深圳外国语学校2019届高三分班考试
数学（文）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数A.
的共轭复数是（ ）
D.
B. C.
【答案】C 【解析】
,∴复数
故选：C
点睛：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式． 2. 设，都是不等于的正数，则“A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 若而
，则
，从而有
，故为充分条件. 若
不一定有
，比如.
，从
”是“
”的（ ）
的共轭复数是
不成立.故选B.
考点：命题与逻辑.
视频
3. 等比数列A.
的前项和为，若
D.
，则公比
（ ）
B. C.
【答案】A 【解析】 【分析】
将【详解】∵∴又∴
， ．
转化为关于的方程，解方程可得的值．
，
，
故选A．
【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列有求二”，求解的实质是解方程或解方程组． 4. 已知双曲线：
（
）的渐近线方程为
，则双曲线的离心率为（ ） 五个量，其中
是基本量，这五个量可“知三
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据双曲线的方程和其渐近线方程可求得
，然后再根据离心率的计算公式可得所求．
【详解】由可得，即为双曲线的渐近线的方程，
又渐近线方程为∴∴
， .
，
∴离心率故选B．
．
【点睛】（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量用
和
的方程或不等式，利
转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
，由双曲线的标准方程求渐近线方程时，不论焦点在哪个轴上，只需把方程
（2）本题容易出现的错误是认为中的“
”改为“
”，即可得到渐近线的方程．
5. 设函数A. 在C. 在
（单调递减 单调递增
，）的最小正周期为，且，则（ ）
单调递减 B. 在单调递增 D. 在
【答案】A 【解析】 试题分析：由于
由于该函数的最小正周期为又根据因此，若若
，则，则
，从而，
都错，正确．故选A．
，以及
，得出，得出
， 在
单调递减， ．
，
，
该区间不为余弦函数的单调区间，故考点：三角函数的单调性．
【名师点睛】三角函数问题，一般都是化函数为形式，然后把作为一个整体利用正弦函
数的性质来求求解．掌握三角函数公式（如两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角关系，诱导公式等）是我们正确解题的基础．
视频 6. 设A. 若C. 若
是两个不同的平面，是一条直线，一下命题正确的是（ ） ，，
，则，则
B. 若 D. 若
，，
，则，则
【答案】C 【解析】 若
,
，则
或
，即选项A错误；若
，则
或
，即选项B错误；若
，则平行或垂
直或相交，即选项D错误；故选C.
7. 已知函数，，则函数的图象可能是下面的哪个（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】 画出函数
的图象，然后以原点为对称中心进行对称后可得函数
的图象，如下图所示．
的图象．
【详解】画出函数
将此图象以原点为对称中心进行对称后可得函数故选D．
的图象如选项D所示．
【点睛】本题考查图象的变换问题，函数图象的变换有平移变换、伸缩变换、对称变换，要理解函数图象变换的实质，每一次变换都针对自变量“x”而言的．在本题中，函数8. 设A.
， B.
， C.
，则
的大小关系为（ ） D.
与函数
的图象是关于原点对称的．
【答案】C 【解析】 【分析】
以为中间量，先根据幂函数的性质比较【详解】由幂函数的性质得由指数函数的性质得
，即
的大小，再根据指数函数的性质比较
；
的大小，可得结论．
，即．
所以故选C．
．
【点睛】比较幂的大小时，若底数相同，则可构造指数函数，并根据指数函数的性质进行比较；若指数相同，则可构造幂函数，根据幂函数的性质进行比较；若底数、指数都不同，则可构造中间量进行比较． 9. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A. B. C. 【答案】B 【解析】 【分析】
D.
依次执行程序框图中的程序，可得输出结果． 【详解】依次执行框图中的程序，可得： 第一次：第二次：第三次：第四次：第五次：故选B．
【点睛】解决程序框图输出结果的问题时，首先要做的是弄清程序框图的功能．对于条件结构，要根据条件弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值． 10. 已知抛物线：（ ）
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】
的交点为，准线为，是上一点，直线
与曲线相交于，两点，若
，则
，不满足条件，，不满足条件，，不满足条件，，不满足条件，
； ； ； ；
，满足条件，停止运行，输出．
【分析】
由题意可得直线PF的方程为
，再将直线的方程与抛物线
的方程组成方程组，消去y得到关于x
的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长． 【详解】抛物线：
的焦点为F(2,0)，准线为
．如下图．
设
由抛物线的定义可知于是
作MH⊥l于H， ∵
到准线的距离分别为，
，
．
，
，
，
．
∴∴
根据对称性可得直线AB的斜率为∴直线PF的方程为由∴于是故选B．
．
．
消去y整理得
.
，
【点睛】解答本题时注意两点：一是抛物线定义的应用，即利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，根据此结论可将问题的解决带来方便．二是代数方法的应用，将求弦长的问题转化为二次方程根与系数的关系求解，即借助代数方法求解几何问题．
11. 如图，网格上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体是体积为（ ）
A. B. C. 【答案】B 【解析】
，
，
． 选B.
