函数对称性与周期性

知识归纳：

一．函数自身的对称性结论

结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a,b)对称，充分性得征。

推论1：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f(－x) = 0

推论2：的图象关于点对称．推论3：的图象关于点对称．推论4：的图象关于点对称．

结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b－x)那么函数本身的图像关于直线x = 对称，反之亦然。

证明 ：已知对于任意的都有f(a+) =f(b－)= 令a+=, b－=

则Ａ（，），Ｂ（，）是函数y=f(x)上的点

　　　显然，两点是关于x= 对称的。

　　　反之，若已知函数关于直线x = 对称，　　　在函数y = f (x)上任取一点Ｐ（）那么（）

关于x = 对称点（a+ b－,）也在函数上故f()=f(a+ b－)f(a+(-a))=f(b-(-a))

所以有f (a +x) = f (b－x)成立。

推论1：函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a+x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)

推论2：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)结论3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

2． 不同函数的对称性结论

结论4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

结论5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对

称。

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对

称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1)∴点P‘（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三．三角函数图像的对称性

函 数y = sin xy = cos xy = tan x

对称中心坐标( kπ, 0 )( kπ+π/2 ,0 )(kπ/2 ,0 )

对称轴方程x = kπ+π/2x = kπ无

注：上表中k∈Z

四、抽象函数的周期问题：

1、如果函数f(x)对定义域内任意的x满足：f(x+a)=f(x+b)（a、b为常数，a>b），那么函数f(x)的周期T=a-b。由x的任意性，将式中x换成x-b，即得f(x+a-b)=f(x)。

2、如果函数f(x)对定义域内任意的x满足：f(x+a)=-f(x)（a为常数），那么函数f(x)的周期T=2a。事实上，f(x+2a)=-f(x+a)=f(x)。同样可得，若函数f(x)对定义域内任意的x满足：（a为常数），那么函数f(x)的周期T=2a。

3、如果函数f(x)对定义域内任意x满足：（a为常数），那么f(x)的周期T=2a。这是因为：。

同样可得，如果函数f(x)对定义域内任意x满足：（a为常数），那么函数f(x)的周期T=4a。

4、如果函数f(x)对定义域内任意的x满足：f(x+2a)=f(x+a)-f(x)（a为常数），那么f(x)的周期T=6a。由f(x+2a)=f(x+a)-f(x)，知

f(x+3a)=f(x+2a)-f(x+a)，两式结合得f(x+3a)=-f(x)，故得f(x+6a)=-f(x+3a)=f(x)。

5、如果函数f(x)的图象是中心对称图形，且有两个对称中心（b,0）、（a,0）（a>b），那么函数f(x)的周期T=2(a-b)。因为f(x)=-f(2b-x)=f(2a-2b+x)。

同样可得，如果函数f(x)的图象成轴对称图形，且有两条对称轴x=b，x=a(a>b)，那么函数f(x)的周期T=2(a-b)。

如果函数f(x)的图象既成中心对称又成轴对称，且对称中心为（m,0），对称轴为x=n(n>m)，那么函数f(x)的周期T=4(n-m)。因为f(x)=-f(2m-x)=-f(2n-2m+x)所以f[4(n-m)+x]=-f(2n-2m+x)=f(x)。例题:

例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f(5+x),则f (x)一定是（ ）

(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A) 例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（）。

（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，∴y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2+ g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001 故f(4) =

2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x)= －x，则f (8.6 ) = _________

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ）(A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =

解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k+∴x = －,显然取k = 1时的对称轴方程是x = － 故选(A)例5．求证:若为奇函数，则方程=0若有根一定为奇数个。证: 为奇函数 -=

2=0 即=0是方程=0的根

若是=0的根，即=0 由奇数定义得=0

也是方程的根 即方程的根除=0外成对出现。方程根为奇数个。例6、（2009山东卷文）已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）

A、f(-25)解：因为f(x)满足f(x-4)=-f(x)，所以f(x-8)=f(x)，即f(x)是以8为周期的周期函数，又f(x)是奇函数，可得f(-25)=f(-1)=-f(1)，f(80)=f(0)=0，f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1)，而f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(1)>f(0)=0，-f(1)<0，即f(-25故选D例7、（2009山东卷理）定义在R上的函数f(x)满足，则f(2009)的值为（ ）

