相似三角形几种基本模型
经典模型
∽平移平行型旋转180°平行型翻折180°翻折180°一般特殊斜交型斜交型特殊一般平移双垂直斜交型特殊一般双垂直一边平移翻折180°
“平行旋转型”
图形梳理：
AEE'BFBF'AF'E'AAFE'EBF'FF'EFCAEF旋转到AE‘F’BECAEF旋转到AE‘F’CAEF旋转到AE‘F’CAEF旋转到AE‘F’
特殊情况：B、E'、F'共线
1
AEE'BFBF'EE'AF'FCAEF旋转到AE‘F’CAEF旋转到AE‘F’
C，E'，F'共线
E'EAE'AF'F'FEFBCAEF旋转到AE‘F’BCAEF旋转到AE‘F’
相似三角形有以下几种基本类型： ① 平行线型
常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC
AEDADEB
CBC
② 相交线型
常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC
AECB1EBCDA
如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC
1D
2
AED211CCABDB
③ 旋转型
已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，下图为常见的基本图形．
AEDBC
④ 母子型
已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．
C
ADB
相似三角形常见的图形
1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）
B(1)CDEAAEABCDDE(2)B(3)C(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、
“反A共角共边型”、 “蝶型”）
AE12BDC2BA4D1EAE1DC23
BC
（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂
直型”）
(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
D2EBCA1BEDCAAEBEABC(D)CD
2、几种基本图形的具体应用：
（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC
（2）射影定理 若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC=AD·AB，CD=AD·BD，BC=BD·AB；
222
ADB2
EECDACB CA DB （3）满足1、AC=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB． （4）当
ADAE或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB． ACABADBCADEB
C 相似三角形基本类型
一、“X”型.
4
AAOCDCADDEBBJD
二、“子母”，“A型”，“斜A”.
AEC
B
BC
AADDB
三、“K”型
C
C（双垂直K型）
AECBD （三垂直K型）
5
AEC
BD
AEC
四、共享型
BD
AB
CDE
6
ABFCDE
AEGB
FCAD
EC
B
1.在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE.
AED
1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证∠ABE=∠ACD.
7
BC
A12BEF43D 2.
C
OGAPTEFB
3.如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等
腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②
1111＝＋；③MN≤AB，其中正确结论的个数是（ ）
4MNACBCA．0 B．1 C．2 D．3
8
4．如图，Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线
交BB 于点F．
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=，∠CAC =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并
说明理由．
5.
BFQ2DECA
BFC'B'ECA9
6.在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为_________.
7. AE900°, EDB12C. (1)当AB=AC时,①∠EBF=_________. ②BE与FD数量关系.
(2)当AB=kAC,求BEFD的值.
AEFBDC
AEBDC
AEFBDC
10
8.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、
D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA ．．
向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延 长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．9.如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm． 点E、F、G分别从点A、B、C同时出发，沿矩形 的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，
点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，
三个点随之停止移动．设移动开始后第ts时，△EFG的面积为Scm2．
(1)当t＝1s时，S的值是多少？
(2)写出S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由。 A D
E
G B
F
C 11