均布自重下椭圆环的内力和位移分析

均布自重下椭圆环的内力和位移分析

黄开志　陈小亮　张龙　郑恒伟　李定玉

(重庆科技学院建筑工程学院ꎬ重庆４０１３３１)

摘　要:借助重心公式ꎬ由能量法推导出均布自重下闭口和顶部开口椭圆环的内力和位移计算公式ꎮ以水平轴与铅垂轴之比为２的椭圆环为例ꎬ绘制无量纲化的内力图和位移图ꎮ分析内力和位移的零点、极值点和极值ꎮ分析认为:和开环相比ꎬ闭环的弯矩极值较小ꎬ但轴力极值较大ꎬ二者在底部可取得相同的剪力极值ꎻ在水平轴上ꎬ二者的弯矩相同ꎬ轴力也相同ꎮ同时ꎬ闭环的３个位移极值均小于开环ꎻ沿铅垂轴ꎬ闭环和开环顶部相同ꎬ且闭环在该处取得极值ꎬ开环在水平轴上取得极值ꎻ沿水平轴ꎬ开环在顶部取得极值ꎻ角位移方面ꎬ二者在顶部的转角均为零ꎮ关键词:材料力学ꎻ椭圆环ꎻ自重ꎻ能量法中图分类号:Ｏ３４１

文献标识码:Ａ

文章编号:１６７３－１９８０(２０１９)０２－０１０９－０４

　　相关研究显示ꎬ超高精密传感器件、精密机电产品及土建结构等受自重的影响较大[１－６]ꎮ杨实如运用材料力学假设ꎬ求出了小曲率圆环挠曲线微分方程的通解ꎬ并以实例说明如何利用所求通解计算圆环的内力及位移[７]ꎮ王兆清采用重心插值配点法求解了圆环的位移及稳定性[８]ꎮ彭美骥根据圆环变形的假设条件ꎬ用叠加原理推证了圆环振动时环上任静水压力、双向均布对压等载荷下的内力和位移计算ꎬ现有研究文献较多ꎮ

移进行了计算[１０]ꎮ分析椭圆环的内力和位移ꎬ对该类产品的设计制造、安装调试和维护保养等具有一定的意义ꎬ但相关文献较少ꎮ本次研究未采用求解微分方程的办法ꎬ而是借助重心公式ꎬ由能量法导出闭口和顶部开口椭圆环的内力和位移计算公式ꎬ并举例对求解结果进行分析ꎮ

马少华对椭圆环在双向均布对压下的内力和位意点的位移[９]ꎮ关于圆环在诸如集中力、集中力偶、

对称ꎬ则Ａ截面剪力为零ꎬ其为二次超静定问题ꎮ

图１　力学模型

１.１.１　内力

多余反力ꎮ设椭圆参数方程为:

在图２所示原载荷下的内力图中ꎬＸ１和Ｘ２为

１　公式推导

１.１　闭口椭圆环

图１所示力学模型中ꎬ均质等截面线弹性闭口椭圆环放置在水平面上ꎬ受均布自重ｑ作用ꎬ关于ＡＢ轴

收稿日期:２０１８－１０－２６

{ｙ(ｔ)＝ｋｂｓｉｎｔ

ｙ′(φ)

􀅰ｔａｎβ＝－１ｘ′(φ)

结合式(１)ꎬ得式(２):

ｘ(ｔ)＝ｂｃｏｓｔ

(１)

离心角为φ的Ｐ点ꎬ其切线和法线斜率满足:

基金项目:重庆市教委科学技术研究项目“纳米结构表面效应的三维有限元分析方法研究”(ＫＪ１７１３３４０)ꎻ重庆市教委科学技

术研究项目“ＭＥＭＳ热光开关的热力耦合研究和可靠性分析”(ＫＪ１６０１３０４ꎬＫＪ１７１３３４０)ꎻ重庆科技学院本科教育教学改革研究项目“理论力学课程案例式教学改革研究与实践”(２０１８４４)

