每天发布最有价值的高考资源 8-5双曲线
基础巩固强化
1.(文)(2011·烟台调研)与椭圆＋y2＝1 共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()
A. －y2＝1 B. －y2＝1
C. －＝1 D．x2－＝1 [答案]B
[解析]椭圆的焦点F1(－ | ，0)，F2( | ，0)， |
由双曲线定义知2a＝|PF1|－|PF2|
＝ | － | ， | |
＝ | － | ＝2 | |
∴a＝ | ，∴b2＝c2－a2＝1， | ||
∴双曲线方程为－y2＝1.
(理)已知方程 | － | ＝1表示双曲线，则k的取值范围是() |
A．－1<k<1 | B．k>0 | |
C．k≥0 | D．k>1 或k<－1 |
[答案]A
[解析]由题意知(1＋k)(1－k)>0，
∴－1<k<1.
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2．(2011·湖南湘西联考)已知双曲线－＝1，直线l 过其左焦
点F1，交双曲线左支于A、B 两点，且|AB|＝4，F2 为双曲线的右焦点，△
ABF2 的周长为20，则m 的值为()
A．8 B．9
C．16 D．20
[答案]B
[解析]由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|
＝16.
据双曲线定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝(|AF2|＋
|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选
B.
3．(文)(2011·巢湖质检)设双曲线－＝1 的一个焦点为(0，－
2)，则双曲线的离心率为()
A. B．2
C. D．2
[答案]A
[解析]由条件知m＋2＝4，∴m＝2，
为 | ∴离心率e＝ | ＝ | . | ＝1(a>b>0)的离心率 | |
(理)(2011·浙江金华十校模拟)若椭圆 | ＋ | ||||
，则双曲线 | － | ＝1 的离心率为() | |||
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A. B.
C. D.
[答案]B
[解析]因为椭圆的离心率e＝ ，即＝ ，也即 ＝，
所以 ＝，则1＋ ＝，即＝，则双曲线离心率e′＝ ＝
，故选B.
4．(文)(2011·山东理，8)已知双曲线 | － | ＝1(a>0，b>0)的两条 |
渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0 相切，且双曲线的右焦点为圆C
的圆心，则该双曲线的方程为()
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
[答案]A
[解析]依题意：⊙C 方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心C(3,0)，半
径r＝2，∴双曲线的右焦点F2 为(3,0)，即c＝3.又双曲线的渐近线方
程为y＝± x，即bx±ay＝0，
∴＝2，即b＝2，∴a2＝9－4＝5，故选A.
(理)过双曲线2x2－y2－2＝0 的右焦点作直线l 交双曲线于A、B
两点，若|AB|＝4，则这样的直线有()
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A．4 条 B．3 条 C．2 条 D．1 条
[答案]B
[解析]过双曲线右焦点作直线l 交双曲线于A、B 两点，若l⊥
x 轴，则|AB|＝4；若l 经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l 与双曲线两
支各交于一点A、B 时，满足|AB|＝4 的直线有两条，故选B.
5．(文)若直线y＝kx＋2 与双曲线x2－y2＝6 的右支交于不同的两
点，则k 的取值范围是()
A. B.
C. D.
[答案]D
[解析]直线与双曲线右支相切时，k＝－ ，直线y＝kx＋2 过
定点(0,2)，当k＝－1 时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直
线y＝－x＋2 时，直线与双曲线右支有两个交点，
∴－<k<－1.
(理)(2011·南昌一模)设F 为双曲线 －＝1 的左焦点，在x 轴
上F 点的右侧有一点A，以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x
轴上方的交点分别为M、N，则 | B. | 的值为() |
A. | ||
C. | D. |
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[答案]D
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[解析]对点A 特殊化，不妨设点A 为双曲线的右焦点，依题意
得F(－5,0)，A(5,0)，|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，所以|FN|－|FM|＝
8， | ＝ | ＝，选D. | － | ＝1(a>0，b>0)左支 |
6．(2011·新泰一中模拟)设P 是双曲线 | ||||
上的一点，F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF2|为直径的圆
与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是()
A．内切 B．外切
C．内切或外切 D．不相切
[答案]A
[解析]取PF2 的中点M，则2|OM|＝|F1P|，且O、M 为两圆圆
心，OM 为圆心距．
由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2a，
即2|MF2|－2|OM|＝2a，∴|OM|＝|MF2|－a，
即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．
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7．(2011·辽宁大连模拟)若双曲线
每天发布最有价值的高考资源－＝1(a>0)的一条渐近线方
程为3x－2y＝0，则a 的值为________．
[答案]2
[解析]∵焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y＝± x，
又一条渐近线方程为y＝x，∴a＝2.