D.
点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
视频
12. 设函数A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】 由是函数等式
【详解】∵是函数∴
，且
的极值点可得
成立，求得
，同时根据三角函数的性质可得
的最小值，然后解不等式即可．
时，函数
取得最值，
，于是可得存在
使不
，若存在 B. D.
的极值点满足
，则的取值范围是（ ）
的极值点，即当，
∴∵存在∴存在又∴∴解得
， 或
．
的极值点满足
，
的最小值为，
，
，
．
．
∴实数的取值范围是故选C．
【点睛】本题考查学生的转化能力和运算能力，解答本题的关键点有两个，一是对“是函数并由此得到
和的值；二是如何解决存在性问题，注意解题时转化为求最小值的问题．
的极值点”的理解，
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知菱形【答案】6 【解析】 【分析】 选取
为基底，则
，然后根据向量数量积的定义求解．
为基底，则
．
的边长为，
，则
__________．
【详解】如图，以
∴．
【点睛】计算向量数量积的方法有三种：定义法、坐标运算法、数量积的几何意义，解题时要灵活选用方法，对于和图形有关的问题不要忽视数量积的几何意义的应用． 14. 若变量，满足【答案】55
，则
的最大值为__________．
【解析】 【分析】
画出不等式组表示的可行域，令
，然后根据线性规划求解即可．
【详解】画出不等式组表示的可行域如图所示．
设平移直线值． 由∴即
，则．
，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大
得，所以点A的坐标为，
．
的最大值为55．
的最值，将函数
转化为直线的斜截式
，通过求直线的
【点睛】求二元一次函数
截距的最值间接求出z的最值．要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值． 15. 在平面直角坐标系且
中，椭圆的中心为原点，交点，在轴上，离心率为，过做直线交于
两点，
的周长为，那么的方程为__________．
【答案】【解析】 由16. 在【答案】
得a=4.c=中，
,从而b=8,，
，则
为所求。
的最大值为__________．
【解析】
试题分析：根据正弦定理得：
．
所以
的最大值为
．
考点：解三角形，三角函数的恒等变换．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在等比数列（1）求数列（2）记【答案】(1) 【解析】 【分析】
（1）根据题意分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，然后根据通项公式求解即可．（2）由题意可得
，故采用错位相减的方法求数列的和．
【详解】（1）设等差数列则
，
，，即或
（舍去），
. ，①
②
的公差为， ，
，
．
的
中，公比
，等差数列
满足
.
通项公式；
的前项和. (2)
，求数列
由题意得解得∴
（2）由（1）可得∴∴
①②得
．
∴
．
【点睛】用错位相减法求和的注意事项
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． （4）这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养． 18. 如图所示，的中点.
和
所在平面互相垂直，且
，
，，分别为
，
（1）求证：（2）求二面角
；
的正弦值.
【答案】(1)见解析(2) 【解析】
试题分析：（1）（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可证明EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
易得,所以，因此,从而得；（2） （方法一）在图1中，
过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，cos30°=，由由三垂线定理知EG垂直BF，因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·△BGO∽△BFC知，弦值.
（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为
，设平面BEF的法向量
，又,由
得
,因此tan∠EGO=
,从而sin∠EGO=
，即可求出二面角E-BF-C的正
其中一个，设二面角E-BF-C的大小为，且由题意知为锐角，则，
因此sin∠EGO=（1）证明：
，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.
（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，
由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC， 又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO， 又EF
面EFO，所以EF⊥BC.
（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而易得B（0,0,0），从而
，所以
.
,所以，因此,
（2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF. 因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；
cos30°=，由△BGO∽△BFC知，在△EOC中，EO=EC=BC·sin∠EGO=
，即二面角E-BF-C的正弦值为
.
，设平面BEF的法向量
，又
,因此tan∠EGO=
,从而
（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为
,由
得其中一个
，设二面角E-BF-C的大小为，且由题意知为锐
角，则
考点：1.线面垂直的判定；2.二面角.
视频
，因此sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值为.
19. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），以为居民的月用水量不超过的部分按评价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年
位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
，
，，
分成组，制成了如图所示的频率分布直方图
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有万居民，估计全是居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由； （3）若该市希望使【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）求出用水量在每一个分组内的频率，然后根据所有频率和为1可求得
（2）根据频率分布直方图得到
的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
吨时，
的居民越用的用水量不超过标准
（2）36000（3）估计月用水量月用水量标准为
100位居民中每人月均用水量不低于3吨的频率，然后进行估计可得结果．（3）先根据前5组、6组的频率和可确定
，然后再列式计算即可．
【详解】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在同理，用水量在由解得
.
位居民中每人月均用水量不低于吨的频率为
中的频率为中的频率分别为
，
，
，， ，
，
，
．
（2）由（1）得
.
由样本的频率分布可以估计全市万居民中月均用水量不低于吨的人数为
人.
（3）因为前组的频率之和为
，
而前组的频率之和为所以由解得
. .
，
，
所以估计月用水量月用水量标准为吨时，的居民越用的用水量不超过标准.
