2021—2022学年度第二学期七年级数学兴趣小组辅导练习(五)

（练习时间：80分钟 分值：100分 练习形式：闭卷）

一、填空题：（每空5分，共25分）

1．如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F．若S△ABC＝12，BD＝2，则EF＝ ．

第1题图 第3题图

2．若（4x+3y﹣1）2+|2x﹣y+7|＝0，则xy＝ ．

3．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是 ．

4．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为 ．

第4题图 第5题图

5．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，

下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB∠CGE．其中正确的结论的个数是个． 二．解答题.（共7大题，计75分）

pxmy10x2yx6．（本题8分）已知关于，的二元一次方程组的解是试求关于

qxny12y4第1页（共9页）

pabmab10a，b的二元一次方程组的解．

qabnab12

7．（本题8分）1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2

＝0，∴n＝4，m＝4．

根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求使△ABC周长最大的边c的值．

2x5y3(1)8．（本题10分）[阅读材料]善于思考的小明在解方程组时，采用了一种

4x11y5(2)“整体代换”的解法：

解：将方程(2)变形：4x10yy5，即22x5yy5(3)，把方程(1)代入(3)得：

x423y5，所以y1，将y1代入(1)得x4，所以原方程组的解为 ．

y1[解决问题]（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组3x2y5，

9x4y193x22xy12y25022x4y（2）已知x，y满足方程组2，求的值． 2xxy4y25

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9.（本题10分）阅读材料：

如图1，点A是直线MN上一点，MN上方的四边形ABCD中，∠ABC＝140°，延长BC，2∠DCE＝∠MAD+∠ADC，探究∠DCE与∠MAB的数量关系，并证明． 小白的想法是：“作∠ECF＝∠ECD（如图2），通过推理可以得到CF∥MN，从而得出结论”请按照小白的想法完成解答：

拓展延伸

保留原题条件不变，CG平分∠ECD，反向延长CG，交∠MAB的平分线于点H（如图3），设∠MAB＝α，请直接写出∠H的度数（用含α的式子表示）．

10.（本题12分）把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2

适当的变形，可解决很多数学问题．

例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．

解：因为a+b＝3，ab＝1； 所以（a+b）2＝9，2ab＝2：所以a2+b2+2ab＝9， 2ab＝2；得a2+b2＝7．

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值； （2）请直接写出下列问题答案：

①若2m+n＝3，mn＝1，则2m﹣n＝ ； ②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝ ．

（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝4，两正方形的面积和S1+S2＝12，求图中阴影部分面积．

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11.（本题12分）把yaxb（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅

“雅系二元一次方程”yaxb中x的值称为“雅系二元一系二元一次方程”，当yx时，

次方程”的“完美值”，例如：当yx时，“雅系二元一次方程”y3x4化为x3x4，其“完美值”为x2． （1）求“雅系二元一次方程”y6x5的“完美值”；

（2）x2是“雅系二元一次方程”y2xm的“完美值”，求m的值；

（3）“雅系二元一次方程”ykx1（k0，k是常数）存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”．若不存在，请说明理由． 12．（本题15分）如图，MN//PQ，A，B分别在直线MN，PQ上，且BAN60，若射线AN绕点A逆时针旋转至AM后立即回转，射线BP绕点B顺时针转至BQ后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线AN转动的速度是a/秒，射线BP转动的速度是b/秒，且a，b满足方程式2a3b5，

a3b7

（1）求a，b的值．

（2）若射线AN和射线BP同时旋转，旋转多少秒时，射线AN和射线BP第一次互相垂直？

（3）若射线AN绕点A逆时针先转动6秒，射线BP才开始绕点B顺时针旋转，在射线BP到达BA之前，射线AN再转动多少秒，射线AN和射线BP互相平行？

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参

1. 3 2. -8 3. 30°或70° 4. 60° 5. 3

6. 解：设abx，aby，

则由pxmy10x2的解是可知，

qxny12y4ab2，…………………………4分 ab4解得a3．

b1a3所以原方程组的解为．…………………………8分

b17. 解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，

∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0， ∴（x+y）2+（y+1）2＝0， ∴x+y＝0，y+1＝0， ∴x＝1，y＝﹣1， ∴2x+y＝2﹣1＝1，

