厚壁圆筒应力分析

1、概述

K>1.2的壳体成为厚壁圆筒。厚壁容器承压的应力特点有（此处不考虑热应力）：一、不能忽略径向应力，应做三向应力分析；二、厚壁容器的应力在厚度方向不是均匀分布，而是应力梯度。所以，在求解的时候需要联立几何方程、物理方程、平衡方程才能确定厚壁各点的应力大小。 2、解析解

一、内压为pi，外压为p0的厚壁圆筒，需要求出径向应力r、周向应力和轴向应力z，其中轴向应力z不随半径r变化。 （1）几何方程

如图所示，取内半径r，增量为dr的一段区域两条弧边的径向位移为和d，其应变的表达式为：

(d)ddrdr（1）

（r)drd周向应力：rdr径向应力：r对r求导，得：

drd1d1drr （2） drrr2rdrrr（2）物理方程 根据胡克定理表示为

1(rz （3） E两式相减，消去z得：

r-（1）（4） rr1r(z

EE将（4）代入（2）得：

d1 （5） r(z）drE对（3）的求导得，z看做常数：

d1ddr （6） drEdrdr联立（5）、（6）得：

dd（1)r- （7） -drdrr（3）平衡方程

如图所示，沿径向和垂直径向建立坐标 系，把向x轴和y轴分解，得：

dprdrpr2psin （8）

2其中

prdr（rdr)rdrd （9）

prrrd

由于d很小，sin-rrd2d，略去二阶微量drdr，得 2dr （10） dr联立（7）（10）得

d2rdrr30 （11） dr2dr对（11）进行求得r，在代入（10）得

Br2 （12） BA2rrA其中A、B是两个积分常数，要求A，B需要两个方程，根据内外壁边界条件

rRi,rpirR0,rp 0将（13）代入（12）得：

piR2ip2A0R0R220Ri B(p22ip0)RiR0R220Ri最后剩下z未求出，最后在轴向用平衡方程，内力等于外力。F22内力zSz（R0Ri) F2外力RipiR20p0 联立（15）（16）得：

R22ipiR20p0piR2ip0R0z(R2222A 0Ri)R0Ri所以得到内外压作用下的拉美公式：

周向应力：pR222iip0R0(pip0)R2iR01R22222 0RiR0Rir径向应力：pp2p22iR2i0R0(pi0)RiR01rR2222 0RiR0Rir2轴向应力：p22iRip0R0zR22 0Ri

（13）

（14）

（15） （16）

（17） （18）

利用拉美公式，可以得到如下解析解：

设厚壁圆筒受内压pi4Mpa，受外压po1Mpa，圆筒内径

Ri120mm，外径Ro160mm。则得到如下解析解

3、数值解

有限元模型及其假设

由于筒体为对称结构，所以用轴对称模型。同样设 设厚壁圆筒受内压pi4Mpa，受外压po1Mpa， 圆筒内径Ri120mm，壁厚t为40mm高度H为200mm，弹性模量E为2105Mpa，泊松比为10Mpa。模型如右图所示： 得到，厚壁圆筒只在受内压和外压作用时的三向应力，在ANSYS中得到如下图所 示： 实体模型及网格划分图

并且得到总的应力分布：

和拉美公式的到的解析解进行比较，下面是利用Excel整理得到的厚壁圆筒三向应力有限元数值解和拉美公式解析解比较图，如下图所示：

从图中看出，ANSYS的数值解和拉美公式解析解几乎一样，进一步验证了拉美公式的正确性。