专升本（高等数学一）模拟试卷27 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题
1． 设函数为( )． A．0 B．1 C．2
D．不存在
正确答案：D
解析：本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系． 由于f(x)为分段函数，点x=1为f(x)的分段点，且在x=1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极
限．
2． 设f(x)在点x0处连续，则下列命题中正确的是( )． A．f(x)在点x0必定可导 B．f(x)在点x0必定不可导 C．
必定存在
D．可能不存在
正确答案：C
解析：本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系． 函数f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0必连续． 函数f(x)在点x0连续，则必定存在． 函数f(x)在点x0连续，f(x)在点x0不一定可导． 函数f(x)在点x0不连续，则f(x)在点x0必定不可导． 这些性质考生应该熟记．由这些性质可知本例应该选
C．
3． 等于( )．
A．2 B．1 C．1/2 D．0
正确答案：D
解析：本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小性质． 注意：极限过程为x→∞，因此 不是重要极限形式!由于x→∞时，1/x为无穷小，而sin2x为有界变量．由无穷小与有界变量之积仍为无穷小的性质可知
4． 设函数y=f(x)的导函数，满足f’(-1)=0，当x＜-1时，f’(x)＜0；x＞-1时，f’(x)＞0．则下列结论肯定正确的是( )．
A．x=-1是驻点，但不是极值点 B．x=-1不是驻点 C．x=-1为极小值点 D．x=-1为极大值点
正确答案：C
解析：本题考查的知识点为极值的第一充分条件． 由f’(-1)=0，可知x=-1为f(x)的驻点，当x＜-1时，f’(x)＜0；当x＞-1时，f’(x)＞1，由极值的第一充分条件可知x=-1为f(x)的极小值点，故应选
C．
5． 设函数f(x)=2sinx，则f’(x)等于( )． A．2sinx B．2cosx C．-2sinx D．-2cosx．
正确答案：B
解析：本题考查的知识点为导数的运算． f(x)=2sinx， f’(x)=2(sinx)’=2cosx， 可知应选
B．
6． 设f(x)为连续函数，则等于
( )．
A． B． C． D．
正确答案：D
解析：本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公
式．
可知应选
D．
7． 方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是( )． A．椭球面 B．圆锥面
C．旋转抛物面 D．柱面
正确答案：C
解析：本题考查的知识点为二次曲面的方程． 将x2+y2-z=0与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选
C．
8(
．
设
z=ln(x2+y)
，
则
)
等
于．
A．
B． C． D．
正确答案：A
解析：本题考查的知识点为偏导数的计算． 由于
故知应选A．
9． 设区域
，将二重积分
在极坐标系下化为二次积分为
(
)
．
A． B． C． D．
正确答案：A
解析：本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分． 由于在极坐标系下积分区域D可以表示为 0≤θ≤π，0≤r≤a． 因此
故知应选
A．
10
．
设
( )．
A．必定收敛 B．必定发散
C．收敛性与a有关
D．上述三个结论都不正确
正确答案：D 解
析：
填空题 11．
正确答案：0
解析：本题考查的知识点为无穷小的性质．
12．
正确答案：2 解析：本题考算
查的知识点为极限的
运．
13．
正确答案：
解析：本题考查的知识点为函数商的求导运算． 考生只需熟记导数运算的法则
14．
正确答案：2
解析：本题考查的知识点为二阶导数的运算． f’(x)=(x2)’=2x， f”(x)=(2x)’=2．
15．
正确答案：
解析：本题考查的知识点为定积分的换元
法．
16．
正确答案：2x+3y
解析：本题考查的知识点为偏导数的运算． 由于z=x2+3xy+2y2-y，可得
17
．
正确答案：F(sinx)+C
解析：本题考查的知识点为不定积分的换元法． 由于∫f(x)dx=F(x)+C，
令u=sinx，则du=cosxdx，
18． 幂级数的收敛半径为______．
正确答案：0
解析：本题考查的知识点为幂级数的收敛半径． 所给幂级数为不缺项情
形 0．
因此收敛半径为
19． 微分方程y’+9y=0的通解为______．
正确答案：y=Ce-9x
解析：本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程． 分离变量
两端分别积分
lny=-9x+C1，y=Ce-9x．
20． 曲线y=x3-6x的拐点坐标为______．
正确答案：(0，0)
解析：本题考查的知识点为求曲线的拐点． 依求曲线拐点的一般步骤，只需 (1)先求出y”． (2)令y”=0得出x1，…，xk． (3)判定在点x1，x2，…，xk两侧，y”的符号是否异号．若在xk的两侧y”异号，则点(xk，f(xk)为曲线y=f(x)的拐点． y=x3-6x， y’=3x2-6，y”=6x． 令y”=0，得到x=0．当x=0时，y=0． 当x＜0时，y”＜0；当x＞0时，y”＞0．因此点(0，0)为曲线y=x3-6x的拐点． 本题出现较多的错误为：填x=0．这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚．拐点的定义是：连续曲线y=f(x)上的凸与凹的分界点称之为曲线的拐点．其一般形式为(x0，f(x0))，这是应该引起注意的，也就是当判定y”在x0的两侧异号之后，再求出f(x0)，则拐点为(x0，f(x0))． 注意极值点与拐点的不同之处!
