互动型数学课堂学习模式的实践与研究

互动型数学课堂学习模式的实践与研究

萧山三中 朱建虎

一、问题的提出

(一)、课堂教学中师生互动存在的问题

1、形式单调，多师生间互动，少生生间互动。

课堂互动的主体由教师和学生组成，但学生作为课堂互动双方中的一方时，可以学生全体、学生小组、学生个体三种身份出现。这样课堂中的师生互动可组成多种形式。而实际课堂教学中，我们目前所采用的主要是教师与学生全体，教师与学生个体的互动，而教师与学生小组、学生个体与个体、群体与个体、群体与群体等多向主体互动严重缺乏。据有关调查发现，在87%的课堂教学中，学生间的交往互动所占的时间仅为13.5%。在课堂上，学生之间的关系比任何其它因素对学生学习的成绩、社会化和发展的影响都更强有力。因此，充分开发和利用教学中的人力资源，加强生生之间的互动，可把教学建立在更广阔的交流背景之上，为课堂教学注入新的活力。

2、 内容偏颇，多认知互动，少情意互动和行为互动。

师生互动作为一种特殊的人际互动，其内容也应是多种多样的。一般把师生互动的内容分为认知互动、情意互动和行为互动三种，包括认知方式的相互影响情感、价值观的促进形成，知识技能的获得，智慧的交流和提高，主体人格的完善等等。但由于现行的课堂教学以知识掌握为主要目标，把情感态度的形成等目标视为促进认知的辅助性目标，因而课堂上缺乏与学生真诚的内心沟通，缺乏与学生真挚的情感交流；更不舍得花时间让学生交换意见，发出和体验彼此的心声；舍不得花时间让学生展示个性化的学习方式，借鉴和研究彼此的长处。于是，课堂互动主要体现在认知的矛盾发生和解决过程上，而严重缺乏心灵的美化、情感的升华、人格的提升等过程。

3、深度不够，多浅层次互动，少深层次互动。

在课堂教学互动中，我们常常听到教师连珠炮似的提问，学生机械反应似的回答，这一问一答看似闹忙，实际上，此为“物理运动”，而非“化学反应”，即缺乏教师对学生的深入启发，也缺乏学生对教师问题的深入思考；我们还常常看到，在学生对某一问题的回答中，有许多雷同与重复，缺乏激烈的辩论，少见强烈的反驳，此谓“无争论的统一，非真正的统一”。所有这些现象，反映出课堂的互动大多在浅层次上进行着，没有思维的碰撞，没有矛

.

.

盾的激化，也没有情绪的激动，整个课堂象一条孱孱溪流单线条前进，而没有大海似的潮起潮落，波浪翻涌。

4、 互动作用失衡，多“控制一服从”的单向型互动，少交互平行的成员型互动。在分析课堂中的师生角色时，我们常受传统思维模式的影响，把师生关系定为主客体关系。在这种关系中教师和学生不管是谁作主体、谁作客体，都是分离、对立的。于是师生互动也由此成为教师为主体或学生为主体与其客体之间的一种相对作用和影响。在学生主体地位尚未完全确立的许多课堂中，师生互动大多体现为教师对学生的“控制—服从”影响，教师常常作为唯一的信息源指向学生，在互动作用中占据了强势地位。而实际上在“人与人”的交往活动中，双方活动应是交互性的，非对立性的，教师应成为普通一员参与互动，与学生形成包容、共享的互动关系。 （二）课程改革强调师生互动

《基础教育课程改革纲要》非常鲜明地提出了“以提高国民素质为宗旨”，“突出培养学生的创新精神和实践能力”。《纲要》不仅提出了鲜明的培养目标，而且从“课程结构”“课程标准”“教学过程”等一系列的条文中，阐明了具体实施的原则和规定。例如“教学过程”，就强调指出教学过程是“师生交往、共同发展的互动过程”，明确是“互动”，那就不是“被动”；“互动”必然是“双向的”，而不是“单向的”。《纲要》还指出教师要“引导学生质疑、调查、探究”要“激发学生的学习积极性”“并学会学习”，数学教学的意义不只在于让学生听懂、了解，更重要的是让学生学会分析和研究，这就需要一个互动的教学过程。在课堂教学中提高师生之间的互动水平，让学生在课堂教学中感受分析、研究的过程，体会分析、研究的学习习惯，这就不是“听老师讲，跟老师学，把老师讲的、课本上学的记住，背熟”那种刻板的以记忆、重复为主的教学所能达到的。作为教师，应该努力创设适宜的教学情境，致力于调动学生学习的主动性、积极性，让学生就学习知识的过程中学会如何学习。 二、理论依据

