高中数学必修一函数大题(含详细解答)

高中函数大题专练

１、已知关于x的不等式(kxk4)(x4)0，其中kR。 ⑴试求不等式的解集A；

⑵对于不等式的解集A，若满足A。试探究集合B能否为有ZB（其中Z为整数集）

限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由。

2

２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。

① 对任意的x[0,1]，总有f(x)0；

② 当x10,x20,x1x21时，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立。 已知函数g(x)x与h(x)a21是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由； （2）若函数h(x)是G函数，求实数a的值；

（3）在（2）的条件下，讨论方程g(21)h(x)m(mR)解的个数情况。

x2x1. 2|x| （1）若f(x)2，求x的值；

3.已知函数f(x)2x（2）若2tf(2t)mf(t)0对于t[2,3]恒成立，求实数m的取值范围.

11,x0;4.设函数f(x)是定义在R上的偶函数.若当x0时，f(x) x0,x0.（1）求f(x)在(,0)上的解析式.

（2）请你作出函数f(x)的大致图像.

（3）当0ab时，若f(a)f(b)，求ab的取值范围.

（4）若关于x的方程f(x)bf(x)c0有7个不同实数解，求b,c满足的条件.

5．已知函数f(x)a2b(x0)。 |x| （1）若函数f(x)是(0,)上的增函数，求实数b的取值范围；

（2）当b2时，若不等式f(x)x在区间(1,)上恒成立，求实数a的取值范围； （3）对于函数g(x)若存在区间[m,n](mn)，使x[m,n]时，函数g(x)的值域也是

[m,n]，则称g(x)是[m,n]上的闭函数。若函数f(x)是某区间上的闭函数，试探

求a,b应满足的条件。

6、设f(x)

求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f(x)ax2bx，

的定义域和值域相同。

7．对于函数f(x)，若存在x0R ，使f(x0)x0成立，则称点(x0,x0)为函数的不动点。 （1）已知函数f(x)axbxb(a0)有不动点（1，1）和（-3，-3）求a与b的值； （2）若对于任意实数b，函数f(x)axbxb(a0)总有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）若定义在实数集R上的奇函数g(x)存在（有限的）n 个不动点，求证：n必为奇数。

8．设函数f(x)x221，(x0)的图象为C1、C1关于点A（2，1）的对称的图象为C2，xC2对应的函数为g(x).

（1）求函数yg(x)的解析式；

（2）若直线yb与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标.

9．设定义在(0,)上的函数f(x)满足下面三个条件：

①对于任意正实数a、b，都有f(ab)f(a)f(b)1； ②f(2)0；

③当x1时，总有f(x)1. （1）求f(1)及f()的值；

（2）求证：f(x)在(0,)上是减函数.

10． 已知函数f(x)是定义在2,2上的奇函数，当x[2,0)时，f(x)tx常数）。

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）当t[2,6]时，求f(x)在2,0上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在0,2上的单调递增区间（不必证明）；

（3）当t9时，证明：函数yf(x)的图象上至少有一个点落在直线y14上。

1213x（t为2

11.记函数fx2x7的定义域为A，gxlg2xbax1b0,aR的定x2义域为B，

（1）求A： （2）若AB，求a、b的取值范围

12、．对于在a,b上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x[a,,b]，均有

1f(x)g(x)1，则称f(x)与g(x)在a,b上是接近的，否则称f(x)与g(x)在

a,b上是非接近的.现在有两个函数

f(x)logt(x3t)与

g(x)logt(1)(t0且t1)，现给定区间[t2,t3]. xt1(1)若t，判断f(x)与g(x)是否在给定区间上接近；

2(2)若f(x)与g(x)在给定区间[t2,t3]上都有意义，求t的取值范围； (3)讨论f(x)与g(x)在给定区间[t2,t3]上是否是接近的.

