第⼆部分 ⾃测题第⼀章 ⾃测题
⼀、判断题（每题2分，共20分）
1、 通过平差可以消除误差，从⽽消除观测值之间的⽭盾。（ ）2、 观测值i L 与其偶然真误差i ?必定等精度。（ ）
3、 测量条件相同，观测值的精度相同，它们的中误差、真误差也相同。（ ）4、 或然误差为最或然值与观测值之差。（ ）5、 若X 、Y 向量的维数相同，则YX XY Q Q =。（ ）6、 最⼩⼆乘原理要求观测值必须服从正态分布。（ ）
7、 若真误差向量的数学期望为0，即0=?)(E ，则表⽰观测值中仅含偶然误差。（ ） 8、 单位权中误差变化，但权⽐及中误差均不变。（ ） 9、 权或权倒数可以有单位。（ ）
10、相关观测值权逆阵Q 的对⾓线元素ii Q 与权阵P 的对⾓线元素ii P 之间的关系为1=ii ii P Q 。（ ）
⼆、填空题（每空0.5分，共20分）
1、测量平差就是在 基础上，依据 原则，对观测值进⾏合理的调整，即分别给以适当的 ，使⽭盾消除，从⽽得到⼀组最可靠的结果，并进⾏ 。
2、测量条件包括 、 、 和 ，由于测量条件的不可能绝对理想，使得⼀切测量结果必然含有 。3、测量误差定义为 ，按其性质可分为 、 和 。经典测量平差主要研究的是 误差。
4、偶然误差服从 分布，它的概率特性为 、 和 。仅含偶然误差的观测值线性函数服从 分布。
5、最优估计量应具有的性质为 、 和 。若模型为线性模型，则所得最优估计量称为 ，最优估计量主要针对观测值中仅含 误差⽽⾔。要证明某估计量为最优估计量，只需证明其满⾜ 性和 性即可。6、限差是 的最⼤误差限，它的概率依据是 ，测量上常⽤于制定 的误差限。
7、若已知观测值向量L 或其偶然真误差向量?的协⽅差阵为∑，则L 或?的权阵定义为L P =?P = ，由于验前精度∑难以精确求得，实⽤中定权公式有 、 、
，特别是对独⽴等精度观测向量L ⽽⾔，其权阵可简单取为L P = 。 8、已知真误差向量1n 及其权阵P ，则单位权中误差公式为 ，当权阵P 为 此公式变为中误差公式。式中，1
n 可以为同⼀观测量的真误差，也可以为 观测量的真误差。
9、已知独⽴⾮等精度观测向量1n L 的⾮线性函数变量为)(L f z =，则2z m = ，zp 1
= 。 10、已知某量z 的权倒数zp 1
及单位权中误差µ，则z m = 。三、选择题（每题2分，共20分）1、已知⽅位⾓1213245''±'''=
AP T ，±=km s AP 10 时点位纵横向精度基本相同（5
102?≈ρ）。A 、1mB 、1cmC 、5cmD 、5mm2、已知)180(3 -++=-=C B A W WA A
，m m m m C B A ===，m m W 3=，则A m ?= 。A 、
m 32 B 、m 32C 、m 32 D 、m 2
3 3、长⽅形地块的⾯积由长和宽得到，已知长度的测量值cm m a 14±=，若要求⾯积的中误差25dm m S ≤，则宽度测量值m b 3=的中误差应在 范围。A 、1cmB 、2cmC 、3cmD 、4cm
4、A 、B 两点按双次观测得⾼差'i h 、\"
i h )8,,2,1( =i ，各⾼差之间相互独⽴，每⼀⾼差的中误差均为mm 2±，则全长⾼差算术中数的中误差为± 。A 、2mmB 、4mmC 、8mmD 、16mm
5、⽔准测量中，10km 观测⾼差值权为8，则5km ⾼差之权为 。A 、2
B 、4C 、8
D 、16 6、已知??