1、互动型数学课堂的定义：“互动”从狭义来讲，指在一定社会背景和具体情景下，人与人之间发生的各种形式、各种性质、各种程度的相互作用和影响。互动型数学课堂，就是指在数学课堂教学这一时空内，师生之间、生生之间发生的一切交互作用和影响，它既指师生间、生生间交互作用和相互影响的方式和过程，也指师生间、生生间通过信息交换和行为交换所导致的相互间心理上、行为上的改变。

2、“主导——主体”教学理论

“主导——主体”教学理论的内涵就是在教学的展开进程中，要充分尊重学生的学习主

.

.

体地位，让学生对教学内容进行自主学习、自主思考，教师则在教学过程中起学习内容的选择、学习过程的组织、帮助和指导等主导性作用。

“主导——主体”教学的核心是要促进学习主体的有意义的学习，也就是要使得学习内容、知识与学习者原有认知结构中的某个方面（表象、概念、命题或图式）之间建立起稳定的、有逻辑的非任意联系，也就是要将外在客观事物的本质属性、规律、结构关系等，通过同化或顺应等建构过程，内化成学习者的认知结构，这种内化的认知结构能够指挥学习者的思考方式与行为方式。

“主导——主体”教学理论的重点在于教师要利用一切手段和方法，使得学生针对具体的学习内容进行思考，使其思维的广度扩大、深度加深，深层次的认知从教师脑海向学生脑海中迁移，在教师的诱导和帮助下，释放学习者主动性、学习的投入性、学习的创造性。

三、设计互动型数学课堂学习模式

数学课堂的教学活动应走向平等交流，教与学、师与生互动并结合，教只是为了引导学、促进学，学则更体现主动和自主。为了在课堂教学过程中，更好地实现教师与学生、学生与学生的合作、对话、碰撞，通过设计一种设计学习活动生成师生互动的学习模式，流程图见下图，该模式以设计学习活动为中心展开，活动中教师主导行为的目的在于生成师生互动以及生生互动，在互动中产生人与人的交流，从而实现知识建构。

学生活动 观察分析 尝试探索 交流讨论 整合总结 教学过程 情景展现 实践探索 评价生成 总结建构 教师活动 创设情景 指导探索 引导讲评 引导总结 四、互动型数学课堂学习模式的具体应用 (一)情境展现

生成需要一定的情境，在适宜的情境之下，学生会很自然地参与到教学实践中来。情境要能够引起学生的兴趣，吸引学生的注意力，激发学生的热情。在创设情境时教师有多种方式，教师可以设置问题情境，当然问题一定要适当，不可过难或者过易，而且问题要有生成的空间，一定不要只有一个标准答案的问题，否则就没有意义了。教师也可以激发学生自己创设问题情境，教师可以叙述一段材料或者口述一段故事让学生提问题。当然创设情境并不

.

.

只限于问题的方式，可以灵活创设，不拘—格。

（1）通过生活、生产实例来设置情境；

如在教学“概率”时我设计：“某班有n个人（n≤365），那么至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？”然后引入新课。又如，教学“二项式定理”时，我设计了“今天以后的第22003天是星期几？”问题，等等。这样创设引入教学情境，不但提高学生对数学的兴趣，钟爱数学，激发学习动机，以及学好数学的愿望。而且培养学生凭借已有的生活经验和已有的知识分析、解决实际问题的能力。

（2）通过数学发展的历史、数学体系形成的过程来设置情境； 如在“二面角的概念”教学中，可以这样设计情境性问题：

空间两条直线相交是通过什么量来刻画的？空间直线与某平面相交又是通过什么量来刻画的？若空间两平面相交又怎么来刻画呢？

首先让学生回忆所学知识：空间两条直线相交可以通过两条直线所成的角来刻画，空间直线与某平面相交可以通过线面所成的角来刻画。并借此启发学生，主动构建二面角。我觉得这个问题找到了新旧知识的“最佳组合点”，有能力发展点和创新精神培养点，同时还促成学生对空间角的体系的完善。

