四川大学期末考试试题(闭卷)2018-2019春微积分

课程号：201138040

适用专业年级： 课序号：01~50 学生人数： 课程名称：微积分（I）-2 任课教师： 成绩：

印题份数： 学号： 姓名： 考 生 承 诺 我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修 订）》，郑重承诺： 1、已按要求将考试禁止携带的文具用品或与考试有关的物品放置在指定地点； 2、不带手机进入考场； 3、考试期间遵守以上两项规定，若有违规行为，同意按照有关条款接受处理。 考生签名： 一．填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 曲面 z  2x 3  y2 在点(1,1,1)处的切平面方程是 ( ). ). 2. 设 z  ln x 2  y 2  arctan , 则

y x z  ( x x 2, y1 2 2 3. 设 f ( x, y)  1  x y 

f ( x, y)dxdy ,  x  y 1 22则 f ( x, y)dxdy  (  x y1 2 2 ).





cos x  2,  x  04. f (x) 是周期为2的周期函数， f (x)   sin x  2, 0  x  设s(x) 是其傅里叶级数的和函数, 则s()  ( 5. 2 y y '' y ' 1 的通解是 ( 二阶微分方程 ). ). 6．设ez  x  2xy  z  1  0 确定的函数 z  z( x, y) ，求(1) 2 2 二．计算题（每小题 7 分，共 28 分） z , y (2)  2 z yx ( 0,0) . 7. 空间区域由 x y 1, z  0 和 z  4  y 围成, 求它的表面积.

第 1 页，共 2 页试卷编号：

8.

x x (esin y  2 y)dx  (ecos y  3)dy , I  计算曲线积分  L其中 L 为由点(2,0)到(1,2)再到(0,0)的折线段. 9.

(x)cosx  2 (x) 满足设可导函数0x (t)sintdt  x 1, 求(x) .

三. 解答题（每小题 9 分，共 27 分）  x k y  2 2 , ( x, y)  (0, 0) 10. 设二元函数 f ( x, y)  4 x y,  0, ( x, y)  (0, 0) (1) 当k 为何值时 f ( x, y) 在点(0,0)处连续; (2) 当k 为何值时 f ( x, y) 在点(0,0)处可微.

11. 设 f (x)  x  arctan x , (1)把 f (x) 展开成 x 的幂级数; (2)求 f (2019) (0) . 21 x

 y   3 y  2 y   xex 的特解. 12. 求初值问题 y(0) y '(0)  1 四. 证明题（7 分）

n1 1 (1)条件收敛于ln 2 . 13. 证明级数n n1 

五．应用题（每小题 9 分，共 18 分） 14. 求曲面 x y 4 x  4 y  7  0 和平面 x  z  8 交线上的点到 2 2 y 轴的最长距离和最短距离. 15. 设空间曲面： z2  x2  y2 (1  z  2 部分) ，方向指向外侧， 计算曲面积分 I   cos( y  z)dydz  y2dzdx  ( x  z2 )dxdy .

第 2 页，共 2 页

试卷编号：

2018-2019 春微积分（I）-2 A 卷参考答

案

一．填空题(每小题 4 分，共 5 分)

1．曲面 z  2x 3  y2 在点(1,1,1)处的切平面方程是 (  3  0 ).

6x  2 y  z 解: dz  6x2dx  2 ydy , 6x  2 y  z  3  0

2. 设 z  ln

解 : y

 (  arctan , 则 z x  x x  2, y 1 x

y 2 3 5

).



z 1 2x 1  y x  z   , 

x 2 x 

2

yx 2 2

y

2

1  x2

y x 2  y 2



3

x x  2, y 1 5

2 x, y)dxdy , 3 设 f ( x, 1  x  f ( x  y yy) 

2

2

1

则

x y1

2 

2 f ( x,

y)dxdy 

(

2 3(1)

2 k 3 

).

解:

x2  y2 1 

 k )dxdy  f ( x, y)dxdy  k  ( 2  1  x  x2  y2 1

y cos x  2, x  0

4. f (x) 是周期为2的周期函数， f (x)  , 

sin x  2, 0  x  1

设 s(x) 是其傅里叶级数的和函数, 则 s()  (  ).

