二次函数压轴题加答案

1.（08天津市卷26题） 已知抛物线y3ax22bxc，

（Ⅰ）若ab1，c1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；

（Ⅱ）若ab1，且当1x1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

（Ⅲ）若abc0，且x10时，对应的y10；x21时，对应的y20，试判断当0x1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

（08天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当ab1，c1时，抛物线为y3x22x1， 方程3x22x10的两个根为x11，x213． ∴该抛物线与x轴公共点的坐标是1，0和13，0． （Ⅱ）当ab1时，抛物线为y3x22xc，且与x轴有公共点．

对于方程3x22xc0，判别式412c≥0，有c≤13． ·························································· 3分

①当c13时，由方程3x22x130，解得x11x23．

此时抛物线为y3x22x13与x轴只有一个公共点13，0． ··················································· 4分 ②当c13时， x11时，y132c1c，x21时，y232c5c． 由已知1x1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x13，

应有y1≤0， 即1c≤0，5c0.解得5c≤1．

y20.综上，c13或5c≤1． ············································································································· 6分 （Ⅲ）对于二次函数y3ax22bxc，

由已知x10时，y1c0；x21时，y23a2bc0， 又abc0，∴3a2bc(abc)2ab2ab．

于是2ab0．而bac，∴2aac0，即ac0．∴ac0． 7分

∵关于x的一元二次方程3ax22bxc0的判别式4b212ac4(ac)212ac4[(ac)2ac]0，∴抛物线y3ax22bxc与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方． ················································ 8分 又该抛物线的对称轴xb，y 3a 由abc0，c0，2ab0， 得2aba，

O 1 x

2分

1

1b2∴． 33a3又由已知x10时，y10；x21时，y20，观察图象，

可知在0x1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点． ··································································· 10分 2. （08广东肇庆25题）（本小题满分10分）

已知点A（a，y1）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线y5x212x上. （1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求△ABC的面积；

（3）是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由. （08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分） 解：（1）由5x212x=0，（1分）得x10，x21212．（2分）∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）．55（4分）

·······························································（3分）（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），

分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有

SABC=S梯形ADFC -S梯形ADEB -S梯形BEFC =

(1781)2(1744)1(4481)1--=5（个单位面积）

222（3）如：y33(y2y1)．事实上，y35(3a)212(3a) =45a2+36a． 3（y2y1）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）] =45a2+36a． ······························· （9分） ∴y33(y2y1)． ·················································································································· （10分） 3.(08浙江杭州24) 在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平

移二次函数ytx2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B。 （1）是否存在这样的抛物线F，使得OA断，并说明理由；

（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=

解析式。

（08浙江杭州24题解析）∵ 平移ytx2的图象得到的抛物线F的顶点为Q, ∴ 抛物线F对应的解析式为:yt(xt)2b. --- 2分 ∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴tb0. --- 1分 令y0, 得OBt2OBOC？请你作出判

3，求抛物线F对应的二次函数的2b，OCttb, t 2

∴ |OB||OC||(tb)( ttbb22)||t2 |tOA , tt2即t2b, 所以当b2t3时, 存在抛物线F使得|OA|2|OB||OC|.-- 2分 tt(2) ∵AQ//BC, ∴ tb, 得F: yt(xt)2t,

解得x1t1,x2t1. --- 1分 在RtAOB中,

1) 当t0时,由 |OB||OC|, 得B(t1,0), 当t10时, 由tanABO32|OA||OB|tt1, 解得t3, 此时, 二次函数解析式为y3x218x24; --- 2分 当t10时, 由tanABO32|OA||OB|tt1, 解得t35, 此时，二次函数解析式为y3218485x +25x +

125. --- 2分 2) 当t0时, 由 |OB||OC|, 将t代t, 可得t35, t3,

（也可由x代x，y代y得到） 所以二次函数解析式为 y35x2 +1825x –48125或y3x218x24. --- 2分. 4、（08浙江丽水）24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线

x2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线yx2从点O沿OA方向平移，

与直线x2交于点P，顶点M到A点时停止移动．

（1）求线段OA所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M的横坐标为m,

①用m的代数式表示点P的坐标； ②当m为何值时，线段PB最短；

（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA

的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若 不存在，请说明理由．

（08浙江丽水24题解析）24．（本题14分）

解：（1）设OA所在直线的函数解析式为ykx，

∵A（2，4），

∴2k4, k2,

y A P M B O x2 x（第24题） 3

∴OA所在直线的函数解析式为y2x.…………………………………（3分） （2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，