（3）通过数学故事、数学趣题、谜题来设置情境；

如在“余弦定理”教学中，我把荷兰问题作为情境性问题：

如果小张家离学校5千米，小李家离学校10千米，问小张家和小李家相距几千米？ 这个问题有趣味和魅力，能引起学生的思考和向学生提出智力挑战。题目表面上似乎是一道小学算术题。事实上，它的内涵很丰富，涉及到从自然数相加，有理数相减，圆的几何轨迹，点的距离，以至圆的参数表示，复数相减等许多数学知识。题目是开放的，又是可以演算的。条件可以由各人去添加，可依学生的数学修养如何而定。这一题目留给学生的空间很大，主动参与的余地较多，非常有启发性。我觉得这个问题有个性和创新精神培养点。

（4）利用问题探究创设情境

如在数列的应用学习中，老师设计了“实现你的汽车梦”这样一个探究性活动。假定拥有3万元的资金，怎样实现拥有价值13万的汽车梦？并给出了几种方案：存款购买、投资股市、贷款购买等。

.

.

学生通过合作学习、自主探究后，把各个方案进行了分析，建立数学模型，进行数据处理，形成了各自的研究报告。在整个活动中，学习了较难掌握的“复利”问题，掌握了数列的应用，并培养了能力，增强了合作意识和科学探究精神。

（5）通过教具模型、现代化教学手段来设置情境。

如在“等比数列前n项和”教学中，某教师设计的情境性问题是：

（1）如果有一只象教室一样大的空箱子，第一次将一支粉笔的一半放入空箱子内，第二次将剩余的一半再放入空箱子内，这样进行了100次，那么箱子会不会满？为什么？

（2）如果有一只象教室一样大的空箱子，第一次向箱子内放入1粒米，第二次向箱子内放入2粒米，以后每次放入的米粒数是上次的2倍，这样进行了100次，那么箱子会不会满？为什么？

这是一个通过游戏让学生体验模型化思想的情境性向题。它不但能培养学生的数学意识和数学建模能力，而且能揭示等比数列的本质。这个问题沟通了课本世界与生活世界之间的联系，有能力发展点、个性和创新精神培养点，有一定的教育价值。 (二)实践探索

学生根据自己原有的知识基础，通过分析、比较，对各种信息进行转换和组合，以形成假说。对自己提出的假设进行实验或操练，以期通过实验或操练对假设进行检验或获得某种基本规律或法则。在课堂上，我常从学生已有的知识出发，注意暴露学生原有思维框架中的缺陷或矛盾，真正领会到学习目标所在，再做进一步的探讨。例如: 双曲线ｘ／25－ｙ／144＝1上一点Ｐ到右焦点的距离是5，则下面结论正确的是（ ）．

教学时，我根据学生平时练习的反馈信息，有意识地出示如下两种错误解法： 错解1．设双曲线的左、右焦点分别为Ｆ1、Ｆ2，由双曲线的定义得 ｜ＰＦ1｜－｜ＰＦ2｜＝±10。 ∵｜ＰＦ2｜＝5，

∴｜ＰＦ1｜＝｜ＰＦ2｜＋10＝15，故正确的结论为Ｂ。 错解2．设Ｐ（ｘ0，ｙ0）为双曲线右支上一点，则

.

2

2

8 15

.

20

－ａ，由ａ＝5，｜ＰＦ2｜＝5，得ｅｘ0＝10，

∴｜ＰＦ1｜＝ｅｘ0＋ａ＝15，故正确结论为Ｂ。

然后引导学生进行讨论辨析：若｜ＰＦ2｜＝5，｜ＰＦ1｜＝15，则｜ＰＦ1｜＋｜ＰＦ2｜＝20，而｜Ｆ1Ｆ2｜＝2ｃ＝26，即有｜ＰＦ1｜＋｜ＰＦ2｜＜｜Ｆ1Ｆ2｜，这与三角形两边之和大于第三边矛盾，可见这样的点Ｐ是不存在的．因此，正确的结论应为Ｄ。

