2013年考研数三真题及答案解析(完整版)

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、

１．当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）

（A）xo(x)o(x) （B）o(x)o(x)o(x) （C）o(x)o(x)o(x) （D）o(x)o(x)o(x)

【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当x0时f(x)xxo(x),g(x)xo(x)，但f(x)g(x)o(x)而不是

2332222222323o(x2)故应该选（D）．

2．函数f(x)x1x(x1)lnxx的可去间断点的个数为（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【详解】当xlnx0时，x1exxlnx1~xlnx，

limf(x)limx0x1x(x1)lnxx1x(x1)lnxx1x(x1)lnxxxxx0limxlnxxlnxxlnxx01，所以x0是函数f(x)的可去间断点．

1，所以x1是函数f(x)的可去间断点． 2，所以所以x1不是函数f(x)的

limf(x)limx1x1limx02xlnxx1limf(x)limx1limxlnx(x1)lnxx1可去间断点．

故应该选（C）．

３．设Dk是圆域D(x,y)|xy1的第k象限的部分，记Ik（ ）

（A）I10 （B）I20 （C）I30 （D）I40 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 所以I1I30,I222(yx)dxdy，则

Dk22,I4，应该选（B）． 33４．设an为正项数列，则下列选择项正确的是（ ）

（A）若anan1，则

(1)n1n1an收敛；

（B）若

(1)n1n1an收敛，则anan1；

（C）若

an1n收敛．则存在常数P1，使limnan存在；

np（D）若存在常数P1，使limnan存在，则

npan1n收敛．

【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．

此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件liman0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，

n选项（B）也不正确，反例自己去构造．

５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

【详解】把矩阵A，C列分块如下：A1,2,,n,C1,2,,n，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知ibi11bi22binn(i1,2,,n)，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时由于B可逆，即ACB，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．

11a12006．矩阵aba与矩阵0b0相似的充分必要条件是

1a1000（A）a0,b2 （B）a0，b为任意常数 （C）a2,b0 （D）a2，b为任意常数

2001a1200【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵A=aba与矩阵0b0相

0001a1000似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．

从而可知2b2a2b，即a0，b为任意常数，故选择（B）．

2227．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N(0,1),X2~N(0,2),X3~N(5,3)，

PiP2Xi2，则

（A）P1P2P3 （B）P2P1P3 （C）P3P2P1 （D）P1P3P2 【详解】若X~N(,)，则

2X~N(0,1)

X2PP2X2P11P2(2)1，2(1)1， 221225X352577P3P2X32P(1)1)33333，

7P3P213(1)23(1)0．

3故选择（A）．

8．设随机变量X和Y相互，且X和Y的概率分布分别为 X P Y P 则PXY2（ ） （A）【

0 1/2 -1 1/3 1 1/4 0 1/3 2 1/8 3P 1/8 1 1/3 1111 （B） （C） （D）

86212详

解

】

PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1，故选择（C）．

11111224246二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．设曲线yf(x)和yxx在点1,0处有切线，则limnf2nn ． n2【详解】由条件可知f10,f'(1)1．所以

10．设函数zzx,y是由方程zyxy确定，则

xz|(1,2) ． x，

则

【详解】 设

Fx,y,z(zy)xxyFxx,y,z(zy)xlzy)y,Fz(x,ny,z)x(zy)x1，(

当x1,y2时，z0，所以11．

z|(1,2)22ln2． x1lnxdx ．

(1x)2【详解】

1y0的通解为 ． 411r【详解】方程的特征方程为0，两个特征根分别为12，所以方程通

4212．微分方程yy解为y(C1C2x)e，其中C1,C2为任意常数．

13．设Aaij是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足

x2Aijaij0(i,j1,2,3)，则A= ．

T【详解】由条件Aijaij0(i,j1,2,3)可知AA*0，其中A*为A的伴随矩阵，从

而可知

A*A*AT31A，所以A可能为1或0．

n,r(A)n*T但由结论r(A)1,r(A)n1可知，AA*0可知r(A)r(A*),伴随矩阵的秩只

0,r(A)n1能为3，所以A1.