【点睛】提取频率分布直方图中数据的方法：
(1)组距、频率：频率分布直方图中每个矩形的宽表示组距，高表示积之和为1；
(2)众数：最高小长方形底边中点的横坐标；
(3)中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； (4)平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和； (5)参数：若纵轴上存在参数，则根据所有小长方形的面积之和为1，列方程即可求得参数值． 20. 已知椭圆
（
）与抛物线
（
）共交点，抛物线上的点到轴的距离等于
，
，面积表示该组数据的频率，各个矩形的面
且椭圆与抛物线的交点满足.
（1）求抛物线的方程和椭圆的方程； （2）国抛物线上的点做抛物线的切线【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）根据题意及抛物线的定义可得意得点的坐标为由直线
是抛物线
的准线，从而得到，又
，故得
，解得
后可得方程；由题
（2）
交椭圆于
两点，设线段
的中点为
，求的取值范围.
，然后根据椭圆的定义得到，于是可得椭圆的方程．（2）
，又
，可得
与抛物线相切并结合判别式可得
.根据根与系数的关系得到
；再根据直线与椭圆相交可得
.又
，故得
，于是得到的取值范围
是．
，
【详解】（1）∵抛物线上的点到轴的距离等于∴点到直线∴直线∴解得
. ，
．
的距离等于点到交点的距离，
的准线，
是抛物线
∴抛物线的方程为
由题意得椭圆的右焦点由∴又
得， ，
. ，
，左焦点，
可得点的坐标为由椭圆的定义得
， 又∴
，
，
，
∴椭圆的方程为（2）显然由由题意知由即其中∴又解得设则则又∴
.
， ，，得
.
， ， ， ，
，
．
，消去整理得
，解得
，消去整理得
，
．
，
，
，
，
.
∴的取值范围是.
【点睛】圆锥曲线中求最值或范围问题时，一般是先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围． 21. 已知函数（1）若函数（2）若函数（3）证明：【答案】（1）【解析】
试题分析：（1）先对函数
上的极值，利用函数
恒成立，进而可得调性，进而可得函数
在
在
求导，再对的取值范围讨论来判断函数
在
上的单调性，进而可得函数
在在
在上
（2）
.
（3）见解析
，
，其中
，（
）.
有极值，求的值；
在区间
上为减函数，求的取值范围；
有极值1，即可得的值；（2）由已知得：上恒成立，设
，对函数
求导，再判断函数
上的单
上的取值范围，即可得的取值范围；（3）由（2）可得，进而可得
，代入，化简，即可证.
试题解析：（1）解：∵∴①若函数②若当即函数
1分 ，则对任意的在，由时在
上无极值 2分
得，当单调递减，在
，
都有，即函数在上单调递减
时，
单调递增
∴函数∴∴
在处有极小值
4分
=
在，则
时，在时，9分
=
在区间
上为减函数
，
上恒成立，即函数
在
上单调递减 8分
上恒成立
在区间在
上为减函数且当
时，
（2）解法1：∵函数∴设当所以∴当∴
上恒成立 5分
7分
[解法2：∵函数∴对∵∴当当设∴∴
8分 9分]
时，（）式显然成立 6分 时，（）式
，易知
在
在
，
（）恒成立 5分
上恒成立
上单调递增 7分
综上得
（3）证法1：由（2）知，当
∵对任意的∴
有
时，10分
∴12分
∴
即14分
[证法2：先证明当令∴函数∴当
,则在区间时，11分
∵对任意的而∴
，
时， 对任意的
恒成立 10分
上单调递减
12分
14分]
考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性；3、不等式的恒成立；4、不等式的证明；5、放缩法.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系为.
（1）求的方程；
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线点为，求
.
（为参数）（2）
与的异于极点的交点为，与的异于极点的交
中，曲线的参数方程为
（为参数），是上一点，点满足
，点轨迹
【答案】（1）的参数方程为【解析】
【分析】 （1）由可得
可得到点．
，则由条件知
，由于在上，
利用代入法可得曲线的参数方程．（2）根据题意求出点
的极径，由此
【详解】（1）设
∴，即，
∴的参数方程为
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为∴射线射线∴
（为参数）．
，曲线的极坐标方程为
， ，
，
与的交点的极径为与的交点的极径为
.
【点睛】求解与极坐标有关的问题的主要方法
(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；
(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标． 23. 选修4-5：不等式选讲 已知
，不等式
的解集是
.
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若【答案】（Ⅰ）【解析】
试题分析：（1）通过讨论的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出的值即可；（2）根据不等式的性质求出
的最小值，得到关于k的不等式，解出即可得实数的取值范围.
试题解析：（1）由当
时，
， 的解集是
，得
，即
存在实数解，求实数的取值范围. （Ⅱ）
∵ 不等式
∴ 解得
当时， 的解集是
∵ 不等式
∴ 无解
∴ .
存在实数解，只需
.
，解得
或
（2）∵∴ 要使
∴ 实数的取值范围是