2 ∴y2m（0≤m≤2）.∴顶点M的坐标为(m,2m).∴抛物线函数解析式为y. (xm)2m2m2m4∴当x2时，y（0≤m≤2）. (2m)2m22∴点P的坐标是（2，m）.…………………………………（3分） 2m422② ∵PB=m=(， 又∵0≤m≤2， m1)32m4∴当m1时，PB最短. ……………………………………………（3分）

（3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y.……………（1分） x122假设在抛物线上存在点Q，使SSQMAPMA.

2 设点Q的坐标为（x，x）. 2x3①当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC//AO，交y轴于点C，

∵P，∴OC1，∴C点的坐标是（0，1）. P1B4，∴AB3，A∵点P的坐标是（2，3），∴直线PC的函数解析式为y. 2x1∵S，∴点Q落在直线y上. S2x1QMAPMA2∴x=2x1. 2x3y A M D 2,x2解得x，即点Q（2，3）. 12∴点Q与点P重合.

∴此时抛物线上不存在点Q，使△QMA与 △APM的面积相等.………………………（2分）

E O C P B x2 x ②当点Q落在直线OA的上方时，作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE//AO，交y轴于点E，

ODA1∵A，∴E，∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5）， P1∴直线DE函数解析式为y. 2x12∵S，∴点Q落在直线y上.∴x=2x1. S2x32x1QMAPMA2.代入y2522. 2，x522，y解得：x，得yx122212122,5222,522，Q∴此时抛物线上存在点Q 2124

使△QMA与△PMA的面积相等. …………………………………（2分）

22,5222,522，Q综上所述，抛物线上存在点Q 212 使△QMA与△PMA的面积相等.



5、（2008山东烟台）如图，抛物线L1:yx22x3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单

位后得到抛物线L2，L2交x轴于C、D两点. （1）求抛物线L2对应的函数表达式；

（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.

答案：

5

6、 （2008建设兵团）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的

一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．

（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？

答案：解：（1）设抛物线的表达式为yax2 点B(6，5.6)在抛物线的图象上． ∴5.636a

a7 4572x 45∴抛物线的表达式为y（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t） 已知窗户高1.6m，∴t5.6(1.6)4

472k 45k1≈5.07，k2≈5.07（舍去）

∴CD5.072≈10.14（m） 又设最多可安装n扇窗户 ∴1.5n0.8(n1)≤10.14

n≤4.06．

答：最多可安装4扇窗户．（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）

6

197.（08江西南昌）24．如图，抛物线y1ax2ax1经过点P，，且与抛物线y2ax2ax1相交

28于A，B两点．（1）求a值；（2）设y1ax2ax1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），，观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确y2ax2ax1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边）的结论，并通过计算说明；

（3）设A，B两点的横坐标分别记为xA，xB，若在x轴上有一动点Q(x，且xA≤x≤xB，过Q作一条垂直于x轴0)，的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值？其最大值为多少？ y 19（08江西南昌24题解析）24．解：（1）点P，在抛物线

28P A O B x y1ax2ax1上，

119aa1， ························································································································· 2分

428解得a1． ··············································································································································· 3分 21121121，抛物线y1xx1，y2xx1． ················ 5分 22222y P A M E O N F B x （2）由（1）知a121当xx10时，解得x12，x21．

22···················· 6分 点M在点N的左边，xM2，xN1． ·当

121xx10时，解得x31，x42． 22·············································································· 7分 点E在点F的左边，xE1，xF2． ·

xMxF0，xNxE0，

························································································ 8分 点M与点F对称，点N与点E对称． ·（3）a10． 2A y P C O Q D x B ····························· 9分 抛物线y1开口向下，抛物线y2开口向上． ·根据题意，得CDy1y2

1111······························································· 11分 x2x1x2x1x22． ·

2222·································································· 12分 xA≤x≤xB，当x0时，CD有最大值2． ·

7