2

1 1解: s()  [ lim f ( x)  lim f ( x)]  

x 2 2 x 





5. 二阶微分方程 y y '' y  1 的通解

'2

是(

y2  x2  c x  c ).

1 2

解: d ( yy ')  d

第 3页

(x  c1 ),

y2  2 (  x2  x  c)dx yy '=x  c,

1

2

二．计算题(每小题 7 分，共 28 分)

6. 设ez  x  2xy  z  1  0 确定的函数 z  z( x, y) ，

2

z  z 求(1) y , (2)

yx 解：. 0,0) (1)方程两边同时对 y 求偏导：

第 4页

(

(1) (e 1) z z  2

…………………………………………..(2 分)

x  0,

y

, .............................. (1 分)

y ez  1

z 

2x (2) 方程 两边再同时对 x 求偏导：

z z z  2z   (e (2) e 2 1)  0 x y xy z …………………………..(2 分)

把 x=0,y=0 代入原方程可得 z  0 ，

z 2x  0 , …(1 分)  z y e  ( 0,1 0) 



1 ................ (1 分)

 2 z 

再代入方程(2), 得 ( 0,xy 1

 2

e z 

7. 空间闭曲面 由 x2  y2  1, z  0和z  4  y 围成, 求它的表面积.

解: S  

x2  y2 1



x2  y2 1

(4  y )ds  1 1dxdy …………………………..(4 分)

  8

2（9 2）……………………………..…………..(3 分)

8. 计算曲线积分 I  L (ex sin y  2 y)dx  (ex cos y  3)dy ,

其中 L 为由点 A:(2,0)到点 B;(1,2)再到原点 O(0,0)

的折线段.

P  (ex sin y  2 y)  ex cos y  2 ,

解：y y 

Q (ex cos y  3)  ex cos y ,

x x P Q  , 曲线积分与路径有关 .................... (1 分) x y

补充有向线段 OA : y=0, x 从 0 到 2. 由格林公式,得 (1

分)

第 5页

Q P (    )dxdy  2 dxdy  4, ABOA x y DD

………………………… (3 分)

OA x  0  dx  (e 3)  0  dx  0 , ............................ (1 分) 

0

2

因此I 

AMOA   4 0  4. ………………………… (1 分)

OA

第 6页

9. 设可导函数(x) cos x  2 (x) 满足

x

(t)sin t dt  x 1, 求(x) .



0

解：设 y (x) , 两边对 x 求导,得

………………………… (2 分)

y 'cos x  y sin x  1

其通解为 y  c cos x 

………………………… (4 分)

sin x.

因为 x  0时, y  1, 得c  1. 所以 y  cos …………(1 分)

x  sin x.

三. 解答题(每小题 9 分，共 27 分)

 x k y , ( x, y)  (0, 0)  2 2

10. 设二元函数 f ( x, y)  . 4 x y



 0,

( x, y)  (0, 0)

(1) 当k 为何值时 f ( x, y) 在点(0,0)处连续;

(2) 当k 为何值时 f ( x, y) 在点(0,0)处可微. 解：(1)令 x  cos, y  sin,

cossinlim f ( x, y)  lim k 1 x0 0 1 3cos2 y0

cossin 因为, 有界,

1 3cos2 所以当k  1时 f ( x, y) 在点(0,0)处连续 ............. (3 分)

(2)根据偏导数定义

h0

f (0, 0)  lim 0) x

f (h, 0)  f (0,  0h

f (0, 0)  lim f (0, k )  f (0,

y k 0 0)  0k

…………………………… (2 分)

讨论极限

[ f (x, y)  f (0, 0)] [ f x(0, lim 0)x  f x(0, 0)y]

第 7页

………… (2 分)

0

cossin lim k 2

0 1 3cos2 所以当k  2 时 f ( x, y) 在点(0,0)处可微 ............ (2 分)

第 8页

11. 设 f (x) x 

1

 arctan x , (1)把 f (x) 展开成 x 的幂级数; (2)求 f (2019) (0) .



x ,

x2

1



n n x 

(1,1)

解:  1

 (1)

n0

…………………… (1 分)



x 2n x (1(1x1 x 2n n 1 x2 n0 n0 n,) ) 1 1 1 n 2n 

x 

(1,1) )dx

…………………… (2 分)

arctan x  0 2 dx  0 1

( (1) x  1)(

n n0



x2n1 , x [1,1]

…………………… (3 分)

f )   arctan x 2n  2 (1)n x2n1

 (x





x n0

2n 1

1 x2

f (2019) (0)  2019!a 2019

n0

 2n 1

…………………… (1 分)

…………………… (2 分)

 y   3 y  2 y   xex 12 求初值问题

y(0) y '(0) 

 1

2020

 2019!  2020  2018!

