山西省忻州市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题及答案(理)

忻州市第一中学20152016学年高二上学期期末考试

数学(理)

一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分) 1. 设集合A1,0,1,2,3，B{x|yln(x22x)}，则AB=（）

A. 3 B. 2,3 C. 1,3 D. 0,1,2 2. 已知圆锥底面半径为4，高为3，则该圆锥的表面积为（） A. 16

B.20

C. 24

D. 36

3. 执行如图所示的程序框图，若输入x8，则输出y的值为（）

A.315 B. C. D. 3 422x4. 函数f(x)|log2x|的零点个数为（） （12） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

x2y265. 已知双曲线221(a0,b0)的离心率为，则此双曲

ab2线的渐近线方程为（）

A. y2x B. y2x C. y12x D. yx

226. 设，，是三个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）

A. 若，，则 B. 若m∥，n∥，，则mn C. 若m,，则m∥ D. 若m,n,则m∥n 7. 下列命题中，真命题是（）

A. x0R,ex00

B. xR,2xx2

C. a1,b1是ab1的必要不充分条件

→→→→→→→→

D. 设a,b为向量, 则“|ab|=|a||b|”是a∥b的充要条件

8. 过圆x2y24外一点P作该圆的切线，切点为A、B，若APB60,则点P的轨

0迹是（）

A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线

9. 已知向量a（cosxsinx,2cosx)，b(cosxsinx,sinx（)xR)，则函数

f(x)(ab)21是（）

A. 周期为的偶函数 B. 周期为的奇函数 C. 周期为

的偶函数 D. 周期为的奇函数 224 3 正视图 4 侧视图 10. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的所有棱中最长的是（）

A.52 B.41 C. 42 D. 5

11. 若点P在抛物线yx2上，点Q在圆x2(y4)21上，则|PQ| 的最小值是（）

A.

俯视图

14-1 B. 215-1 C. 2 D. 25-1

x2y212. 已知椭圆E:221(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B

ab两点.若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为（）

x2y2x2y2x2y2x2y21B. 1 C. 1 D. 1 A.

1362727184536二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)

13. 过抛物线y28x的焦点作直线交抛物线于A(x1,x2)、B(x2,y2)两点，若AB16， 则x1x2_________.

14. 边长为42的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上，则四棱锥

OABCD的体积是_________.

15. F1,F2是双曲线的两个焦点，B是虚轴的一个端点，若△F1BF2是一个底角为300的等腰 三角形，则该双曲线的离心率是_________.

16. 将边长为2正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个判断： ①ACBD② AB与平面BCD所成60角③ABC是等边三角形 ④若A、B、C、D四点在同一个球面上，则该球的表面积为8 其中正确判断的序号是_________.

三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17. (本小题满分12分) 在△ABC中，b2，cosC37，△ABC的面积为． 44

（1）求a的值； （2）求sinA值.

18. (本小题满分12分)

在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a6S63;数列{bn}满足：

bn12bn，b2b420.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn2an，求数列{cn}前n项和Tn.

19. (本小题满分12分)

某地区有100名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是：第1组：[75,80)，第2组：[80,85)，第3组：[85,90)，第4组：[90,95)， 第5组：[95,100]．

（1）求图中a的值，并估计此次考试成绩的中位数（结果保留一位小数）；

（2）在第2、4小组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取2人进行面试， 求至少有一人来自第2小组的概率.

20. (本小题满分12分)

已知圆C：(x－1)2＋(y－2) 2=25,直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0(m∈R) （1）证明：直线l恒过定点，并判断直线l与圆的位置关系；

（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短弦的长度.

21. (本小题满分12分)

如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD,AD//BC，BAD90,

BC1,ADPA2AB2,E,F分别为PB,AD的中点.

（1）证明：ACEF；

（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值.

P

EAFD

BC

22. (本小题满分12分)

x2y2已知椭圆C:221(ab0)的一个焦点与抛物线y242x的焦点重合，连接该

ab椭圆的四个顶点所得四边形的面积为23. （1）求椭圆C的方程；

（2）直线l:ykxm(k0)与椭圆C交于不同两点M、N，设椭圆C位于y轴负半轴上的短轴端点为A，若三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，求m的取值范围；

附加题（每小题5分，共15分）

x2y21的左、右焦点分别为F1、F2，若点F2关于一条渐近线的对称 23. 已知双曲线49点为M，则|F1M|=____________.