8．(文)(2011·辽宁理，13)已知点(2,3)在双曲线C： | － | ＝ |
1(a>0，b>0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．
[答案]2
[解析]由条件知， ∴
∴a＝1，c＝2，∴e＝＝2.
(理)(2011·长沙二模)设椭圆C1 的离心率为 ，焦点在x 轴上且长
轴长为26.若曲线C2 上的点到椭圆C1 的两个焦点的距离的差的绝对
值等于8，则曲线C2 的标准方程为________．
[答案] －＝1
[解析]由已知得在椭圆中a＝13，c＝5，曲线C2 为双曲线，由
此知道在双曲线中a＝4，c＝5，故双曲线中b＝3，双曲线方程为 －
＝1.
9．(2011·宁波二模)设双曲线C： | － | ＝1(a>0，b>0)的右焦点 |
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为F，O 为坐标原点．若以F 为圆心，FO 为半径的圆与双曲线C 的
渐近线y＝x 交于点A(不同于O 点)，则△OAF 的面积为________．
[答案]ab
[解析]因为右焦点F(c,0)到渐近线y＝x，即bx－ay＝0 的距离
为 ＝b，所以|OA|＝2a，故△OAF 的面积为×2a×b＝ab.
10．(文)设双曲线C：
个不同的点A，B.
－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两
(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；
(2)设直线l 与y 轴的交点为P，若 | ＝ | ，求a 的值． |
[解析](1)将y＝－x＋1 代入双曲线
2a2x－2a2＝0①
由题设条件知，
解得0<a< 且a≠1，
－y2＝1中得(1－a2)x2＋
又双曲线的离心率e＝ | ＝ | . | ， | |
∵0<a< | 且a≠1，∴e> | 且e≠ | ||
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．
∵ | ＝ | ， |
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∴(x1，y1－1)＝ | (x2，y2－1)．∴x1＝ | x2， |
∵x1、x2 是方程①的两根，且1－a2≠0，
∴ | x2＝－ | . | ， | x ＝－ | ， | |
消去x2 得，－ | ＝ | ， | ||||
∵a>0，∴a＝ | ||||||
(理)(2012·湖南师大附中第七次月考)已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，其渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0 相切．过点P(－4,0)作斜率为 的直线l，交双曲线左支于A，B 两点，交y 轴于点C，且满足|PA|·|PB|＝|PC|2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设点M 为双曲线上一动点，点N 为圆x2＋(y－2)2＝上一动点，求|MN|的取值范围．
[解析](1)设双曲线的渐近线方程为y＝kx，因为渐近线与圆(x－5)2＋y2＝5 相切，
则 | ＝ | ，即k＝± ， |
所以双曲线的渐近线方程为y＝± x.
设双曲线方程为x2－4y2＝m，将y＝整理得，3x2＋56x＋112＋4m＝0.
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(x＋4)代入双曲线方程中
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所以xA＋xB＝－ | ，xAxB＝ | . |
因为|PA|·|PB|＝|PC|2，点P、A、B、C 共线，且点P 在线段AB上，则(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16.
所以4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.
于是4·(－ | )＋ | ＋32＝0，解得m＝4. |
故双曲线方程是x2－4y2＝4，即－y2＝1.
(2)设点M(x，y)，圆x2＋(y－2)2＝的圆心为D，则x2－4y2＝4，
点D(0,2)．
所以|MD|2＝x2＋(y－2)2＝4y2＋4＋(y－2)2
＝5y2－4y＋8＝5(y－)2＋ ≥ .
所以|MD|≥，
从而|MN|≥|MD|－≥ .
故|MN|的取值范围是[ ，＋∞).
能力拓展提升
11.(文)(2011·皖南八校联考)已知抛物线x2＝4 y 的准线过双曲
线－y2＝－1 的一个焦点，则双曲线的离心率为()
A. B.
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C. D.
[答案]C
[解析]易知抛物线的焦点坐标为(0， )，其准线方程为y＝－
，∵双曲线 －y2＝－1 的焦点坐标为(0，± )，
∴m2＋1＝3＝c2，∴c＝ ，
∴双曲线的离心率为e＝＝.
(理)(2011·山东潍坊一中期末)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线
－＝1 有相同的焦点F，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则
双曲线的离心率为()
A. | ＋1 | B. | ＋1 |
C. | D. |
[答案]C
[解析]由AF⊥x 轴知点A 坐标为 ，代入双曲线方程中得，
－ ＝1，∵双曲线与抛物线焦点相同，
∴c＝，即p＝2c，
又b2＝c2－a2，∴ | － | ＝1， |
由e＝代入整理得，e4－6e2＋1＝0，
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∵e>1，∴e2＝3＋2 ，∴e＝ ＋1.