13．集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：

(1) 函数f(x)的定义域是[0,)； (2) 函数f(x)的值域是[2,4)；

(3) 函数f(x)在[0,)上是增函数．试分别探究下列两小题：

（Ⅰ）判断函数f1(x)x2(x0)，及f2(x)46()x(x0)是否属于集合A？并简要说明理由．

（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)f(x2)2f(x1)，

是否对于任意的x0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．

14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=212f(x)(x0)

f(x)(x0)（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)表达式。

（2）在（1）的条件下,当x2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。 （3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。

15．函数f(x)=

x(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。

axb(1)求a、b的值；

(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。

函数大题专练答案

１、已知关于x的不等式(kxk4)(x4)0，其中kR。

。试探究集合B能否为有ZB（其中Z为整数集）

限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由。

4解：（1）当k0时，A(,4)；当k0且k2时，A(,4)(k,)；

k当k2时，A(,4)(4,)；（不单独分析k2时的情况不扣分）

4当k0时，A(k,4)。

k（2） 由（1）知：当k0时，集合B中的元素的个数无限；

当k0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集。

4因为k4，当且仅当k2时取等号，

k所以当k2时，集合B的元素个数最少。

此时A4,4，故集合B3,2,1,0,1,2,3。

２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。

① 对任意的x[0,1]，总有f(x)0；

② 当x10,x20,x1x21时，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立。 已知函数g(x)x与h(x)a21是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由； （2）若函数h(x)是G函数，求实数a的值；

（3）在（2）的条件下，讨论方程g(21)h(x)m(mR)解的个数情况。 解：（1） 当x0,1时，总有g(x)x0，满足①，

2x2x2⑴试求不等式的解集A；

⑵对于不等式的解集A，若满足A当x10,x20,x1x21时，

g(x1x2)x12x222x1x2x12x22g(x1)g(x2)，满足② （2）若a1时，h(0)a10不满足①，所以不是G函数；

若a1时，h(x)在x[0,1]上是增函数，则h(x)0，满足①

由h(x1x2)h(x1)h(x2) ，得a2即a[1(211)(2xxx2x1x21a2x11a2x21，

1)]1，

因为 x10,x20,x1x21

所以 02111 02211 x1与x2不同时等于1 0(211)(211)1

xxxa1

1(2x11)(2x11)1)min1 a1， 当x1x20时，(1(2x11)(2x11) 综合上述：a{1}

（3）根据（２）知： a=1，方程为42m，

xx

02x11由 得 x[0,1] 0x1121x2令2t[1,2]，则mtt(t)

24由图形可知：当m[0,2]时，有一解；

当m(,0)(2,)时，方程无解。

1. |x|2 （1）若f(x)2，求x的值；

３.已知函数f(x)2x（2）若2tf(2t)mf(t)0对于t[2,3]恒成立，求实数m的取值范围.

[解] （1）当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)2x 由条件可知 2x12，即 22x22x10， x21. x2解得 2x12.

2x0，xlog212.

 （2）当t[1,2]时，2t22t即 m22t124t1.

22t10，  m22t1. 故m的取值范围是[17,).

1t1m2t0， 2t22t[2,3],122t[65,17]，

11,x0;４.设函数f(x)是定义在R上的偶函数.若当x0时，f(x) x0,x0.（1）求f(x)在(,0)上的解析式.

（2）请你作出函数f(x)的大致图像.

（3）当0ab时，若f(a)f(b)，求ab的取值范围.

（4）若关于x的方程f(x)bf(x)c0有7个不同实数解，求b,c满足的条件.

2[解]（1）当x(,0)时，f(x)f(x)1（2）f(x)的大致图像如下：.