作者简介:黄开志(１９６９—)ꎬ男ꎬ正高级工程师ꎬ研究方向为工程力学ꎮ

􀅰１０９􀅰

黄开志ꎬ等:均布自重下椭圆环的内力和位移分析

ìïïíｓｉｎβ＝２φ＋ｋ２ï

ｓｉｎｓｉｎφ

ｋｃｏｓφ

ｃｏｓ２φïｃｏｓβ＝(２)

î

ｓｉｎ２φ＋ｋ２ｃｏｓ２φ图２　原载荷下的内力

离心角为α的点的弧坐标ｓ(α)满足:ｄ结合式ｓ(α)(１)ꎬ＝

得式[ｄｘ((３):α)]２＋[ｄｙ(α)]２ｄｓ(α)＝ｂ

ｓｉｎ２α＋ｋ２ｃｏｓ２αｄα(３)

ＡＰ段的重心Ｃ坐标为:

φｙＣ(φ)

＝

∫０

ｙ∫

∫(α)ｄｓ(α)φ０

ｄｓ(α)

结合式(１)(３)ꎬ得式(４):φ

ｙｓｉｎ２α＋ｋ２Ｃ(φ)＝

ｂ０

ｋｓｉｎα

ｃｏｓ２αｄα

２

(４)

计算ＡＰ段均布自重∫

φ

０

ｓｉｎ２

α＋ｋ２

ｃｏｓαｄα

ｑ的合力:

Ｒｑ(φ)＝ｑ０

ｄｓ(α)

结合式(３)得:Ｒｑ(φ)＝ｑｂ

０

ｓｉｎ２α＋ｋ２ｃｏｓ２αｄα

(５)

计算Ｐ截面上由∫

∫

φ

φ

ｑ引起的内力:

ìïï

Ｍｑ(φ)＝Ｒｑ(φ)[ｙ(φ)－ｙＣíï

Ｆ(φ)]ＮｑîＦ(１１０􀅰

φφ))＝＝－ＲＲｑ(φ)ｓｉｎβＳｑ(ｑ(φ)ｃｏｓβ

由式(１)(２)(４)(５)∫

得式(６)

ìïφ

ï

Ｍｑ(φ)＝ｑｂ２ｋïï

　　　　ｓｉｎ０

(ｓｉｎφ－ｓｉｎα)×

２α＋ｋ２ｃｏｓ２αｄαïïíïＦＮｑ(６)

ï

(φ)＝－

ｑｂφ

０ｓｉｎφｓｉｎ２α＋ｋ２ｃｏｓ２αｄα

ï

ïｑｂ∫

∫

φｋｃｏｓφｓｉｎ２φ＋ｋ２ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２φｋ２ｃｏｓ２αｄαïîＦＳｑ(φ)＝０

ｓｉｎ２φ＋ｋ２截面上由ｘ１和ｘ２引起的内力ｃｏｓ２φ计算Ｐ:ìïï

Ｍｘíï

Ｆ(φ)＝ｘ１＋ｘ２[ｂ－ｘ(φ)]ＮｘîＦ(φ)＝ｘ２ｃｏｓ结合式)＝ｘβＳｘ(φ２ｓｉｎβ

ìïｘï(φ)(１)、(２)ꎬ＝ｘ得:

Ｍ１＋ｘïｘ２ｂ(１－ｃｏｓφ)íＦＮｘï

(φ)＝

２ｋｃｏｓφïｓｉｎ２φ＋ｋ２(７)ïîＦＳｘ(φ)＝

ｘ２ｓｉｎφｃｏｓ２φ

(６)和(７)ｓｉｎ２φ＋ｋ２对应项相加ｃｏｓ２φ

将式ꎬ得Ｐ截面上的总内力:

ìïï

Ｍ(φ)＝Ｍｑíï

Ｆ(φ)＋Ｍｘ(φ)Ｎ(φφ))＝＝ＦＦＮｑîＦ(φ)＋ＦＮｘ(φ)(８)