12．(文)(2011·浙江文，9)已知椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)与双曲
线C2：x2－＝1 有公共的焦点，C2 的一条渐近线与以C1 的长轴为直
径的圆相交于A、B 两点，若C1 恰好将线段AB 三等分，则()
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
[答案]C
[解析]
由已知双曲线渐近线为y＝±2x.圆方程为x2＋y2＝a2，则|AB|＝2a.
不妨取y＝2x 与椭圆交于P、Q 两点，且P 在x 轴上方，则由已知|PQ|
＝|AB|＝ | ， | ， | )， |
∴|OP|＝.则点P 坐标为( | |||
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又∵点P 在椭圆上，∴ | ＋ | ＝1.① |
又∵a2－b2＝5，∴b2＝a2－5.②，解①②得
故选C.
(理)(2011·江西南昌调研)设圆C 的圆心在双曲线 －＝1(a>0)的
右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线l：x－ y＝
0 截得的弦长等于2，则a＝()
A. B.
C. D．2
[答案]C
[解析]由条件知，圆心C( ，0)，C 到渐近线y＝ x 的
距离为d＝ ＝ 为⊙C 的半径，又截得弦长为2，∴圆心C
到直线l：x－ y＝0 的距离 ＝1，∴a2＝2，∵a>0，∴a＝ .
13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx
－y＝0，若m 为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线
的离心率大于3 的概率是________．
[答案]
[解析]由题意知双曲线方程可设为m2x2－y2＝1，从而e＝
>3?m>2，故所求概率是，故填.
14．(2012·辽宁文，15)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2 为其两
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个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
[答案]2
[解析]本题考查了双曲线的概念．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线的定义及已知条件可得|m－n|＝2a＝2，m2＋n2＝4c2＝8，∴2mn＝4，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn＝12，
.∴|PF1|＋|PF2|＝2
[点评]充分利用PF1⊥PF2, 将||PF1|－|PF2||＝2a，转化到|PF1|＋|PF2|是解决本题的关键，也可以设|PF2|＝x，利用定义及PF1⊥PF2 建立x 的方程求解．
15．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2 在坐标轴上，离心
率为 | ，且过点(4，－ | )． |
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证： | · | ＝0； |
(3)在(2)中求△F1MF2 的面积．
[解析](1)因为e＝ ，
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ，
因为双曲线过点(4，－ )，
所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6.
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(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝ ，
所以c＝2 .
所以F1(－2 ，0)，F2(2 ，0)．
所以kMF1＝ ，kMF2＝ ，
kMF1·k MF2＝ ＝－.
因为点(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2＝3.
故kMF1·k MF2＝－1，所以MF1⊥MF2.
所以· ＝0.
(3)△F1MF2 的底边|F1F2|＝4 ，
△F1MF2 的高h＝|m|＝
，所以S△F1MF2＝6.
16．(文)双曲线C 与椭圆＋＝1 有相同的焦点，直线y＝ x
为C 的一条渐近线．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C 于A、B 两点，交x 轴于Q
点(Q 点与C 的顶点不重合)，当 | ＝λ1 | ＝λ2 | ，且λ1＋λ2＝－时， |
求Q 点的坐标．
[解析](1)设双曲线的方程为 | － | ＝1. |
由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，
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∴对于双曲线C：c＝2.
又y＝ x 为双曲线C 的一条渐近线，
∴＝，解得a2＝1，b2＝3.
∴双曲线C 的方程为x2－＝1.
(2)如图所示，由题意知，直线l 的斜率k 存在且不等于零．
设l 的方程为y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
Q(－，0)．
∵ | ＝λ1 | ，∴(－，－4)＝λ1(x1＋，y1)． |
∴ | 即 |
∵A(x1，y1)在双曲线C 上，
∴ ( )2－ －1＝0.
∴16＋32λ1＋16λ － k2－k2λ ＝0.
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∴(16－k2)λ ＋32λ1＋16－ k2＝0.
同理有(16－k2)λ ＋32λ2＋16－ k2＝0.
若16－k2＝0，则直线l 过顶点，不合题意．
∴16－k2≠0.
λ2＝ | ∴λ1、λ2 是二次方程(16－k2)x2＋32x＋16－ | k2＝0 的两根．∴λ1＋ |
＝－. |
∴k2＝4.此时Δ>0，∴k＝±2.