111. xx

4321-4-2246-1 2（3）因为0ab，所以f(a)f(b)

11111111112，

abababab2ab2ab

解得ab的取值范围是(1,). （4）由（2），对于方程f(x)a，当a0时，方程有3个根；当0a1时，方程

有4个根，当a1时，方程有2个根；当a0时，方程无解.…15分

2fx所以，要使关于的方程(x)bf(x)c0有7个不同实数解，关于f(x)的方程

2f2(x)bf(x)c0有一个在区间(0,1)的正实数根和一个等于零的根。

所以c0,f(x)b(0,1)，即1b0,c0. ５．已知函数f(x)ab(x0)。 |x| （1）若函数f(x)是(0,)上的增函数，求实数b的取值范围；

（2）当b2时，若不等式f(x)x在区间(1,)上恒成立，求实数a的取值范围； （3）对于函数g(x)若存在区间[m,n](mn)，使x[m,n]时，函数g(x)的值域也是

[m,n]，则称g(x)是[m,n]上的闭函数。若函数f(x)是某区间上的闭函数，试探

求a,b应满足的条件。

解：（1） 当x(0,)时，f(x)a

b x设x1,x2(0,)且x1x2，由f(x)是(0,)上的增函数，则f(x1)f(x2)

f(x1)f(x2)b(x1x2)0

x1x2

由x1x2，x1,x2(0,)知x1x20,x1x20，所以b0，即b(0,)

（2）当b2时，f(x)a22x在x(1,)上恒成立，即ax |x|x

因为x22 22，当x即x2时取等号，

xx22(1,)，所以x在x(1,)上的最小值为22。则a22 x

（3） 因为f(x)ab的定义域是(,0)(0,)，设f(x)是区间[m,n]上的闭函|x|数，则mn0且b0

（4） ①若0mn

f(m)mb当b0时，f(x)a是(0,)上的增函数，则，

|x|f(n)n所以方程a2

bx在(0,)上有两不等实根， x即xaxb0在(0,)上有两不等实根，所以

a24b02x1x2a0，即a0,b0且a4b0 xxb012当b0时，f(x)a

f(m)nbba在(0,)上递减，则，即|x|xf(n)m

bana0m，所以a0,b0 abmmnbn

②若mn0

f(m)nbba是(,0)上的减函数，所以当b0时，f(x)a，即|x|xf(n)mbana0m，所以a0,b0 bmnbamn６、设f(x)

ax2bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数

f(x)的定义域和值域相同。

解：（1）若a0，则对于每个正数b，f(x)bx的定义域和值域都是[0,)

故a0满足条件 （2）若a0，则对于正数b，f(x)b ax2bx的定义域为D,0,，

a但f(x)的值域A0,，故DA，即a0不合条件； （3）若a0，则对正数b，定义域D[0,] (f(x))maxbab2a，

a0bb]，a4 f(x)的值域为[0,a2a2a2aab综上所述：a的值为0或4

７．对于函数f(x)，若存在x0R ，使f(x0)x0成立，则称点(x0,x0)为函数的不动点。 （1）已知函数f(x)axbxb(a0)有不动点（1，1）和（-3，-3）求a与b的值； （2）若对于任意实数b，函数f(x)axbxb(a0)总有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）若定义在实数集R上的奇函数g(x)存在（有限的）n 个不动点，求证：n必为奇数。 解：（1）由不动点的定义：f(x)x0，∴ax(b1)xb0 代入x1知a1，又由x3及a1知b3。

∴a1，b3。

（2）对任意实数b，f(x)axbxb(a0)总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b，方程f(x)x0总有两个相异的实数根。

∴ax(b1)xb0中(b1)4ab0，

即b(4a2)b10恒成立。故1(4a2)40，∴0a1。 故当0a1时，对任意的实数b，方程f(x)总有两个相异的不动点。 ………...................1’

（3）g(x)是R上的奇函数，则g(0)0，∴（0，0）是函数g(x)的不动点。 若g(x)有异于（0，0）的不动点(x0,x0)，则g(x0)x0。 又g(x0)g(x0)x0，∴(x0,x0)是函数g(x)的不动点。

22222222

∴g(x)的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，

所以有2k个（kN），加上原点，共有n2k1个。即n必为奇数 ８．设函数f(x)x1，(x0)的图象为C1、C1关于点A（2，1）的对称的图象为C2，xC2对应的函数为g(x).