=?3112P ，则2L p = 。A 、2B 、3C 、25D 、3
5 7、已知三⾓形闭合差向量1
n W 及其相关权阵W P ，i W 中i A 的权为i p ，则i A 的中误差为。
A 、n W P W W T ±B 、i W T np W P W ±C 、nW
P W W T 3± D 、i W T np W P W 3±8、已知观测值L 的中误差为L m ，L x 2=，2L y =，则xy m = 。A 、2
4L Lm B 、L Lm 4 C 、22L Lm D 、L Lm 2
9、已知),,2,1(n i L x v i i =-=，[]nL x =，观测值i
L 独⽴等精度，其权均为1，则21v v p=。A 、nB 、n -C 、n 1 D 、n1
- 10、随机向量1
n X 的协⽅差阵X ∑还可写为 。A 、)()()(X E X E X X E T T -B 、)()(X E X E TC 、)()(X E X E TD 、)()()(XE X E XX E TT-四、推证题（共15分）1、菲列罗公式。（4分）
2、已知X K z T =，λ+?=?i X i ),,2,1(n i =，i ?独⽴等精度，2i
σ均为2σ，试推导2z σ的公式。（5分）
3、知0U CZ BY AX U +++=，0V EZ DY V ++=，=??
Z Y YX XY X Z Y X Q Q Q Q Q Q 0000，A 、B 、C 、D 、
E 为常数矩阵，0U 、0V 为常数向量，试推求??V U Q 、UX Q 、UZ Q 、ZV Q 。（6分）
五、计算题（共25分）1、在新旧坐标系的转换模型??-=??
''y x y x ααααcos sin sin cos 中，若已知旧坐标x 、y 的协⽅差阵为??=∑??22
y xy xy x y x σσσσ，转换参数
α的均⽅差为ασ（以秒为单位），试求新坐标x '、y '的协⽅差阵??''∑y x （长度单位均为⽶）。（6分）2、已知X Y --=2112，
--=522441X P ，20=σ，试求Y Q 、Y ∑、XY ∑，并指出X 向量中的元素与Y 向量中的元素哪些互不相关。（6分）3、 对三⾓形的三个内⾓进⾏了九组同精度观测，每组观测值中各⾓均为四测回中数，所得闭合差为：5.2''+、5.1''-、5.3''-、5.3''、5.2''-、5.0''-、5.5''+、5.2''+、5.2''-。经检验，各闭合差包含有系统性的常误差5.0''+，试求： 1） 这组闭合差的精度及闭合差应出现的范围； 2）各⾓观测值的精度；3） 各⾓每测回观测值的精度。（7分）4、 ⽤
m 40±试求：
1） 全长单程AB S 的中误差；2） 较差\"
-'=i i i S S d 的限差。（6分）第⼆章 ⾃测题
⼀、判断题（每题2分，共20分）
1、参数平差中，当误差⽅程为线性时，未知参数近似值可以任意选取，不会影响平差值及其精度。（ ）2、 观测值i L ),,2,1(n i =之间误差独⽴，则平差值i
L ?之间也⼀定误差独⽴。（ ） 3、提⾼平差值精度的关键是增加观测次数。（ ）4、参数平差中要求未知参数i x ?之间函数独⽴，所以它们之间的协⽅差⼀定为0。（ ）5、对于⼀定的平差问题，⼀定有??≤P PV V TT 。（ ）
6、参数平差中，若X F Z Tδ=，则)(1F N F tn PV V T TZ
--=∑。（ ） 7、 参数平差中，当观测值之间相互独⽴时，若某⼀误差⽅程式中不含有未知参数，但⾃由项不为0，则此误差⽅程式对组成法⽅程不起作⽤。（ ）
8、 数平差定权时，随单位权中误差的选取不同，会导致观测量平差值的不同。（ ） 9、 差值的精度⼀定⾼于其观测值的精度。（ ）
10、因为V L L +=?，故V L LQ Q Q +=?。（ ）
⼆、填空题（每空1分，共25分）
1、参数平差中，未知参数的选取要求满⾜ 、 。
2、已知某平差问题，观测值个数为79，多余观测量个数为35，则按参数平差进⾏求解时，误差⽅程式个数为 ，法⽅程式个数为 。
3、⾮线性误差⽅程式i t i i L x x x f v -=)?,,?,?(21 的线性化形式为 。未知参数的近似值越靠近 ，线性化程度就越⾼；当线性化程度不⾼时，可以采⽤ 法进⾏求解。
4、参数平差中，已知??