进行上述引导，让学生比较定义，找出了产生错误的在原因即是忽视了双曲线定义中的条件，所以除了考虑条件｜｜ＰＦ1｜－｜ＰＦ2｜｜＝2ａ，还要注意条件ａ＜ｃ和｜ＰＦ1｜＋｜ＰＦ2｜≥｜Ｆ1Ｆ2｜。

通过上述问题的辨析，不仅使学生从原有的思维缺陷中跳出来，增强了做题的经验，更主要地是能使学生参与讨论，在讨论中自觉地辨析正误，取得学习的主动权。 (三)评价生成

师生进入了情境之后，必然要发生师生以及生生之间的交往互动。听谓的有效生成是相对于虚假生成而言的，在很多情况下存在着貌似生成而非实质性生成的情况，这里有效生成的含义是真正的真实的生成。

1．教师要注意营造平等交流的氛围。教师有与学生不平等的，或者某些学习好的学生独霸了话语权，那么课堂就无法生成。平等包括师生之间以及生生之间的平等，不仅有人格上还有行为上的平等。在平等和谐的氛围中，师生才能共同发展。

2．教师要注意与学生之间的反馈。教师与学生之间平等并不等于学生至上，笔者反对走极端地强调某一方面的重要性的做法。学生有和教师交流的需要，教师同样需要和学生交流，教师通过获得学生的反馈信息能更清楚地掌握学生的情况，因此教帅要注意和学生之间的反馈，在获得来自学生的信息的同时，向学生提供自己的看法、意见等，由于年幼学生在很多方面不成熟，作为成人的教师在学习方法以及情感生成等方面必须给予学生积极的反馈。 3．教师要注意学生与学生之间的反馈。学生与学生之间由于年龄相近，心理发展程度相仿，并且同处于同龄团体的特有的文化中，在交流时会产生与教师交流不同的效果。因此，教师决不能忽视学生与学生之间的互动。在互动的形式方面，教师可以组织学生采用小组合作学习等形式。这样既有利于学生与学生之间的互动、生成，同时也利于培养学生的社会性角色以及情感等。

.

.

(四)总结建构

教学是一个永无终结的过程。教与学相依相伴永无穷尽——但每一节课是一个相对的时间单位。如果拿一节课作为时间单位，那么创设情境一般发生在一节课之始，而反馈互动则发生在一节课之中，显然引导总结处于一节课之未了。但是这个时间顺序不是固定不变的，而且每一个阶段又可能同时包含着这四个方面。 五、设计互动型数学课堂学习的策略

（一）、准确把握课程标准，了解学生实际学习需要

生成并不是盲目性地生成，它需要教师科学地分析，灵活地引导。生成需要多种条件，但是一个最为基本的、前提性的条件就是学生现有的学习水平，这是生成的基点，也是生长点。生成是在学生已有基础上的生成，如果超过了这个基点就可能生成不了，若低于这个生长点生成也就无所谓生成了。出现这两种情况师生都不可能得到发展，生成也就无从谈起。对于如何了解学生现有发展水平，本文提供几点建议：

1．教学前了解学生。备课，教师不仅仅要钻研教材，了解课程标准，还必须充分了解自己的教育对象，在教学前了解学生能够使教师在进行本节课宏观设计的时候更具可行性。了解学生包括要了解学生的方方面面，本班学生的整体的发展特点、学生的个体差异等。 2．教学中观察学生。教学过程中也能够了解学生的水平。在目前大班额的教学条件下很多教师抱怨无法了解学生，其实，一个有心的教师可以在教学过程中走下讲台，看学生是怎样做的。学生们的行为表现能够为教师提供最真实的材料，以便了解学生的真实水平。这样可以在一定程度上克服大班额带来的困难。

3．教学后反思学生。教学之后要想了解学生的水平，教师还必须继续工作，反思学生课上的种种表现，看看能否从中得到一些普遍的东西，以便于下一次上课时能够更充分地 了解学生。教学后反思学生，教师可以对学生课堂上的表现进行反思，也可以学生的作业为反思材料。

（二） 进行增强互动的教学设计 1、设计发散性问题，扩大互动空间。

发散性问题应有很大的包容性和可选择性，它可让学生对解决问题作策略的选择、材料的选择、思路的选择，而不仅仅是对某一具体操作方法的选择；可让学生对解决问题的设计作多种假设与猜测，而不仅仅是按既定程序作一蹴即就的验证。当教师把发散性问题抛掷给

.

