江苏无锡高二上学期期末考试数学试题含答案

2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1．设ab0，则下列各不等式一定成立的是 (▲ )

A．a2abb2 C．a2b2ab

B．a2abb2 D．a2b2ab

2．已知向量a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)．若向量a+b与向量c＝(m，2，n)平行，则实数n的值是（ ▲）

A．6 B．－6 C．4 D．－4

x2y23.已知椭圆C：221ab0，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此ab椭圆的标准方程为（ ▲ ） x2y2x2y2x2y2x2y21 B. 1 C. 1 D.1 A. 9836329516124. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ▲ ）

A．一鹿、三分鹿之一 B．一鹿 C．三分鹿之二

D．三分鹿之一

5.已知等比数列an为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若a22，S37，则a5的值为 （ ▲ ）

A．16

B．32

C．8

D．

1 46.下列不等式或命题一定成立的是( ▲ ) ①lg(x2+11)⩾lg x(x>0); ②sin x+⩾2(x≠kπ,k∈Z)； 4sinxx23③x+1⩾2|x|(x∈R); ④y2 (x∈R)最小值为2. x22A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④

7． 已知关于x的不等式(a4)x(a2)x10的解集为空集,则实数a的取值

22范围是( ▲ )

666A.[2,] B. [2,) C. (,2] D. (,2][2,)

5558. 设Sn为数列an的前n项和,满足Sn2an3，则S6 （▲ ）

A．192

B．96

C．93

D．1

9.若正数a、b满足ab2ab5，设yab412ab，则y的最大值是（ ▲ ）

A.12 B.-12C. 16 D. -16

10． 正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则AEAF的值为（ ▲ ）

A．-2

B．4

C．2

D．1

x2y211．已知椭圆221ab0的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,

abPF1e，则该离心率e的取值范围是（ ▲ ） 使得PF2A.

2

21,1 B.  C. 0,21 D. ,1

2

20,2 12．当n为正整数时，定义函数Nn表示n的最大奇因数。如N33，N105，

SnN1N2N3N2n，则S5 （ ▲ ）

A. 342 B. 345 C. 341 D. 346

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．命题p：“x0，都有x2x0”的否定： ▲ . 14．不等式

x13的解集是___▲_______． xx2y2x2y21的焦点相同，那么 15.已知双曲线221的离心率为2，焦点与椭圆

ab259双曲线的渐近线方程为 ▲ 16．已知ab

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2a525，S555 . （1）求数列{an}的通项公式；

112的最小值为____▲ ______ ,a,b0,1，那么1a1b2

（2）设anbn

▲▲▲

1，求数列bn的前n项和Tn. 3n118.（本题满分12分） 已知aR，函数fxa1. x（1）若fx2x对x0,2恒成立，求实数a的取值范围。 （2）当a=1时，解不等式fx2x. ▲▲▲

19.（本题满分12分）

在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点Mx,yx0到点F2,0的距离减去M到直线

x1的距离等于1.

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线ykx2与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补. ▲▲▲

20.（本题满分12分）

某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．

⑴．设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式； ⑵．求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)．

▲▲▲

21.（本题满分12分）

如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=6，AB=12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O. 如图2，点P为BC中点，点E在线段AB上(不同于A,B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB. (1)证明：OD⊥平面PAQ；

(2)若BE=2AE，求二面角C−BQ−A的余弦值。 ▲▲▲

22. （本小题满分12分）

x2y2已知椭圆C1：221ab0，F为左焦点，A为上顶点，B(2,0)为右顶点，若

ab7AF2AB，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F． (1)求C1的标准方程；

(2)是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得S△OPQ=1S△OMN？如2

果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．

▲▲▲

2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题

一、 选择题

B D A B A C C D A D A A 二、

填空题

213.x0,使得xx0 14. 1,0 15. y3x 16.10 2

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分） 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2a525，S555 . （1）求数列{an}的通项公式； （2）设anbn 17.（1）在等差数列{an}中，a2a525，S555 1，求数列bn的前n项和Tn. 3n1， 解得a15,d3,………………………………………………………………………….3分 综上所述，数列{an}的通项公式是an3n2……………………………………….5分 （2）由(1)知：an3n2，又因为anbn1 3n1，……………………………………….7分 ………………………………………………………………..10分 综上所述，数列bn的前n项和是Tn

n.………………………………………..10分 6n4

18.（本题满分12分） 已知aR，函数fxa1. x（1）若fx2x对x0,2恒成立，求实数a的取值范围。 （2）当a=1时，解不等式fx2x.

18.(1)∵f(x)⩽2x对x∈(0,2)恒成立， ∴a⩽1+2x对x∈(0,2)恒成立，……………………………………………………………….2分 x211+2x⩾22，当且仅当=2x，即x=时等号成立，…………………….....4分

2xx∵x>0∴∴a⩽22…………………………………………………………………………………….....6分 (2)当a=1时，f(x)=1−11，∵f(x)⩾2x，∴1−⩾2x， xx①若x>0，则1−1⩾2x可化为：2x2−x+1⩽0，所以x∈∅；………………………………...8分 x11⩾2x可化为：2x2−x−1⩾0，解得：x⩾1或x⩽−， x2②若x<0，则1−∵x<0，∴x⩽−1，………………………………………………………………………….....10分 211⩾2x的解集为：(−∞, −]………………………………..…………….....12分 x2由①②可得1−

19.（本题满分12分）

在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点Mx,yx0到点F2,0的距离减去M到直线

x1的距离等于1.

