M 与点F 重合，得到折痕CD.设直线CD 与直线OM 交于点P，则点P 的轨迹为() A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
[答案]A
[解析]由OP 交⊙O 于M 可知|PO|－|PF|＝|PO|－|PM|＝
|OM|<|OF|(F 在圆外)，
∴P 点的轨迹为双曲线，故选A.
12．正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为1，点M 在棱AB 上，且
AM＝，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A1D1 的距离
与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是() A．圆 B．抛物线
C．双曲线 D．直线
[答案]B
[解析]由P 向AD 作垂线垂足为N，由题意知|PN|2＋1－|PM|2＝
1，
∴|PN|＝|PM|，即动点P 到直线AD 的距离等于动点P 到点M 的
距离，∴点P 的轨迹是抛物线．
13．(2011·深圳模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25 的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M，则M 的轨迹方程为()
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A. | － | ＝1 | B. | ＋ | ＝1 |
C. | － | ＝1 | D. | ＋ | ＝1 |
[答案]D
[解析]∵M 为AQ 垂直平分线上一点，
∴|AM|＝|MQ|.
∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，(5>|AC|)
∴M 点轨迹是以A、C 为焦点，长轴长为5 的椭圆，
∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝ ，
∴椭圆的标准方程是 ＋ ＝1.
14．(2011·北京模拟)△ABC 的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC 的
内切圆圆心在直线x＝3 上，则顶点C 的轨迹方程是________．
[答案]－ ＝1(x>3)
[解析]如图，|CA|－|CB|＝|AE|－|BF|＝|AD|－|BD|＝6<|AB|＝10，
∴点C 的轨迹是以A、B 为焦点，实轴长为6 的双曲线右支，∴a
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＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16，方程为－
每天发布最有价值的高考资源＝1(x>3)．
15．(2011·西安模拟)已知定点A(0，－1)，点B 在圆F：x2＋(y－
1)2＝16 上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于P.
(1)求动点P 的轨迹E 的方程；若曲线Q：x2－2ax＋y2＋a2＝1 被
轨迹E 包围着，求实数a 的最小值；
(2)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点G 在圆F 内，且满足|MG|·|NG|＝
|OG|2(O 为坐标原点)，求 · 的取值范围．
[解析](1)由题意得|PA|＝|PB|.
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝4>|AF|＝2，
∴动点P 的轨迹E 是以A、F 为焦点的椭圆．
设该椭圆的方程为 | ＋ | ＝1(a>b>0)， |
则2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，故b2＝a2－c2＝3，
∴动点P 的轨迹E 的方程为＋＝1，
x2－2ax＋y2＋a2＝1 即(x－a)2＋y2＝1，
∴曲线Q 是圆心为(a,0)，半径为1 的圆．
而轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－ ，
0)，(，0)．
若曲线Q 被轨迹E 包围着，则－ ＋1≤a≤ －1，
∴a 的最小值为－＋1.
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(2)设G(x，y)，由|MG|·|NG|＝|OG|2得：
· ＝x2＋y2.
化简得x2－y2＝2，即x2＝y2＋2，
∴ | · | ＝(x＋2，y)·(x－2，y) |
＝x2＋y2－4＝2(y2－1)．
∵点G 在圆F：x2＋(y－1)2＝16 内，∴x2＋(y－1)2<16，∴0≤(y－1)2<16?－3<y<5?0≤y2<25，
∴－2≤2(y2－1)<48，
∴ | · | 的取值范围是[－2,48)． |
*16.已知直线l：y＝kx＋b，曲线M：y＝|x2－2|.