.

学生，就如把学生投置于一个偌大的陌生领域，学生可以放开手脚，但在茫然四顾之际又必须加强联系找到救生之路。此即为学生扩大了互动空间和互动需求。 2、引导学生提出问题，拓宽互动途径。

在教师的引导下，放手让学生提出问题。首先，有教师在旁引导，不至于偏离主题；第二，学生要能够提出某个针对性的问题，事先必然在头脑中综合相关的信息，这时培养他们的综合能力有不可低估的作用。同时，学生要将其头脑中的问题用恰当的数学语言表达出来，要让教师及同学理解，这有助于提高学生的数学语言表达能力；第三，学生自己提出的问题，通常就是他们自己有兴趣关注的问题，探索这些问题有利于下一个教学环节中保持学生研究问题的积极性。

例1、抛物线F按a(1,3)平移后，得到抛物线F的函数解析式为

'

y2(x1)23，求F的函数解析式。

问题情境创设：第一步，先根据题目板书：已知函数y2(x1)3和向量a(1,3) 第二步，让学生针对上述两个对象设计问题，并将问题板书在黑板上，典型问题如下：

①求抛物线顶点坐标或对称轴；

②求抛物线y2(x1)3的图象按向量a(1,3)平移后所得新图象的函数表达式；

③求函数的最小值；

④哪一个函数的图象按a(1,3)平移后的图象解析式为y2(x1)3； ⑤向量a(1,3)的坐标与抛物线顶点坐标是否相等。

在教学过程中先简要温习问题①、③，重点在于引导学生探究②、④、⑤等与向量相关的问题。然后完整展示例1的内容和要求并引导学生探索求解思路，完成解答。

例2、直线y2xm与抛物线yx相交于A、B两点 （请你添加条件），求直线l的方程。

学生的思维异常活跃，补充的条件形形色色，例如： ①AB5；

②若O是原点，AOB90；

.

2222.

③AB中点的纵坐标为6； ④AB过抛物线的焦点F； ……

涉及的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、抛物线的焦点坐标，两直线相互垂直的充要条件等等，学生提出问题和解决问题的能力得到了充分锻炼，课堂气氛非常融洽。

3、设计多向合作的学习活动，增加互动方式。

学生互动受性别、性格、空间位置等因素的影响。一般性别相同，空间位置较近的学生之间容易产生互动，互补型性格的学生之间也较易发生互动。适当遵循互动规律，有利于建立积极适宜的互动。高中学生适宜多设计四人组学习活动，增大互动的人际空间。在设计合作学习活动时，要兼顾到组与组之间的影响，教师对小组的影响，小组对成员个人影响，以此开发多种互动渠道。

例如，在上高二数学“二面角定义及其应用”时,我们用《几何画板》制作“二面角定义及其应用”课件， 教师在课件中将要发现的对象：“二面角概念”、“怎样度量二面角的大小”、“二面角的平面角概念”、“如何求作二面角的平面角”、“如何求二面角的平面角大小”、“已知二面角的大小，山路与水平面的角，和山路与山脚所成的角中的两个 ， 如何求第三个？”、“解决折叠问题的方法和规律是什么？”等隐藏在精心设计的、循序渐进的教学情境中，并放置在服务器上，由学生通过网络访问，让学生探索。学生利用数学实验室上的上述课件独自进行实验、猜测、推导、论证; 由学生在个人自主探索的基础上开展小组讨论、协商，教师帮助学生共同完成以上问题，并加以整理，然后教师启发性地回答解决学生的问题。这样一来，可以进一步完善和深化对主题——“二面角的概念及其平面角的求法”的意义建构，并通过不同观点的交锋，补充、修正、加深每个学生对当前问题的理解，使他们都能够体验由数学概念、公式、定理、思想、方法等的发现、发明和创造所带来的快感。

4、设计生活化、情境化、信息化的教学环境，丰富互动内容。

在生动、多样的教学环境中，学生可交流的话题增多，情感体验丰富，思路打得开，彼此间容易发生相互影响，往往会产生“触类旁通”之感，或“触一发动全身”的现象，感性上也容易产生沟通。所以课堂上除了老师准备丰富的材料、设计丰富的环境外，还要引导学

.