2X ． 14．设随机变量X服从标准正分布X~N(0,1)，则EXe【详解】

tte22tedt2edte2E(X)2e22e2． 2222所以为2e．

2三、解答题

15．（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小，求常数a,n． 【分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式． 【

详

解

】

当

nx0时，

c1xo1sx2o(x2)2，，

1cos2x1(2x)2o(x2)12x2o(x2)219cos3x1(3x)2o(x2)1x2o(x2)，

22所

以

1cosxcos2xcos3x1(1，

129xo(x2))(12x2o(x2))(1x2o(x2))7x2o(x2)22n由于1cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小，所以a7,n2． 16．（本题满分10分） 设D是由曲线y3x，直线xa(a0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10VxVy，求a的值． 【详解】由微元法可知

Vxydx0aa2a03xdxa3；

5a0235Vy2xf(x)dx206xdxa3；

7437由条件10VxVy，知a77． 17．（本题满分10分）

设平面区域D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成，求【详解】

22222xdxdyxdxdyxdxdyxdxdyxxdxxdyDD1D2032323x68x2xdxdy． D416． 3Q,（P100018．（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P． 【详解】

Q26000， （1）设利润为y，则yPQ(600020Q)40Q1000边际利润为y'40Q. 500（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．

经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令y'0，得Q20000,P6019．（本题满分10分）

设函数fx在[0,)上可导，f00，且limf(x)2，证明

x2000040.

10000（1）存在a0，使得fa1;

（2）对（1）中的a，存在(0,a)，使得f'()【详解】

证明（1）由于limf(x)2，所以存在X0，当xX时，有

x1． a35f(x)， 22又由于fx在[0,)上连续，且f00，由介值定理，存在a0，使得fa1; （2）函数fx在[0,a]上可导，由拉格朗日中值定理， 存在(0,a)，使得f'()20．（本题满分11分） 设Af(a)f(0)1．

aa1a01，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得ACCAB，并求出,B101b所有矩阵C．

【详解】

显然由ACCAB可知，如果C存在，则必须是2阶的方阵．设Cx3则ACCAB变形为x1x2， x4x2ax3x1x3x4ax1x2ax4011b， x2ax3x2ax30axxax1124即得到线性方程组，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方

x1x3x41x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下

001aa10aA|b101101a0011010b001111a00， 0001a000b所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得ACCAB．

10此时，A|b0001111000000010， 00x1111x0120所以方程组的通解为xC1C2，也就是满足ACCAB的矩阵

x010301x04C为

1C1C2CC1C1，其中C1,C2为任意常数． C2f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)221．（本题满分11分） 设

二

次

型

．

记

a1b1a2,b2．

ab33（1）证明二次型f对应的矩阵为 2；

（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 2y1y2． 【详解】证明：（1）

所以二次型f对应的矩阵为 2．

T证明（2）设A2，由于1,0

TTTTTT22则A2TT22所以为矩阵对应特征值12的特征T2，

向量；

A2TT2T，所以为矩阵对应特征值21的特征向

量；

而矩阵A的秩r(A)r(2)r(2)r()2，所以30也是矩阵的一个特征值．

故f在正交变换下的标准形为 2y1y2． 22．（本题满分11分）

22TTTT23x2,0x1设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fX(x)，在给定

0,其他3y2,0yx,． Xx(0x1)的条件下，Y的条件概率密度为fY(y/x)x3X0,其他（1）求X,Y的联合概率密度fx,y； （2）Y的的边缘概率密度fY(y)．

【详解】（1）X,Y的联合概率密度fx,y： （2）Y的的边缘概率密度fY(y)： 23．（本题满分11分）

23ex,x0设总体X的概率密度为f(x;)x，其中为为未知参数且大于零，

0,其他X1X2,Xn为来自总体X的简单随机样本．

（1）求的矩估计量； （2）求的极大似然估计量．

【详解】（1）先求出总体的数学期望E（X）

E(X)xf(x)dx02x2exdx，

1n1n令E(X)XXi，得的矩估计量XXi．

nn1ni1（2）当xi0(i1,2,n)时，似然函数为

xL()3eixii1n2en3xii12nn1xi1i，

n1取对数，lnL()2nlnxi1in3lnxi， i1dlnL()2nn1令0，得0，

di1xi解得的极大似然估计量为．