二项式定理优秀教学设计

第一课时

教学目标

掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单问题。

教学过程: 【设置情境】

问题 某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种年利率9％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息。

试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？ 分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是

10×（1＋11％×10）＝21（万元）

本金10万元，年利率9％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是

10(19%)10

那么如何计算(19%)的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如(ab)的展开式。

【探索研究】

由 (ab)a2abbC2aC2abC2b

22202122n10(ab)3a33a2b3ab2b3CaCabCabCb4033132232333

那么 (ab)(ab)(ab)(ab)(ab)

展开后，它的各项是什么呢？

容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：

a,ab,ab,ab,b

现在来看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么？ 在上面4个括号中：

每个都不取b的情况有1种，即C4种，所以a的系数是C4； 恰有1个取b的情况下有C4种，所以ab的系数是C4； 恰有2个取b的情况下有C4种，所以ab的系数是C4； 恰有3个取b的情况下有C4种，所以ab的系数是C4；

32104322344031222334个都取b的情况下有C4种，所以b的系数是C4； 因此

4132223344(ab)4C04aC4abC4abC4abC4b。

444请同学们归纳、猜想(ab)?

一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

n1n1n22nrrn(ab)nC0bC2bCrbCnnaCnanananbn(nN.)

n这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)的二项展开式。 在这里，教师应当指出，上面的定理严格来说是必须证明的，由于知识的局限，以后再证明。

二项展开式有以下特征： （1）共有n1项。

（2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。

利用二项式定理可以求二项展开式。

例1 展开(1)。

解：(1)1C4()C4()C4()C4()

1x41411xx411234。

xxxx21x231x341x4例2 展开(2x16)。 x解：先将原式化简，再展开

(2x162x161)()3(2x1)6

xxx1524334256(2x)6C16(2x)C6(2x)C6(2x)C6(2x)C6(2x)C6 3x13(x6192x5240x4160x360x212x1) x60121x3192x2240x16023)。

xxx例3 用二次式定理证明： （1）111能被100整除； （2）nn1101能被(n1)2整除。（n3,nN）

10证明：（1）∵111(101)101

92(1010C11010C1010C10101)1 92821010C11010C101010 726100(108C11010C10101)

∴11101能被100整除。

（2）可先让学生仿照（1）证明，教师再讲解。 ∵nn11(n1)1n11

n2n32(n1)n1C1C2Cnn1(n1)n1(n1)n1(n1)11 n2n3(n1)n1C1C2C1n1(n1)n1(n1)n1(n1) n4(n1)2(n1)n3C11 n1(n1)而n3,nN ∴(n1)故nn1n3n4C11是正整数。 n1(n1)1能被(n1)2整除。

【演练反馈】

551．计算：(a1)(a1)。

（由一名学生板演后，教师讲解） 2．求证：32n2n22n412nC1C2Cnn3n3n3110。

（由一名学生板演后，教师讲解）

3．求(x3x2)展开式中含x项的系数。 （学生练习后，教师分析讲解）

4．解决本节课开始提出的问题。 【参】

551．解：(a1)(a1)

251231234(a)5C5(a)4C5(a)2C5a1(a)5C5(a)4C5(a)3C5(a)2C5a1 2C5(a)C5(a)2

143210a220a4。

2．证明：右边10(91)(31)

2(n1)2(n2)1232nC1C2Cnn3n3n31

nn2n2n22n41232nC1C2Cnn3n3n31左边

故原式得证。

3．解法1：(x23x2)5x2(3x2)

842455x10C15x(3x2)C5x(3x2)C5(3x2)。

5显然只有(3x2)中含有x项，其系数为

44C55C532240。

5解法2：由于(x3x2)(x1)(x2)

44514445(x5C15xC5x1)(xC5x2C5x22)

2555∴展开式中含x项的系数是

4432C516C5240。

4．解：10(19%)1010(10.09)10

2210(1C1100.09C100.09)

22.5

由此可见，按年利率9％每年复利一次计算的要比年利率11％单利计算更有利，10年后多得利息1.5万元。

【总结提炼】

1．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式，要理解和掌握展开式的规律。利用它就可以对二项式展开，进行计算或证明。

2．对课本这样一段话“容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积”，要能透彻理解，在解题中适时应用会显得很方便。

板书设计: 二项式定理（一） （一）设置情境 例2 问题 （二）二项式定理及其结构特征 例3 （三）例题与练习 例1

练习 （四）小结