∴所求点Q 的坐标为(±2,0)．
(理)(2011·临沂模拟)已知椭圆C1 的方程为＋y2＝1，双曲线C2
的左、右焦点分别是C1 的左、右顶点，而C2 的左、右顶点分别是C1
的左、右焦点．
(1)求双曲线C2 的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B，
且 · >2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．
[解析](1)设双曲线C2 的方程为 － ＝1，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，
得b2＝1，故C2 的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋ 代入－y2＝1 中得，
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(1－3k2)x2－6 kx－9＝0.
由直线l 与双曲线交于不同的两点得
∴k2≠且k2<1①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝ ，xAxB＝
由· >2 得，xAxB＋yAyB>2，
xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋ )(kxB＋ )
＝(k2＋1)xAxB＋ k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)· ＋ k· ＋2＝
于是>2，即 >0，
解此不等式得<k2<3②
由①②得<k2<1，∴ | <k<1 或－1<k<－ | . | |
故k 的取值范围为 | ∪ | . | |
1．(2012·河南郑口中学模拟)已知F 为双曲线 | － | ＝1(a>0，b>0) |
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的右焦点，点P 为双曲线右支上任意一点，则以线段PF 为直径的圆
与圆x2＋y2＝a2的位置关系是()
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
[答案]B
[解析]设双曲线左焦点为F1，PF 的中点为C，则由双曲线的
定义知，|PF1|－|PF|＝2a，∵C、O 分别为PF、F1F 的中点，∴|PF1|＝
2|CO|，|PF|＝2|PC|，
∴|CO|－|PC|＝a，即|PC|＋a＝|CO|，∴两圆外切．
2．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)焦点在x 轴上，中心在
原点的双曲线的渐近线方程为y＝± x，则双曲线的离心率为()
A. B．5
C. D.
[答案]C
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[解析]由题意得＝，∴ | ＝，∴ | ＝， | |
∴e2＝，∵e>1，∴e＝ | . | ||
3．(2012·浙江文，8)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点，若M，O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()
A．3 B．2 C. D.
[答案]B
[解析]本题考查了椭圆与双曲线中离心率e 的求法．设椭圆长
轴长为2a，则双曲线实半轴长为 ＝，
因为椭圆与双曲线有公共焦点，
所以离心率的比值＝＝2.
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4．若椭圆 | ＋ | ＝1(m>n>0)和双曲线 | － | ＝1(a>0，b>0)有相 |
同的焦点F1、F2，P 是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()
A．m－a B. (m－a)
C．m2－a2 D. (m2－a2)
[答案]C
[解析](|PF1|＋|PF2|)2＝4m2，(|PF1|－|PF2|)2＝4a2，
∴|PF1|·|PF2|＝m2－a2.∴选C.
5．(2011·新课标全国理，7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且
与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A、B 两点，|AB|为C 的实轴长
的2 倍，则C 的离心率为()
A. B.
C．2 D．3
[答案]B
[解析]依题意：|AB|＝ | ， | ＝ | ，选B. | ||||
∴ | ＝2·2a，即 | ＝2，∴e＝ | |||||
6．已知椭圆 | ＋ | ＝1 和双曲线 | － | ＝1 有公共的焦点， | |||
那么双曲线的渐近线方程为()
A．x＝± | y | y | B．y＝± | x | x |
C．x＝± | D．y＝± |
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[答案]D
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[解析]由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，
∴m2＝8n2，
∴双曲线渐近线的斜率k＝± ＝± .
方程为y＝±x.
7．(2011·浙江杭州月考)双曲线x2－ ＝1 的右焦点到双曲线一条
渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．
[答案]
[解析]双曲线x2－ ＝1 的右焦点F(c,0)到渐近线bx＋y＝0 的
距离： ＝b＝2，又a＝1.
∴c2＝a2＋b2＝5，c＝ .∴双曲线的离心率e＝＝ .
10．(2011·北京海淀期末)如图，已知|AB|＝10，图中的一系列圆
是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3，…，
n，….利用这两组同心圆可以画出以A，B 为焦点的双曲线，若其中
经过点M、N、P 的双曲线的离心率分别记为eM、eN、eP，则它们的
大小关系是________(用“<”连接)．
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[答案]eM<eP<eN
[解析]由图知|AB|＝10，经过M，N，P 的双曲线的半焦距均为
5，由|MB|－|MA|＝7 知过点M 的双曲线实半轴长为，同理可知过
N，P 的双曲线的实半轴长分别为1,2，因此可知eN>eP>eM.
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