24. 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2b2c，则cosC的最小值为 ______.

25. 设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sinx.当0x时，f(x)0，则

f(

23)=____________. 6

参及评分标准

一．选择题(每小题5分，共60分)

1-5: CDBCC 6-10: DDBDB 11-12:BA 二．填空题(每小题5分，共20分) 13. 12 14. 32 15.

6 16. ①③④ 2三．解答题(本大题共6小题，共70分) 17．（10分）解：(1)∵cosC37且0C∴sinC ………2分 44∵S17∴a1 ………5分 absinC24222(2) 由余弦定理得：cab2abcosC2∴c2 ………8分

由正弦定理得：

ac14得sinA ………10分 sinAsinC818．（12分）解：（1）设等差数列{an}的公差为d. 则a15d3解得

6a115d3

∴an2(n1)3n ………3分 ∵bn12bn∴数列{bn}是公比为2的等比数列 ∵b2b42b18b120得：b12

∴bn22n12n ………6分 （2）cn23ncn118 ∵

2ncn21的等比数列 ………9分 2∴数列{cn}是首项为4，公比为

n（41（-1n2）)∴Tn8(12) ………12分 11219．（12分）解：（1）由（0.01+0.02+a+0.06+0.07）×5=1

得：a=0.04 ………3分 设此次考试成绩中位数的估计值为x：0.05+0.2+(x-85)×0.07=0.5 x≈88.6 ………6分 （2）由频率分布直方图知：第2、5小组中的人数分别为20,30

∴从第2、4小组中抽取的人数分别为2,3,分别设为a,b和c,d,e………8分 这5人中随机选取2人所有基本事件为：（a,b）,(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d), (c,e),(d,e)共10个，………10分

其中至少有一个来自第2小组的基本事件为（a,b）,(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e) 共7个 故至少有一人来自第2小组的概率P7………12分 1020.(12分)解：（1）直线l的方程：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0经整理得：

（2xy7)m(xy4)0

2xy70mR解得x3,y1

xy40即直线l恒过定点D(3，1)………4分

2把D点的坐标代入圆C的方程：（3-1）(12)225，所以点D在圆内

直线l经过圆C内的一点D，故直线l与圆C相交. ………6分 (2) 当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短

1,2），D(3，1)kCD由C（1 2所以直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的斜率为2， 此时直线l的方程为y12(x3),即2xy50………9分 又|CD|5,所以，最短弦长为225-545

所以，直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2xy50， 最短弦长为225-545………12分

21．（12分）解:(1)易知AB,AD，A P两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB,AD, AP所在 直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则：A(0，0，0)，B(2,0，0)，C(2,1，0)，

D(0，2，0),P(0，0，2),E(22，，,0). ………3分 0，1),F(01，0) ，1，1),AC(2,1因为ACEF0AC·所以ACEF，即ACEF ………6分

从而EF((2)PC(2,1，2)，PD(0，2，2)

22

设n(x,y,z)是平面PCD的一个法向量，则

nPC0,2xy2z0,nPD0,2y2z0.即

令zzP2，则n(1,2,2) ………9分

EAFDy设直线EF与平面PCD所成角为，则

sin|cosn,EFnEF|n||EF|1 5xBC1. ………12分 522.(12分) 解：(1) 抛物线y242x的焦点为， ………1分 （2,0）即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为

c2a3解得 12a2b23b12x2y21 ………4分 故所求椭圆C的方程为3y＝kx＋m2

（2）由x得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0， 2

3＋y＝1

Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)(3m2－3)>0，得m2<3k2＋1，①

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN的中点为P(x0，y0)， 3（m2－1）6mk

则x1＋x2＝－2，x1x2＝，

3k＋13k2＋1

x1＋x23mkm

则x0＝＝－2，y0＝kx0＋m＝2， ………8分

23k＋13k＋1y0＋1m＋3k2＋1

所以kAP＝＝－ x03mk

∵三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，AP⊥MN， m＋3k2＋11

则－＝－， ………10分

3mkk得2m＝3k2＋1，代入①得m2<2m，求得0＜m＜2.

12m－111

（，2）又k2＝>0，得m>，从而3222附加题：23. 4 24.

16-2 25.

24