=4223N ，2±=µ，则=1?x p ，=1?x m ，=2?x p ，=2?x m 。若1??221++=x x z ，则=z p ，=z m 。5、已知36=Pl l T
，4=n ，法⽅程为024??322421=+????x
x δδ，则PV V T= ，µ= ，1x m = ，2x m = 。
6、设观测值的权阵为P ，将其各元素同乘以某⼤于0的常数λ后重新进⾏平差，则下列各量：X ?、V 、µ、X
∑、V Q 中，数值改变的有 、 ，数值不改变的有 、 、 。7、V L ?∑= ，V X ?∑= ，LV ∑= 。三、选择题（每题2分，共10分）1、参数平差的法⽅程可以写为 。A 、0??=+U X Q XB 、0??=+U P X XC 、0?=+U Q X UD 、0?=+U X Q U2、参数平差中，已知??=
211121?X P ，41?±=x m ，则±=µ 。A 、1B 、2C 、4D 、8
3、以L m 、?m 、v m 分别表⽰某⼀量的观测值、真误差、观测值残差的中误差，则2L m 、2m 、
2v m 之间的关系为 。A 、222?<=m m m v LB 、2
22v L m m m >=? C 、222?==m m m v L D 、222L v m m m <=?
4、参数平差中，L Q ?= 。A 、T A AN 1-B 、A N A T 1-C 、T A AN P11
--- D 、A N A P T 11---5、参数平差中，L X Q ?= 。A 、TA AN 1- B 、A NA T1-C 、1-N
A T D 、T A N1-四、推证题（共15分）
1、试以l X A V +=?δ按最⼩⼆乘原理推导参数平差的法⽅程。（5分）2、推证L L L Q Q ??=。（5分）3、推导X V Q ?（5分）五、计算题（共30分）
1、如图所⽰的测边⽹中，观测了六条边长i s )6,,2,1( =i ，已知四个点的平⾯近似坐标分别为0A x 、0A y ，0B x 、0B y ，0
C x 、0C y ，0D x 、0
D y ，试以四个点的平⾯坐标为未知参数，列出线性化的误差⽅程。（8分）
2、如图所⽰的⽔准⽹中，已知m H A 00.100=，m H B 00.150=，观测⾼差及所在距离如下：2
15.701 11.201
03.401 04.3044332211========s h s h s h km s m hx yA1h 2h 3h 4h 1P 2P B
试按参数平差法求1P 、2P 两点的⾼程平差值及其中误差、两点之间⾼差的平差值及其中误差。（3、 如图所⽰，各⾓独⽴等精度，观测值如下：22932453955471023024026012003054321'''='''='''='''='''= L L L L L
试求各⾓最或然值及其中误差。（12分）1L 2L 3L 4L 5L
第三章 ⾃测题
⼀、判断题（每题2分，共20分）
1、 同⼀平差问题，参数平差与条件平差所得观测值的平差值及其绝对精度⼀定相同。（ ）
10分）2、若n n L k L k L k z 2211+++= ，则2?22?222?21221nL n L
L z m k m k m k m +++= 。（ ） 3、条件平差中，0)(>?-V B 。（ ） 4、条件平差中，⼀定有??≤P PV V TT。（ ）
5、若某⼀条件⽅程式的闭合差为0，则此条件⽅程式对求解不起作⽤。（ ）6、若有条件⽅程为011101021140151=??-+???
--v v ，观测值间相互独⽴，则2L ⼀定不得改正数。（ ）
7、 若参数平差模型为l X A V +=?δ，条件平差模型为0=+W BV ，则Bl W -=。（ ）
8、 ⽆论参数平差还是条件平差，均有0=LV Q 。（ ） 9、 条件平差中，若0)(=?E ，则0)(=W E 。（ ） 10、条件平差中，PQ V 为幂等阵。（ ）
⼆、填空题（每空1分，共20分）
1、条件平差中，条件⽅程式的选取要求满⾜ 、 。
2、已知某平差问题，观测值个数为79，必要观测量个数为35，则按条件平差进⾏求解时，条件⽅程式个数为 ，法⽅程式个数为 。
3、⾮线性条件⽅程式i
n i f L L L f 021)?,,?,?(= （i f 0为常数）的线性化形式为 。 4、测量平差中，为消除多余观测所引起的⽭盾，当所列⽅程为 ⽅程时，称为参数
平差；当所列⽅程为 ⽅程时，称为条件平差。由于单纯消除⽭盾⽽给的观测值改正数有⽆穷多组，为求出唯⼀估值，参数平差和条件平差都必须依据 原则求出极值，⼀般称参数平差的极值问题为 极值，条件平差的极值问题为 极值。5、已知条件平差的法⽅程为024322421=??