(1)若k＝1 且直线与曲线恰有三个公共点时，求实数b 的取值；(2)若b＝1，直线与曲线M 的交点依次为A、B、C、D 四点，求|AB|＋|CD|的取值范围．
[解析](1)分两种情况：
有唯一解，1)当－ <x< 时，
即x2＋x＋b－2＝0 在(－ ， )内有一解，
由Δ＝1－4b＋8＝0，得b＝，符合．
2)直线过点(－ | ，0)，得0＝－ | ＋b，得b＝ | . | |
(2)由 | 得x2－kx－3＝0， | |||
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则有：|AD|＝ | ，且－ | ≤k≤ | . | |
由 | 得x2＋kx－1＝0， | ，且k∈R. | ||
则有：|BC|＝ | ||||
所以|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|
＝ －
＝
＝ | ，且－ | ≤k≤ | . |
令t＝k2，则0<t< ，
则y＝ | － | )． | ，0<t< 是增函数， |
所以，y∈[2 | －2， |
1．方程(x2－y2－1)中实线部分)()
＝0的曲线形状大致是________(图
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[答案]B
[分析]A | ＝0? | 或B＝0，千万不要错误的转化为A＝0 |
或B＝0.
[解析]原方程等价于 或x－y－1＝0，前者是双曲线位于
直线下方部分，后者为直线，故选B.
2.一个圆形纸片的圆心为O，F 是圆内一个定点，M 是圆上一个
动点，把纸片折叠使得F 与M 重合，然后抹平纸片，折痕为CD，
设CD 与OM 的交点为P，则P 点的轨迹是()
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
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[答案]B
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[解析]由条件知，点P在线段MF的垂直平分线上，故|PM|＝|PF|，
∵|PM|＋|PO|＝|OM|，∴|PF|＋|PO|＝|OM|，∵点F 在⊙O 内，∴
|OM|>|OF|，
又|OM|为⊙O 的半径为定值，故点P 的轨迹是以F，O 为焦点的
椭圆．
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点P 在侧面BCC1B1 及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P 的轨迹是()
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1 中点与CC1 中点连成的线段
D．BC 中点与B1C1 中点连成的线段
[答案]A
[解析]设P1、P2 为P 的轨迹上两点，则AP1⊥BD1，
AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A，
∴直线AP1 与AP2 确定一个平面α，与面BCC1B1 交于直线P1P2，
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且知BD1⊥平面α，∴P1P2⊥BD1，
又∵BD1 在平面BCC1B1 内的射影为BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面
BCC1B1 内只有B1C 与BC1 垂直，∴P 点的轨迹为B1C.
4．(2011·青岛模拟)圆O：x2＋y2＝16，A(－2,0)，B(2,0)为两个定
点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A、B 两点的抛物线以直线l
为准线，则抛物线焦点的轨迹是()
A．双曲线 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
[答案]B
[解析]设抛物线的焦点为F，因为A、B 在抛物线上，
所以由抛物线的定义知，A、B 到F 的距离AF、BF 分别等于A、
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B 到准线l 的距离AM、BN，
过O 作OP⊥l，由于l 是圆O 的一条切线，所以四边形AMNB
是直角梯形，OP 是中位线，故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|OP|＝8>4
＝|AB|.
根据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆．
5．已知A、B 分别是直线y＝ x 和y＝－ x 上的两个动点，
线段AB 的长为2 ，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为
________．
[答案]＋y2＝1
[解析]设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵P 是线段AB 的中点，∴ ①
∵A、B 分别是直线y＝ x 和y＝－ x 上的点，
∴y1＝ x1 和y2＝－ x2.
代入①中得，②
又| |＝2 ，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.
∴12y2＋x2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为＋y2＝1.
6．(2011·苏州模拟)已知＋＝1(m>0，n>0)，当mn 取得最小值
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时，直线y＝－ | x＋2 与曲线 | ＋ | ＝1 的交点个数为________． |
[答案]2
[解析]1＝＋≥2 | ，∴mn≥8. | ＋ | ＝ |
当且仅当＝时，即m＝2，n＝4 时等号成立．曲线为 | |||
1.
当x>0，y>0 时，表示椭圆＋＝1 的一部分；当x<0，y>0 时，
表示双曲线－＝1 的一部分；当x>0，y<0 时，表示双曲线－＝
1 的一部分，当x<0，y<0 时，曲线不存在．如图知，交点个数为2.
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