即2x+y的值是1；…………………………4分 （2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0， 解得：a＝3，b＝4， ∵c为最大边， ∴4＜c＜7，

∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，

∴△ABC的最大边c的值为：5或6．…………………………8分 8. 解：13x2y5①

9x4y19②第5页（共9页）

将方程②变形得:33x2y2y19③ 把方程①代入③得:352y19， 所以y2,

将y2代入①得x3，

x3所以原方程组的解为；…………………………5分

y23x22xy12y250①， 222xxy4y25②把方程①变形，得到3(xxy4y)5xy50③， 然后把②代入③，得3255xy50， ∴xy5，

∴x24y225520；…………………………10分

9. 解：阅读材料：延长CB交MN于点T，

∵∠ECF＝∠ECD，2∠DCE＝∠MAD+∠ADC， ∴2∠ECD＝∠MAD+∠ADC＝360°﹣∠CTA﹣∠DCT＝360°﹣（180°﹣∠MTC）﹣（180°﹣∠ECD）＝∠MTC+∠ECD， ∴∠ECD＝∠MTC， ∴∠ECF＝∠MTC， ∴CF∥MN， ∵∠ABC＝140°， ∴∠ABT＝40°，

∴∠MTC＝∠MAB+40°， 即∠DCE＝∠MAB+40°；…………………………5分

22拓展延伸：∠H＝360°﹣∠CDA∠MAB﹣∠DAB﹣∠HCD＝180°﹣[360°﹣（180°

﹣∠ECD）∠MAB﹣（180°∠ECD）]＝180°﹣（∠ECD∠MAB），

∵∠DCE＝∠MAB+40°，

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∴∠H＝180°﹣（∠MAB+60°）， ∵∠MAB＝α，

∴∠H＝120°﹣α．

10. （1）xy=8；…………………………3分

…………………………10分

1；…………………………6分 （2）①±

②13；…………………………9分 （3）设AC=a，BC=b，则：ab12，a+b=4 ∴S阴影=ab=2…………………………12分 11. 解：（1）由已知可得，x6x5， 解得x=-1，

∴“雅系二元一次方程”

22y6x5的“完美值”为x=-1；…………………………4分

（2）由已知可得x=2x+m，x=2， ∴m=-2；…………………………8分

（3）若“雅系二元一次方程”y=kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”， 则有x=kx+1， ∴（1-k）x=1，

当k=1时，不存在“完美值”，…………………………10分 当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x1．…………………………12分 1k2a3b5①12. 解：（1），

a3b7②②×2-①得：9b=9，

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∴b=1，

将b=1代入②得：a+3=7， ∴a=4；…………………………4分

（2）设旋转t秒时，射线AN、射线BP第一次互相垂直．

如图1所示：设旋转后的射线AN、射线BP交于点O，则BO⊥AO，

∴∠ABO+∠BAO=90°， ∵MN∥PQ，

∴∠ABP+∠BAN=180°， ∴∠OBP+∠OAN=90°， 又∵∠OBP=t°，∠OAN=4t°， ∴t°+4t°=90°，

∴t=18（s）；…………………………8分 （3）∵∠BAN=60°， ∴∠PBA=120°， ∴t＜120s，

设射线AN再转动t秒时，射线AN、射线BP互相平行，射线AN绕点A逆时针先转动6秒，

AN转动了6×4=24°，如下图：

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当NABPBA 时，AN∥BN，则有： 120-t=4t-(60-24) 解得t=

156=31.2 …………………………10分 5 当AN到达AM又返回到达AN时，AN∥BN，此时有∠MAN=t°180+t=4（t+6）

t=52…………………………12分

当AN到达AM又返回起点，再次到达AN时，AN∥BN, ∠MAN =t°则有： 4（t+6）=156+180+180-t

t=103.2…………………………14分

综上所诉，在射线BP到达BA之前，射线AN再转动31.2秒或52秒或103.2秒，射线AN和射线BP互相平行．…………………………15分

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