A、-1 B、0 C、1 D、2

解：当x>0时，f(x)=f(x-1)-f(x-2)，f(x+1)=f(x)-f(x-1)=-f(x-2)即f(x+3)=-f(x)，所以T=6

f(2009)=f(-1+6×335)=f(-1)=log2(1+1)=1

故选C

例8、（2009山东卷理）已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8，8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则x1+x2+x3+x4= 。

解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，又在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在[-2，0]上也是增函数，且f(0)=0。又因为f(x-4)=-f(x)，知f(x-8)=f(x)，即函数f(x)的周期T=8。由f(x-4)=-f(x)=f(-x)，得f(x-2)=f(-x-2)，知x=-2是f(x)图象的对称轴，由奇函数性质知x=4k-2(k∈N)均为函数f(n)图象的对称轴，如图所示，方程f(x)=m(m>0)在区间[-8，8]上有四个根x1,x2,x3,x4，不妨设x11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f (x) =x，则f (7.5 ) = （ ）

(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5

2．知函数y=f(x)对一切实数x满足f(2-x)=f(4+x)，且方程f(x)=0有5个实根，则这5个实根之和为（ ）

A、5 B、10 C、15 D、183．是周期为2的奇函数，当时，则

（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）4．定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则

等于 ( )

A.-1 B.0 C.1 D.4

5．用min{a,b}表示a，b两数中的最小值。若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图

像关于直线x=对称，则t的值为( )

A．-2 B．2 C．-1 D．1

6．定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，

则f（2010）的值为 ( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2

7．．定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A．5 B．4 C．3 D．2

8．设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x+1)的图象关于____对称。y=f(x)图象关于_ _对称。

9．设y=f(x)的定义域为R，且对任意x∈R，有f(1-2x)=f(2x)，则y=f(2x)图象关于__________对称，y=f(x)关于__________对称。

10．设函数y=f(x)的定义域为R，则下列命题中，①若y=f(x)是偶函数，则y=f(x+2)图象关于y轴对称；②若y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)图象关于直线x=2对称；③若f(x-2)=f(2-x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=2对称；④y=f(x-2)与y=f(2-x)图象关于直线x=2对称，其中正确命题序号为____。

11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f (1)+ f(2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _______________.

12．函数对于任意实数满足条件，若则__________。

13．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点.

14．设f(x)=，又记f1(x)=f(x),,k=1,2,……则=

15．已知偶函数y=f(x)定义域为R，且恒满足f(x+2)=f(2-x)，若方程f(x)=0在[0,4]上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(-8,10]中的根．

16．设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．

（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

17．定义域为R，对于任意x都有且

问是否是周期函数？如是则周期是多少？

练习题答案

1.B 解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)2.C

3.D 解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，<0，∴，选D.4.B5.

6. B 解析 由已知得,,,,,,,,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2010）= f（6）=07. B 解析：由的周期性知，

即至少有根1，2，4，5。故选择B。8.y轴 x=1 9. 10. _②④__

11. 0 【考点分析】本题考查函数的周期性解析：得，假设

因为点（，0）和点（）关于对称，所以因此，对一切正整数都有：从而：。本题答案填写：0

12. 【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由得，所以，则。

【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解 “只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通也。

13. 答案：f(2k-1)=0，k∈Z. 又可作一个函数满足问题中的条件，且的一个零点恰为，k∈Z. 所以至少有50个零点.14. 解：，，据此，，，因2010为4n+2型15. 方程的根为-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10共9个根．

16. 【考点分析】本题考查函数的奇偶性与周期性解析：由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由

,从而知函数的周期为

又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.

17. 解：如图可知M（1，0），N（4，0）是对称中心，设为的任意一点，它的关于M的对称点是则：设与关于N点对称则4–=–4，由题意

即对于任意都有是周期函数，周期为6.

结论：若函数的图象为对称中心在X轴上的中心对称图形，则为周期函

数，周期为两对称中心距离的2倍。