+k k ，则PV V T = ，µ= ，
1k p = ，2k p = ，=21k k m 。若21k k z +=，则=z m 。
6、V L ?∑= ，L K ?∑= ，L W ?∑= ，WK Q = 。三、选择题（每题2分，共10分）1、条件平差的法⽅程等价于 。A 、0=+W K Q KB 、0=+W Q K WC 、0=+W P K WD 、0=+W P K K
2、条件平差中，已知??=8224W Q ，2±=µ，则±=1k m 。A 、78 B 、74C 、8
D 、4 3、⽆论平差前定权时单位权中误差怎么选取，条件平差中下列哪组量均不会改变 。A 、µ、PV V T、L
B 、µ、V 、L ? C 、L Q ?、V 、L ? D 、L ?∑、V 、L ?4、条件平差中，若令B N B P J TB 11
--=，则P Q L ?= 。A 、B J B 、2
)(B J I - C 、)(B B J I J - D 、)(B B J I J +5、条件平差中，法⽅程的系数阵
--=300021012N ，2±=µ，则1w 的限差为± （取2倍中误差为限差）。A 、22B 、24C 、324D 、322
四、推证题（共20分）
1、试推导条件平差的法⽅程。（5分）2、推证L L L ??∑=∑。（5分）3、推证NK K PV V TT
=。（4分）4、r
PV V T ±=µ。（6分）五、计算题（共30分）
1、设在测站O 上独⽴等精度观测了A 、B 、C 、D 四个⽅向，⽅向值如下，并知0.000090'''=∠ BOD ，试以⾓度1L 、2L 、3L 为平差元素做测站平差。（5分）
3.00 00 201:0.00 00 60 :79.5 95 92 :0.00 00 0 :''''''''''''
OD OC OB OA
2、 如图所⽰，各⾓独⽴等精度，观测值如下：81103925445004631863422081023054321'''='''='''='''='''= L L L L L
试求各⾓最或然值及其中误差。（9分）
3、 如图所⽰的⽔准⽹中，已知m H A 00.100=，m H B 00.150=，观测⾼差及所在距离如下：o123452
15.701 11.201
03.401 04.3044332211========s h s h s h km s m h
试按条件平差法求1P 、2P 两点⾼程平差值和两点之间⾼差的平差值以及它们的中误差。（9分）
4、如图所⽰的⽔准闭合环中，A 为已知⽔准点（⽆误差），B 、C 、D 为未知⽔准点，各段⾼差及所在距离已由图中标出，1） 平差后哪个点的⾼程精度最⾼，哪个点的⾼程精度最低，试说明原因；
2）欲使平差后C 点⾼程中误差的绝对值不超过mm 6，则每公⾥⾼差的中误差应在何范围之内。（7分）A1h 2h 3h 4h 1P 2P B
A1h 2h 3h 4h BC
D km s 61=km s 22=km s 33=kms 54=
第四、五、六章 ⾃测题
⼀、判断题（每题2分，共20分）
1、若观测值中仅含偶然误差，则⽆论⽤何种平差模型所得V 、L ?、2µ均⽆偏。（ ）
2、由具有参数的条件平差解的公式可以直接写出参数平差和条件平差的解式。（ ）
3、若观测值中仅含偶然误差，则具有参数的条件平差和具有条件的参数平差所得V 均服从正态分布，其维数等于观测值个数。（ ）
4、由于参数之间不函数独⽴，故具有条件的参数平差模型中系数阵A 列降秩。（ ）5、具有条件的参数平差求解时，可以视其条件⽅程为误差⽅程并按参数平差法求解。（ ）
6、当未知参数具有验前精度时，可以考虑采⽤参数加权的平差⽅法，也可以将其视为⼴义的观测值与实测值⼀起进⾏平差。（ ）
7、观测值分组的参数平差与序贯平差同解。（ ）8、若),0(~2σN i ?，则i n ?与∑=?ni i
1的分布不同。（ ）
9、由误差椭圆中⼼向误差椭圆所作的交线即为该⽅向的点位中误差。（ ） 10、若)(~22r PVV T χσ，则r222
σσµ=。（ ）
⼆、填空题（每空1分，共30分）
1、已知某平差问题观测值个数为50，必要观测量个数为22，若选6个独⽴参数按具有参数的条件平差进⾏求解，则函数模型个数为 ，联系数法⽅程式的个数为 ；若在22个独⽴参数的基础上，⼜选了4个⾮独⽴参数按具有条件的参数平差进⾏求解，
则函数模型个数为 ，联系数法⽅程式的个数为 。不管选⽤那种平差⽅法，上述所得结果都与参数平差结果 。2、幂等阵的秩等于它的 ，利⽤此性质可以证明参数平差和条件平差中，)(V Q R = ，)(?L Q R =
3、由⼆次型的数学期望)(AX X E T= 可以证明，参数平差模型111+=n t t n n l X
A V δ中，)(PV V E T = ；条件平差模型011
=+r n n r W V B 中，)(PV V E T = ；具有参数的平差模型0?111
=++r t tr X n n r W X
B V B δ中，)(PV V E T = ；具有条件的参数平差模型=++=??0??11111r t t r X n t t n n W X B l XA V δδ中，)(PV V E T
= 。 4、具有条件的参数平差中，V L Q ?= ，V X Q ?= 。若已求得L Q ?，则V Q = ，L L Q ?= ，LV Q = 。5、设参数分组的误差⽅程为[]l X X A A V +??