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线ykx2与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补.

19(1)曲线C上的动点M(x,y)(x>0)到点F(2,0)的距离减去M到直线x=−1的距离等于1，

所以动点M到直线x=−2的距离与它到点F(2,0)的距离相等，

故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线y2=8x. …………..………………………………………….....4分 (2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2). y28x联立,得k2x2+(4k2−8)x+4k2=0,(k≠0). ……………………………………6分 ykx284k2∴△>0，x1x2, x1x2=4………………………………………………………8分 2k∴直线FA与直线FB的斜率之和= y1y2kx12kx22= x12x22x12x22=kx12x22kx12x222kx1x24= (x12)(x22)(x12)(x22)因为x1x2=4∴直线FA与直线FB的斜率之和为0， ……………………………………11分 ∴直线FA与直线FB的倾斜角互补。……………………………………………………12分

20.（本题满分12分） 【解】

⑴．依题意f(n)＝14．4(0．20．40．6…0．2n)0．9n…………………2分 ＝14．40．1n(n＋1)0．9n

＝0．1n2＋n＋14．4，n∈N*……………………………………………5分(没有定义域扣1分) ⑵．设该车的年平均费用为S万元，则有

1111

S＝f(n)＝(0．1n2＋n＋14．4)＝n＋14．4＋1………………………………………7分

10nnn11

∵n是正整数，故n＋14．4＋1≥2．4＋1＝3．4，……………………………10分

10n11

当且仅当n＝(14．4)，即n＝12时，等号成立．………………………………11分

10n故汽车使用12年报废为宜．……………………………………………………………12分

21.（本题满分12分） (1)解法一(几何法)

证明：取OO1的中点为F,连接AF,PF; ∴PF∥OB，

∵AQ∥OB,∴PF∥AQ， ∴P、F. A. Q四点共面， 又由图1可知OB⊥OO1，

∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，

且平面ADO1O∩平面BCO1O=OO1， ∴OB⊥平面ADO1O， ∴PF⊥平面ADO1O，

又∵OD⊂平面ADO1O，

∴PF⊥OD. ……………………………………………….. 2分 在直角梯形ADO1O中,..,OF=O1D,∠AOF=∠OO1D,∴△AOF≌△OO1D,∴∠FAO=∠DOO1， ∴∠FAO+∠AOD=∠DOO1+∠AOD=90∘， ∴AF⊥OD. ……………………………………………….. 4分 ∵AF∩PF=F，且AF⊂平面PAQ，PF⊂平面PAQ， ∴OD⊥平面PAQ. ……………………………………………….. 6分 解法二(向量法) 由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m， 则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0). ∵点P为BC中点,∴P(0,9,3)， 2∴OD=(3,0,6), AQ=(0,m,0) 9PQ=(6,m−,−3)，………………………………………………………………………….. 2分 2∵OD·AQ=0, OD·PQ=0 ∴OD⊥AQ, OD⊥PQ且AQ与PQ不共线，……………………………… ……….4分 ∴OD⊥平面PAQ. …………………………………………………………………………... 6分 (2)∵BE=2AE,AQ∥OB,∴AQ=1OB=3， 2则Q(6,3,0),∴QB =(−6,3,0), BC =(0,−3,6). 设平面CBQ的法向量为n1 =(x,y,z)， n1QB06x3y0∵∴ 3y6z0n1BC0

令z=1,则y=2,x=1,则n1=(1,2,1)，…………………………………………………………….. 8分 又显然,平面ABQ的法向量为n2=(0,0,1)，……………………………………..…………. 10分 设二面角C−BQ−A的平面角为θ，由图可知，θ为锐角， 则cosθ=n1n2n1n2=6.…………………………………………………..…………………. 12分 6

22（本题满分12分）

(1) 依题意可知7AF2AB，即7a2a2b2 由右顶点为B(2,0)，得a=2，解得b2=3，

x2y21．……………………………………………….. 3分 所以C1的标准方程为43(2) 依题意可知C2的方程为y2=−4x，………………………………………………..4分

假设存在符合题意的直线，

设直线方程为x=ky−1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，

x2y21联立方程组4得(3k2+4)y2−6ky−9=0， 3xky1由韦达定理得y1+y2=6k9，yy=， 122234k34k2则|y1−y2|=y1y212k21，……………………………………………...6分 4y1y2=34k2（写出PQ长度也可以）

y24x联立方程组，得y2+4ky−4=0，

xky1由韦达定理得y3+y4=−4k，y3y4=−4， 所以|y3−y4|=y3y424y3y4=4k21，………………………………………….... 8分

（写出MN长度也可以） 若S△OPQ=1S△OMN，则PQ=2MN，…………………………….………………………….. 10分 212k21612则|y1−y2|=|y3−y4|，即=，解得k=， 2k1334k22所以存在符合题意的直线方程为x+66y+1=0或x−y+1=0．…………………..... 12分 33