2019

的特解.

解：对应特征方程为r 2  3r  2  0 ，其特征根为r  1, r  2

1 2

x 所以齐次方程的通解为 y  C e  C e 2 x ................................. (3 分) 1 2

因为 1 是单根, 设非齐次方程特解为 y  x(ax 

b)e x

……… (2 分)

代入原方程，化简得a  1

y  (

1

, b  1 . 所以 x 2  x)e x ， .... (2 分)

x 2

2

…………………… (1 分)

1 2 ( x  从而原方程的通解为 y  C e 2 C e 1

2 x x )e x

2

第 9页

由 y(0)  y '(0)  1 , 得

c1  1, c2  2

所以初值问题的特x 解为 y  ( 1

2

2

 x  2)e x  e 2 x ........................... (1 分)

四. 证明题(7 分)



.31证明级数

(1)n1

1

条件收敛于ln 2 .

n1

n

第 10页

 n1 1  1

证 明: (1)

n1

n = 是调和级数, 发散;

n1

n …………………… (1 分)

1

又由莱布尼茨判别法, 交错级数(1) n1 收

敛,n1



…………………… (1 分)

n



则(1)

n1

n1

1

条件收敛.

n …………………… (1 分)



考虑幂级数 s(x) 

n1 1 (1)

1, ....................................... (1 分) xn ,收敛半径为

n n1

在绝对收敛区间为(-1,1)内,



s '(x) 

n1

(1)

s(x) 

0

1 (x 

n ln(1  x)

1 dx x 

n1

x ) '  (1)

n1

n n1

1 n1  , x1 x

…………………… (3 分)

1

x1

因为 x=1 时, 级数收敛,则 s(1)  lim ln(1 x) …………………… (1 分)  ln 2. 



五．应用题(每小题 9 分，共 18 分)

.41求曲面 x2  y2  4x  4 y  7  0 和平面 x  z  8 交线上的点到 y 轴的最长距离和最短距离.

解：点( x, y, z) 到 y 轴的距离为

x2  . z2…………………… (2 分)

2 2

令F  x2  z2  ( x y 4x  4 y 2 7)  ( x  z  8) , (2 分) 1

F  2x  (2x  4)    0

1 2  x y  4)  0 Fy  1 (2

F  2z    0  z 2 2 2

F  x  y  4x  4 y  z  7  0

…………………… (2 分)

第 11页

1

 F  x  z  8

 0

 2

(1分) 解得(x, y, z)  (1, 2, 7)或(3, 2, 5) ....................................................................

2 和最小值 34 .……… (2 分) 将这两个点分别代入目标函数，

可得最大值5

第 12页

1 5.设空间曲面： z2  x2  y2 (1  z  2部分) ，方向指向外侧，

2计算曲面积分 I   cos( y  z )dydz  y dzdx  ( x  

z 2 )dxdy .

解：作辅助面1： z  1, ( x, y1)  D : x 2  y 2  1 ,方

向指向下侧;

2 2

辅助面2： z  2, ( x, y2)  D : x  y  4 ,方向指向上侧 (2 分)

+1+2 围成空间闭区域 ,方向指向外侧, 根据高斯

公式, 有  2zdxdydz  (2 y  



 1 2





2z)dxdydz 2 152

    2

2 zdz dxdy  2z  z dz …………………… (4 分) 1 Dz 1

, 2



1



 x2  y2  1 ( x  1)dxdy  ,

 x2  y2  4 ( x  4)dxdy  16,

1

…………………… (1 分) …………………… (1 分)



2

 I  

第 13页

1 2

第 14页

 

第 15页

  2

第 16页



15

2

  16  .

15

2

第 17页

.……… (1 分)

第 18页