解答题
21． 设y=x2+sinx，求y’．
正确答案：由导数的四则运算法则可知 y’=(x+sinx)’=x’+(sinx)’=1+cosx．
22． 求曲线
的渐近线．
正确答案：由于 可知y=0为所给曲线的水平
渐近线． 由于 ，可知x=2为所给曲线的铅直渐近线．
解析：本题考查的知识点为求曲线的渐近线． 注意渐近线的定义，只需分别研究水平渐近线与铅直渐近线： 若
，则直线y=c为曲线
y=f(x)的水平渐近线； 若，则直线x=x0为曲线y=f(x)的铅直
渐近线． 有些特殊情形还需研究单边极限． 本题中考生出现的较多的错误是忘掉了铅直渐近线．
23． 计算不定积分 正
确
答
案
：
解
：
解析：本题考查的知识点为不定积分运算． 只需将被积函数进行恒等变形，使之成为标准积分公式形式的函数或易于利用变量替换求积分的函数．
24． 设z=z(x，y)由x2+y3+2z=1确定，求
正确答案：
解析：本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数． 若z=z(x，y)由方程
F(x，y，z)=0确定，求z对x，y的偏导数通常有两种方法： 一是利用偏导数
公式，当需注意F’x，F’yF’z分别表示F(x，
y，z)对x，y，z的偏导数．上面式F(z，y，z)中将z，y，z三者同等对待，各看做是变元． 二是将F(x，y，z)=0两端关于x求偏导数，将z=z(x，y)看作
为中间变量，可以解出同理将F(x，y，z)=0两端关于y求偏导数，将z=z(x，
y)看作中间变量，可以解出
25． 计算 正
确
答
案
，其中区域D满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0． ：
积
分
区
域
D
如
图
2-1
所
示． 可
以
表
解法1 利用极坐标系． D示
为
：
解法2 利
用直角坐标系． D可以表示为：
解析：本题考查的知识点为计算二重积分；选择积分次序或利用极坐标计算．
26． 求由曲线y=3-x2与y=2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形
绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．
正确答案：所给曲线围成的平面图形如图
1-3所
示． 解法1 利用定积分求平面图形
的面积． 由于的解为x=1，y=2，可得
解法2 利用二重积分求平面图形面积． 由于 的解为x=1，y=2，
求旋转
体体积与解法1同．
解析：本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积． 本题也可以利用二重积分求平面图形的面积．
27． 求
正确
，其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0，x=0，x=1所围成．
答
案
：
积
分
区
域
D
如
图
1-4
所
示． D可以表示为 0≤x≤1，0≤
y≤1+x2．
解析：本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序． 如果将二重积分化为先对x后对y的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序．
28． 将f(x)=ln(1+x2)展开为x的幂级数． 正确答案：由于
因此
解析：本题考查的知识点为将函数展开为幂级数． 考试大纲中指出“会
运用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，的麦克劳林展开式，将一些简单的初等函数
展开为x或(x-x0)的幂级数．”这表明本题应该将ln(1+x2)变形认作ln(1+x)的形式，利用间接法展开为x的幂级数． 本题中考生出现的常见错误是对ln(1+x2)关于x的幂级数不注明该级数的收敛区间，这是要扣分的．