（1）求函数yg(x)的解析式；

（2）若直线yb与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标. 解．（1）设p(u,v)是yx11上任意一点，vu ① xu设P关于A（2，1）对称的点为Q(x,y),代入①得2y4xux4u4x vy2v2y11 yx24xx4g(x)x21(x(,4)(4,)); x4yb2 （2）联立1x(b6)x4b90,

yx2x4(b6)24(4b9)b24b0b0或b4,

（1）当b0时得交点（3，0）； （2）当b4时得交点（5，4）. 9．设定义在(0,)上的函数f(x)满足下面三个条件：

①对于任意正实数a、b，都有f(ab)f(a)f(b)1； ②f(2)0；

③当x1时，总有f(x)1. （1）求f(1)及f()的值；

（2）求证：f(x)在(0,)上是减函数.

解（1）取a=b=1，则f(1)2f(1)1.故f(1)1 又f(1)f(21)f(2)f(1)1. 且f(2)0.

2212

得：f(1)f(1)f(2)1112

2 （2）设0x1x2,则：f(x2)f(x1)f(x2x1)f(x1)[f(x2)f(x1)1]f(x1)

x1x1f(xx2)1 依0x1x2,可得21

x1x1x2)1 x1再依据当x1时，总有f(x)1成立，可得f(即f(x2)f(x1)0成立，故f(x)在(0,)上是减函数。

10． 已知函数f(x)是定义在2,2上的奇函数，当x[2,0)时，f(x)tx常数）。

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）当t[2,6]时，求f(x)在2,0上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在0,2上的单调递增区间（不必证明）；

（3）当t9时，证明：函数yf(x)的图象上至少有一个点落在直线y14上。

13x（t为211(x)3txx3， ∵函2213数f(x)是定义在2,2上的奇函数，即fxfx，∴fxtxx，即

211f(x)txx3，又可知 f00，∴函数f(x)的解析式为 f(x)txx3 ，

22解：（1）x0,2时，x2,0， 则 f(x)t(x)x2,2；

（2）fxxt121x，∵t[2,6]，x2,0，∴tx20， 223∵ fx21122xtx2tx23128t1222xtx，∴x2tx2，

32722即 x26t262t6t(2,0)时，fmintt 。 ,x3339猜想f(x)在0,2上的单调递增区间为0,6t。 3（3）t9时，任取2x1x22，∵

122fx1fx2x1x2tx1x1x2x20，

2 ∴fx在2,2上单调递增，即fxf2,f2，即fx42t,2t4，t9，∴42t14,2t414，

∴1442t,2t4，∴当t9时，函数yf(x)的图象上至少有一个点落在直线

y14上。

11.记函数fx2x7的定义域为A，gxlg2xbax1b0,aR的定x2义域为B，

（1）求A： （2）若AB，求a、b的取值范围

x7x30x0,23,， x2x2b1（2）2xbax10，由AB，得a0，则xorx，即

2ab103a1b2B,,， 。 2a22100b6a解：（1）Ax2

12对于在a,b上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x[a,,b]，均有

1f(x)g(x)1，则称f(x)与g(x)在a,b上是接近的，否则称f(x)与g(x)在

a,b上是非接近的.现在有两个函数

f(x)logt(x3t)与

1)(t0且t1)，现给定区间[t2,t3]. xt1(1)若t，判断f(x)与g(x)是否在给定区间上接近；

2(2)若f(x)与g(x)在给定区间[t2,t3]上都有意义，求t的取值范围； (3)讨论f(x)与g(x)在给定区间[t2,t3]上是否是接近的.