=2121??δδ，观测值的权阵为P ，令1111PA A N T=，
2112PA A N T =，1221PA A N T =，2222PA A N T =，则单独求解1?X δ的公式为1X δ= ， 1X Q = 。
6、已知某平⾯控制点的权逆阵为=y y xy x x Q Q
Q Q Q ，则误差椭圆参数2E = ，2
F = ，12αtg = 。
7、偶然误差特性的检验包括 的检验、 的检验、 的检验、 的检验、 的检验。
8、误差分布正态性的检验⽅法包括 、 。三、选择题（每题2分，共10分）
1、具有参数的条件平差模型0?111
=++r t tr X n n r W X
B V B δ中，要求n 、r 、t 满⾜ 。 A 、t r t r n >->, B 、t r r t n >->,C 、t r t r n ≥-≥,D 、t r r t n ≥-≥,
2、具有条件的参数平差模型=++=??0??111
11r t t r X n t t n n W X B l X
A V δδ中，要求n 、r 、t 满⾜ 。 A 、t r r t n >->,B 、t r r t n >-≥,C 、r t r t n >-≥,D 、r t r t n >->,
3、在全部参数加权平差模型111=+r t t r n n r W XA VB δ中，2µ= 。
A 、r X P X PV V X T T ??δδ+B 、t n X P X PV V XT T -+??δδ
C 、t r X P X PV V X T T -+??δδD 、tX P X PV V XT T ??δδ+
4、参数平差中，若系数阵A 列降秩，则参数解有 。A 、唯⼀解B 、⽆解C 、⽆定解
D 、只有0解 5、若),,2,1)(1,0(~n i N i =?，则[]%45.95 =?
≤n P 。 A 、
n 2 B 、n2 C 、22n D 、n 3四、推证题（共25分）
1、⽤任⼀⽅法推导具有条件的参数平差解X ?δ、V 。（5分）2、⽤参数平差原理和条件平差原理推导具有参数的条件平差解Xδ、V ，并证明202)(σµ=E 。（9分）
3、 ⽤全部参数加权平差原理推证观测值分两组时+=+=22221
111??l X A V l X A V δδ，=21P P P 的整体解X ?δ。（6分）4、 ⽤任⼀⽅法推导部分参数加权平差模型：W X A X A BV =++2211??δδ，02
2011X A X A BL D W ---= 的解1?X δ、2?X δ、V ，其中，02
X 具有验前精度2X P 或2X Q 。（5分）五、计算题（共15分）
1、设有两组观测值，所列误差⽅程如下：)
(21321070??101101cm x x v v v
+?-=δδ，)2,2,1(1diag P =)(7?24cm x
v +=δ， 22=P 若已知m x 02.2201=、m x 21.2502=且均⽆先验精度，试按序贯平差法求1?x、2?x 、X Q ?、µ。（9分） 2、已知条件⽅程为
044401001111000011154321=\"
--+?
--v v v v v 定权时单位权均⽅差为8.10''=σ，试以5%的显著⽔平检验该模型是否正确（22.0)3(2025.0=χ，35.9)3(2975.0=χ）。（6分）
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容