.

生收集各种信息资料，带到课堂上来，使课堂上的每个人都作为信息源，让学生在充斥信息的环境中接受多方刺激、发生互动。 （三） 提高教师的教学敏感性

教师既作为一方与学生群体、学生个体产生互动，同时又应该是课堂互动的者。因此，教师应提高教学敏感性，充分挖掘和利用课堂中的一切互动因素，调整互动、促进互动。

1、创造机制彰显学生真实的学习过程，促进互动。

课堂中，如果教师不注意引导，很多学生会由于害怕被别人发现错误而掩饰、遮盖自己真实的学习过程。有的学生本来有自己的想法却随大流人云亦云，有的学生本来有疑问也不敢提出来让大家讨论。于是原本一次深刻的思维碰撞机会就错过了，原本一次很好的情感交流机会也错过了。因此，老师可以跟学生共同创造一些课堂制度：如奖励发表异议的、鼓励大胆发言的、批评讥笑别人错误的等等，让每个学生都敢于暴露真实的思维、愿意表达真切的情感体验、大胆实施自己的学习策略，以促进生生间、师生间产生更广泛更深刻的互动。

2、捕捉并重组课堂信息，调整互动。

教学过程中，仍普遍存在着教师为实施自己的“教案”，为完成教学任务而漠视学生课堂表现的现象。往往在老师的不经意间，学生产生了一个典型的疑问、生出了一朵创新思维的火花，掠过一丝情感的变化，如果我们老师善于把这些细微之处流露出来的信息捕捉出来，加以重组整合，或许可以引发一场激烈的讨论，引起深刻的认同，广泛的共鸣，给下面的课堂带来一份精彩。

（四）培养学生的有关习惯与能力

1、耐心倾听的习惯。

倾听别人发言、理解别人是与人产生互动的前提。倾听别人发言的时候，就是学生理解别人的时候，也是学生把别人与自己比较、对照的时候。可是，现在课堂上常有学生不善于，没有耐心听别人发言。所以，在一位学生发言之后，经常叫另一学生复述别人的发言、概括别人的发言，有利于培养学生倾听的习惯。

2、善于表达的能力。

表达是否清晰、生动，对互动效果也有很大影响。要让学生明白发言的过程是跟全班同学交流的过程，所以要说得清楚、明白、生动。另外可要求学生从有条理到简洁再到有感情这样一步步提高表达能力。

3、善于反省的习惯和能力。

.

.

培养学生经常反省自己的真实思想过程，有利于学生找出自己与别人的差异，有利于学生在互动中扬长避短。做到“知己知彼”，是建立积极、健康互动的基础。

在关于课堂教学的研究中，我们多于对各种教学要素作思辨性的分析。但真实的课堂是一个具有时间、空间、人际间等多向维度的立体系统，其间充满了即时兴的、不确定的、无法预料的成份。所以，改变研究视角，直接对课堂的动态实况进行透视，可以帮助我们取得对课堂鲜活而全面的认识。

六、互动型数学课堂学习模式的具体教学案例（游戏机中的概率）

教师：在电视台及日常生活中我们经常可以看到如图1的弹球游戏，今天让我们一起用数学家的眼光来揭开它那神秘的面纱（课堂上一阵躁动，学生们深深地被这个话题吸引住了，课堂气氛顿时活跃起来，同学们露出好奇的眼光等待着老师的介绍）。

|● | ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● | A | B | C | D | E | F | G |图1

教师：弹球游戏是这样的：一个小球向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物，再等可能地向其两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得相应的奖品。 探索1

教师：为什么游戏店老板在A区设置奖品的价值高于D区？ （安静片刻，同学们七嘴八舌地议论开了） 学生1：按照游戏机上的说明书。 学生2：根据游戏店老板的经验。 （同学们大笑）

教师：刚才两位同学都说的对！其他同学有没有不同意见？

.

.