13112解：（1）当t时，f(x)g(x)log1[(x)(x)]log1[(x1)]

2222241572令h(x)log1[(x1)]，当x[,]时，h(x)[log16,1]

22422即|f(x)g(x)|1，f(x)与g(x)是否在给定区间上是非接近的. ………………4分 (2)由题意知，t0且t1，

t23t0，t2t0 g(x)logt(

0t1 ………………4分

22(3)|f(x)g(x)||logt(x4tx3t)|

22 假设f(x)与g(x)在给定区间[t2,t3]上是接近的，则有|logt(x4tx3t)|1

1logt(x24tx3t2)1 …………（*）

22令G（x）=logt(x4tx3t)，当0t1时，[t2,t3]在x2t的右侧， 22即G（x）=logt(x4tx3t)，在[t2,t3]上为减函数，

G(x)maxlogt(44t)，G(x)minlogt(96t)

所以由（*）式可得

0t19570tlog(44t)1 ，解得 t12log(96t)1t因此，当0t当t957时，f(x)与g(x)在给定区间[t2,t3]上是接近的； 12957时，f(x)与g(x)在给定区间[t2,t3]上是非接近的. ………14分 12

13．集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：

(1) 函数f(x)的定义域是[0,)； (2) 函数f(x)的值域是[2,4)；

(3) 函数f(x)在[0,)上是增函数．试分别探究下列两小题：

（Ⅰ）判断函数f1(x)x2(x0)，及f2(x)46()x(x0)是否属于集合A？并简要说明理由．

（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)f(x2)2f(x1)，

是否对于任意的x0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．

解：（1）函数f1(x)12x2不属于集合A. 因为f1(x)的值域是[2,),所以函数

f1(x)x2不属于集合A.(或当x490时,f1(49)54，不满足条件.)

1① 函数f2(x)的定义域是[0,)；② 函f2(x)46()x(x0)在集合A中, 因为:

2数f2(x)的值域是[2,4)；③ 函数f2(x)在[0,)上是增函数．

1x1（2）f(x)f(x2)2f(x1)6()()0，

24不等式f(x)f(x2)2f(x1)对于任意的x0总成立

f(x)(x0)14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=

f(x)(x0)（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)表达式。

（2）在（1）的条件下,当x2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。

2（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。

解：（1）f(-1)=0 ∴b2a1由f(x)0恒成立 知△=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)20

(x0)(x0) ，

(x1)∴a=1从而f(x)=x+2x+1 ∴F(x)=2(x1)单调函数,知-

（2）由（1）可知f(x)=x2+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1，由于g(x)在2,2上是

2k2k2或-2，得k-2或k6 ，

22（3）f(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴f(x)在0,上为增函数

对于F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x<0时-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，

∴F(x)是奇函数且F(x)在0，上为增函数， m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n) ∴F(m)+F(n)>0 。 15．函数f(x)=

x(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。

axb(1)求a、b的值；

(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。 解 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程所以

x=x的解，

axb1=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则

axb1b=1，所以a=。

22x(2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

x22m取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)，又m= –4时，

m22x2(4x)f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对定x24x2义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

x22

)，设x+2=t，t≠0， 则x2t4228161444|AP|2=(t+1)2+()=t+2t+2–+2=(t2+2)+2(t–)+2=(t–)2+2(t–)+10=( t–+1)2+9

tttttttt(3)|AP|2=(x+3)2+(，

4117517+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3 。

22t21mx16、已知函数f(x)log2是奇函数。

x1x（1）求m的值；

所以当t–

（2）请讨论它的单调性，并给予证明。

解（1）f(x)是奇函数，f(x)f(x)0； 即(21mx21mxlog2)(log2)0，解得：m1，其中m1（舍）； x1xx1x

经验证当m1时，f(x)21xlog2(x1,00,1)确是奇函数。 x1x（2）先研究f(x)在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1f(x1)f(x2)(由1x121x22log2log2x11x1x21x22222)[log2(1)log2(1)], x1x21x21x122220,log2(1)log2(1)0,x1x21x21x1得f(x1)f(x2)>0，即f(x)在（0，1）内单调递减；

由于f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数f(x)在（－1，0）内单调递减。