Gamma函数的几个性质

科　孙德奇文Ｉ化Ｉ教Ｉ育　Ｇａｍｍａ函数的几个性质　孙鑫淼　（河南省农业经济学校，河南洛阳４７１００２）　摘要：给出Ｇａｍｍａ函数的几种定义及其与其它特殊函数的关系，讨论了它的一些性质。　关键词：Ｇａｍｍａ函数；性质　１定义Ｇａｍｍａ函数Ｆ（ｚ）是一个含参变　（３）Ｆ（ｘ＋１）＝ｘＦ（ｘ）；　在【ａ，ｂ】上一致收敛，于是　＝　量的定积分，定义如下　（４）Ｆ（ｎ＋１）＝ｎ！；　Ｆ（Ｚ）＝Ｉ　ｄｔ　Ｒｅ　ｚ＞Ｏ　（５　ｉ—　：　孚ｚ（ｚ＋１）…（ｚ＋ｎ）；　【ｌｎ（ｎ＋１）一ｌｎｎ—　１１，即性质２得证。　．＾１７３０年瑞士数学家Ｌｅｏｎｈａｒｄ　Ｅｕｌｅｒ在写　（６）Ｆ（ｚ）Ｆ（１－ｚ）＝＿　一性质３：当ｘ≥　时，Ｆ（１＋ｘ）单调上　给歌德的一封信中首次给出了Ｇａｍｍａ函　Ｓ¨ｌ　ｎｚ　（ｚ隹ｚ）；　升；当Ｏ＜ｘ￣／ｏ时，Ｆ（１＋ｘ）单调下降。　数的定义［ｔｌ。　（７）ｒ（　＋　）：　．　ｖ　。　通过变量代换，Ｇａｍｍａ函数也可表为：　证明：参看文献［Ｉ１ｏ　其中：Ｔｏ＝０．４６１６３２１…。此即为方程ｘＥ　ｒ（ｘ）ｆ　（一ｌｏｇｔ）“ｄｔ　性质２：对Ｘ∈［ａ，ｂ］，且ａ，ｂ＞０为常　Ｅｕｌｅｒ在１７２９年写给歌德的另一封信　数，则：　壶　＝ｐＤ的根。　中给出了Ｇａｍｍａ函数的一个等价定义：　证明：易知Ｆ（１＋ｘ）与ｌｎｒ（１＋ｘ）具有　设ｘ＞０，令　ｄｘ　：　一　【１　（“”　＋１）＿Ｉ”　ｎ　一　“　相同的单调性，令：　ｒｐ（ｘ。　）＝　Ｘ告　、ｘ十ｌ，…～Ｘ十Ｄ，　＝　１】　＝　＝｝　由性质１知：　Ｐ＝　一——　ｘ（１＋）【，１）…（１＋ｘ／ｐ）　证明：由于ｒ（ｘ）＝　＿　ｌｉｆ｛【１＋　１一ｌ　‘Ｐ（１＋ｘ）：‘Ｐ（ｘ）　１，‘ｐ（ｘ）一！＋ｌｉｍ　则ｒ（ｘ）＝ｌｉｍＦ。（ｘ）　：。ｘ—［１＋１１　Ｉ】　和Ｇａｍｍａ函数密切相关的是所谓的Ｐｓｉ　｛Ｉｎｎ－　１’　函数：　定义：　ｉ函数（亦称Ｄｉｇａｍｍａ函数）记　于是ｒ（１＋ｘ）＝】【ｒ（ｘ）＝【【１＋　】　而ｐｏ　ｌ　ｉａｒ。　。为ＩＩ，（ｘ），是ｒ（ｘ）的对数微商。即　｛互　＿ｌｎｎＪ为欧拉常数，所　［１＋ｎ－－］　｝１　以有：　Ｉｌ，ｘ）＝　（１　（ｘ））＝｝　　‘Ｐ（１＋ｘＪ　ｔｉ　ｍ　｛Ｉｎｎ－ｉ＋ｘ　１＝ｌｉ　ｍ　｛Ｉｎｎ—　显然，　由于１ｎｒ（１＋ｘ）＝　【１＋｝】－ｌｎｎ—＋■　ｉ　一＇ｎ—’∞　一ｌｏｇＦ　ｘ）：ｌｏｇｘ＋Ｔｘ　ｎ∑［１ｏｇ（　幸）一　【１　１１　毫÷一　毫击，＝ｘ熹击一阳　ｘ】　’　令：函数ｆ（ｘ，ｎ）＝】【ｌｎ【１　１】一ｌｎ【１＋　令：‘Ｐ（１＋ｘ）－－０，即得如下方程：ｘ∑　对上式两边求导数可得：　】　＝　ｃ　一击　易知：　击＝ｐ０，由于　ｉ　一致收敛且　＝ｌｎ［１＋｝】一上ｎ＋ｘ　单调递增，故方程有唯一解　，我们通过牛顿　ｘ≠０，１，２　迭代法解得此方程的根为：Ｔｏ＝Ｏ．４６１６３２１…，　对于任意给定的正整数ｘ，这些级数收敛　是连续的，同时由中值定理，存在Ｏ（　‘　于是性质３得证。　是很慢的。　１，使得　参考文献　对上式连续求导数可得：　耋；ｌ　Ｉｎ　ｃｎ＋　，　ｎ击｝＝主１……　ｎ　　［１】王竹溪，郭敦仁．特殊函数概论【Ｍ】．北京：　ｔｌ，　ｘ）＝　耻＝　ｎＩ科学出版社．１９７９．　！　Ｄ厶（ｘ　ｐ）　Ｉ志一上ｎ＋ｘ　ｌ＿熹　ｃ主　Ｉｌ，（『｝（ｘ）　Ｉｎ！Ｄ∑　（ｎ＋０　（ｎ＋ｘ）’　函数　（ｘ）　（ｎ＝ｌ，２…）称为　而　高　１，Ｐｏｌｙｇａｍｍａ函数。可以看出：　（ｘ）＞０，ｘ＞０。　。砉　收敛，故　因此，Ｐｓｉ函数在（０，。。）上是严格单调递增　的。ｒ函数在（０。。）上是严格对数凸的。　。∑ｌ　一致收敛，又ａ＜ｘ≤ｂ＇所　２　Ｇａｍｍａ函数的一些性质及证明　性质１：　以由阿贝尔判别法知：　荟　一　（１）如果（０，　）上的函数ｆ满足：ｌｏｓｆ　致收敛。　（ｘ）是凸的，ｆ（１）＝１和ｆ（ｘ＋１）＝ｘｆ（ｘ），　那么ｆ恒等于ｒ；　再由引理２知　ｉ１ｎ（ｎ＋１）一ｌＩ１ｎ一　１　（２）Ｆ（１）＝ｆ　ｅ－＇ｄｔ＝ｌ，Ｆ（１／２）＝、／　；　－１８Ｏ－