学生3：A区奖品价值高于D区奖品说明小球落入A区的可能性要比小球落入D区的可能性小。

教师：这位同学的回答基本上对了！但不够准确，下面我们一起来探索其规律。 小球要落入D区，只有如图2两种可能，由概率知识得

　　　 D1　 D2　　　●　　　●　　　●　 　 　●　 　●　　　 　　 　　　　 D　　　 　图2

P(D)= P(D1)

111+ P(D2)= [ P(D1)+ P(D2)]。 222就是说，小球落入D区概率等于D区间上两区域概率之和的二分之一。

11n1　　　　　　　　　　　22121n2　　　　　　　　　　　　4441331n3　　　　　　　　　　　　　8888141n4　　　　　　　　　　　　

161616161615101051n5　　　　　　　　　　　　　3232323232321615201561n6　　　　　　　　　　　　　　 A B C D E F G 图3由此不难求出小球落入A区和D区的概率：P(A)=与奖区设置相吻合。

到此同学们沉浸在成功的喜悦之中，兴奋之情溢于言表，接着老师拿出如图1的实际模具请5位同学上台演示，验证以上结论的合理（此时同学们踊跃上台，气氛推向高潮）。 思考一：一次游戏价格为3元的前提下，游戏商要尽可能多的获利，则以上奖品应如何放置？ 思考二：一次游戏价格为3元的前提下，如何设置以上奖品使得更吸引玩家？（小组讨论，

51，P(D)=。P(A)远小于P(D)，正好

16.

.

代表发言） 探索2

教师：游戏商提供的奖品如表格所示，为保证赢利，一次游戏的价格a（aN），最低定为多少？请你帮他设计一下。（假设事件发生的频率等于概率） 小球落点 A B C D E F G 奖品价值（元） 40 0 0 2 0 8 40 话音刚落，同学们相互间又讨论起来了，2~3分钟后。 学生4：游戏的价格即为获得奖品价值的数学期望。 教师：对，这位同学回答的相当好。（及时地加以表扬） 在黑板上，老师边听边写： 游戏的价格a4012061+2+8+40=2.625. 即：一次游戏的价格a（aN）最低定价为3元。 探索3

教师：为了吸引顾客，游戏商总是要不断地变换花样，为此，他推出如图4新游戏，要得到D区域的奖品，问：从入球口1还是入球口3投球获奖的可能性大？

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K |图4

（课堂上你一句，我一言，同学们又开始热烈地讨论起来了，相互间充满着浓浓的合作氛围） 学生5：从入球口1投球比入球口3投球获D区域的奖品可能性大。 教师：为什么？

学生5：猜的（一阵大笑）。

教师：其他同学有没有不同的意见？（这时一位同学自告奋勇地站了起来）

.

.

学生6：新游戏可以看作原游戏拼接出来，从入球口3投球得到D区域的概率实质上就是原游戏中B区域的概率P(B)=的概率小。

教师：对不对？（对的！全班同学几乎齐声说）

教师：这位同学回答得太好了！他抓住了新游戏实质，因此我们在平时要养成善于观察、善于分析，透过现象看本质，这样才不至于被新的、表面的东西所迷惑。

教师：Flash演示（此时，学生的思维空间打开了，求知欲望调动起来了，课堂又一次推向高潮）。思考：若你喜欢的奖品在F去，你应从哪一入口落球使得中奖的机会更大，若在I区呢？（小组讨论，代表发言） 探索4

教师：各区域概率中的分子（图3）有何特点？概率有何特点？ 学生7：分子与杨辉三角形完全一致，分别除以2就是概率。 教师：对！概率中的分子与二项式系数相同，即第n行第k个数为Ck1n，概率为

n

6，由上知从入球口3投球比从入球口1投球获得D区域奖品k1Cn。 n2这个结论是根据观察得到的，还需要证明，留到以后来证，有兴趣的同学可预习数学归纳法一节。

教师：在二项式这节中，二项式系数有一个很重要的性质，即：Cn+Cn+…+Cn=2。 这个结论可否用今天的知识加以证明，请大家思考一下（话音刚落，一位同学迫不及待地站了起来）。

学生8：小球落入底层是必然事件，且小球落入底层各个区域是互斥事件。

01nCnCnCn01nn由上知：小球落入底层的概率为P=n+n…+n=1，所以Cn+Cn+…+Cn=2。

22201nn教师：真棒！从这里我们可以看到在现代的游戏中体现着古老的数学知识。我们应为灿烂的古代文明而感到自豪，同时我们也应为现代文明做出贡献。

.

.

.