Ｓ计算与弯矩对应的应变能(Ｓｑ(φ)＋ＦＳｘ(φ)

∫

:

Ｖε(ｘ１ꎬｘ２)＝π

Ｍ２(φ)ｄｓ(φ)

Ａ截面的转角和沿轴线的位移均为０２ＥＩ

０ꎬ由卡氏第

(９)

二定理得式(１０):

ìï∂Ｖεï(ｘꎬｘ)í

ïï∂Ｖ(∂ｘｘ１２１＝０

ε１ꎬｘ２)(１０)

î由式(８)、(９)、(１０)∂ｘ得式２

＝０(１１):

ìï－ïｘí１＝ａａ１２ｂ２－ａａ２２ｂａ１

ï１１ａ２２ïｘ(１１)

î２＝ａａ２１ｂ１－２１１１ａ２２

－ａ１２ａ１１ｂ２其中:２１ａ１２

ａ１１＝∫π

０２

２

２

ａ１２π０

２

２

＋ｋ２

ｃｏｓ２

φｄφ

ｂ１

＝ｑｂ∫ｓｉｎφ＋ｋｃｏｓφｄφ

＝ｂ２ｓｉｎφ

ｓｉｎφ２

∫π

ｋ[∫φ

２

０

０

(ｓｉｎφ－ｓｉｎα)×

􀅰黄开志ꎬ等:均布自重下椭圆环的内力和位移分析

ｓｉｎ２α＋ｋ２ｃｏｓ２αｄα

]×

ａｓｉｎ２

φ＋ｋ２

ｃｏｓ２

φｄφ

２１＝π

０

２

ｓｉｎ２φ＋ｋ２ｃｏｓ２φｄａ２２＝∫ｓｉｎφｂπ０

４

２

φ＋ｋ２

２

ｂ２

∫２

∫２ｓｉｎ２φφ

π

ｓｉｎｃｏｓφｄφ

＝ｑｂｋ[∫φ

２

０

０(ｓｉｎφ－ｓｉｎα)×

ｓｉｎ２α＋ｋ２ｃｏｓ２αｄα]ｓｉｎ２

φ

ｓｉｎ２φ＋ｋ２ｃｏｓ２φｄφ

２

×

１.１.２　将式在图位移

(１１)代入式(８)ꎬ可求得内力ꎮ

３所示单位载荷下的内力图中ꎬＰ截面分

１别虚加单位载荷时ꎬＦｘ(φ)＝１ꎬＦｙ(φ)＝１和Ｍｅ(φ)＝

ì在离心角为ïï

Ｍθ的Ｑ截面引起的弯矩ꎬ依次为:

ｘíï

Ｍ(θ)＝ｋｂ(ｓｉｎφ－ｓｉｎθ)ｙîＭ(θ)＝－ｂ(ｃｏｓφ－ｃｏｓθ)(１２)

ｅ

式中ꎬθ∈(θ)[φ＝ꎬπ]－１ꎮ

图３　单位载荷下的内力图

由单位载荷法ꎬ结合式(３)(８)(１２)ꎬ计算位移:

ìïï

Δｘ(φ)＝πＭφ􀭺ｘ(θ)ＭＥＩ(θ)ｄｓ(θ)ïí∫ï

Δｙ(φ)＝πＭφ􀭺ｙ(θ)Ｍ(θ)ｄｓ(θ)(１３)ïＥＩïΔ∫

îｅ(φ)＝∫

πＭφ􀭺ｅ(θ)ＭＥＩ

(θ)ｄｓ(θ)１.２　开口椭圆环

若椭圆环在Ａ截面开口ꎬ则据式(６)计算总内力ꎬ将式(６)代入式(１３)ꎬ即可得位移ꎮ

２　算例及结果分析

令椭圆环的水平轴与铅垂轴之比为ｋꎮ若ｋ＝

２ꎬ纲化内力图借助Ｍａｐｌｅꎬ由式１８ꎬ由式(１３)(６)可得图(８)可得图５所示无量纲化位４所示无量移图ꎮ

图４　ｋ＝２时无量纲化内力图

图５　ｋ＝２时无量纲化位移图

根据表１和表２所示内力和位移分析ꎬ得出以下主要分析结果ꎮ

表１　ｋ＝２时的内力分析

Ｍ(φ)/ｑｂ２

ＦＮ(φ)/ｑｂＦＳ(φ)/ｑｂ极值点１.８２π０１.９４１.１７π闭环

极值２.２６

－４.１４

１.３８

－３.０７

２.３４

－４.８４

零点０.７７ꎬ２.６１１.０００ꎬ１.８２极值点π∕２π０ꎬπ１.６７０.９８π开环

极值２.０８

－５.５２

０

－２.４７１.４０

－４.８４

零点

０ꎬ２.４１０ꎬπ

０ꎬπ∕２

􀅰１１１􀅰

黄开志ꎬ等:均布自重下椭圆环的内力和位移分析

表２　ｋ＝２时的位移分析

Δｘ(φ)∕

极值点闭环

极值零点极值点开环

极值零点

π０

ππ０

ππ∕２－５.２４

０３.８８

π

ｑｂ４ＥＩ０－４.４８

Δｙ(φ)∕１.６９０.９５

０ꎬπ

π０ｑｂ４ＥＩ０ꎬπ０

Δｅ(φ)∕２.６２１.９６

ｑｂ３ＥＩ０.７９－１.３２

参考文献

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报ꎬ１９９１(４):１１６－１２２.１１１－１１５.

０ꎬ１.７０ꎬπ２.４３３.４９

０ꎬπ

０ꎬπ０

极值较大ꎬ二者在底部可取得相同的剪力极值ꎮ在水平轴上ꎬ二者的弯矩相同ꎬ轴力也相同ꎮ

(２)闭环的３个位移极值均小于开环ꎮ沿铅垂

(１)和开环相比ꎬ闭环的弯矩极值较小ꎬ但轴力

轴的位移方面ꎬ闭环和开环在顶部相同ꎬ且闭环在该处取得极值ꎬ开环在水平轴上取得极值ꎻ沿水平轴的位移方面ꎬ开环在顶部取得极值ꎻ角位移方面ꎬ二者在顶部的转角均为０ꎮ

由于没有考虑轴力和剪力对位移的影响ꎬ故计算结果略小于实际值ꎮ

ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＩｎｔｅｒｎａｌＦｏｒｃｅａｎｄＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｏｆＥｌｌｉｐｔｉｃａｌＲｉｎｇ

ｕｎｄｅｒＵｎｉｆｏｒｍＳｅｌｆ－Ｗｅｉｇｈｔ

Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｏｆｇｒａｖｉｔｙｃｅｎｔｅｒꎬｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｓｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｉｎｔｅｒｎａｌｆｏｒｃｅａｎｄｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｂｏｔｈｃｌｏｓｅｄｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｒｉｎｇａｎｄｏｐｅｎｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｒｉｎｇａｔｔｏｐａｒｅｄｅｒｉｖｅｄｂｙｍｅｔｈｏｄｏｆｅｎｅｒｇｙ.Ｔａｋｉｎｇｔｈｅｅｌｌｉｐｔｉｃｒｉｎｇｗｉｔｈａｒａｔｉｏｏｆ２ｂｅｔｗｅｅｎｈｏｒｉｚｏｎｔａｌａｘｉｓａｎｄｖｅｒｔｉｃａｌａｘｉｓａｓａｎｅｘａｍｐｌｅꎬｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓｉｎｔｅｒｎａｌｆｏｒｃｅｄｉａｇｒａｍａｎｄｄｉｓ￣ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔａｒｅａｌｌａｎａｌｙｚｅｄ.Ｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓａｒｅａｓｆｏｌｌｏｗｓ:Ｅｘｔｒｅｍｅ－ｖａｌｕｅｏｆｂｅｎｄｉｎｇｍｏｍｅｎｔｏｆｃｌｏｓｅｄｅｌｌｉｐｔｉ￣(ＳｃｈｏｏｌｏｆＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬＣｈｏｎｇｑｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙꎬＣｈｏｎｇｑｉｎｇ４０１３３１ꎬＣｈｉｎａ)

ＨＵＡＮＧＫａｉｚｈｉ　ＣＨＥＮＸｉａｏｌｉａｎｇ　ＺＨＡＮＧＬｏｎｇ　ＺＨＥＮＧＨｅｎｇｗｅｉ　ＬＩＤｉｎｇｙｕ

ｐｌａｃｅｍｅｎｔｄｉａｇｒａｍａｒｅｄｒａｗｎｏｕｔ.Ｔｈｅｚｅｒｏ－ｐｏｉｎｔꎬｅｘｔｒｅｍｅ－ｐｏｉｎｔꎬａｎｄｅｘｔｒｅｍｅ－ｖａｌｕｅｂｏｔｈｉｎｔｅｒｎａｌｆｏｒｃｅａｎｄｃａｌｒｉｎｇｉｓｓｍａｌｌｅｒｔｈａｎｔｈａｔｏｆｏｐｅｎꎬｂｕｔｅｘｔｒｅｍｅ－ｖａｌｕｅｏｆａｘｉａｌｆｏｒｃｅｉｓｌａｒｇｅｒｔｈａｎｔｈａｔｏｆｏｐｅｎꎬｂｏｔｈｏｂｔａｉｎｅｄｓａｍｅｅｘｔｒｅｍｅ－ｖａｌｕｅｏｆｓｈｅａｒａｔｂｏｔｔｏｍꎻａｔｈｏｒｉｚｏｎｔａｌａｘｉｓꎬｔｈｅｙｂｏｔｈｈａｖｅｓａｍｅｂｅｎｄｉｎｇｍｏｍｅｎｔａｎｄｓａｍｅａｘｉａｌｐｏｉｎｔꎬｗｈｉｌｅｅｘｔｒｅｍｅ－ｖａｌｕｅｏｆｏｐｅｎｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｒｉｎｇｉｓｏｂｔａｉｎｅｄａｔｈｏｒｉｚｏｎｔａｌａｘｉｓ.Ｉｎｔｅｒｍｓｏｆｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔａｌｏｎｇｈｏｒｉｚｏｎｔａｌａｘｉｓꎬｏｐｅｎｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｒｉｎｇｇｅｔｓｅｘｔｒｅｍｅａｔｔｏｐꎬｗｈｉｌｅｉｎｔｅｒｍｓｏｆａｎｇｕｌａｒｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔꎬｂｏｔｈｈａｖｅｚｅｒｏ－ｖａｌｕｅａｔｔｏｐ.

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｍｅｃｈａｎｉｃｓｏｆｍａｔｅｒｉａｌｓꎻｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｒｉｎｇꎻｓｅｌｆ－ｗｅｉｇｈｔꎻｍｅｔｈｏｄｏｆｅｎｅｒｇｙ

ｆｏｒｃｅ.Ｅｘｔｒｅｍｅ－ｖａｌｕｅｓｏｆｔｈｒｅｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓｏｆｃｌｏｓｅｄｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｒｉｎｇａｒｅａｌｌｓｍａｌｌｅｒｔｈａｎｔｈｏｓｅｏｆｏｐｅｎꎻｉｎｔｅｒｍｓｏｆｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔａｌｏｎｇｖｅｒｔｉｃａｌａｘｉｓꎬｔｈｅｙａｒｅｓａｍｅａｔｔｏｐꎬａｎｄｃｌｏｓｅｄｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｒｉｎｇｇｅｔｓｅｘｔｒｅｍｅ－ｖａｌｕｅａｔｔｈｉｓ

􀅰１１２􀅰