2015IMC国际数学竞赛初三组决赛详解(独家发布)

初三年级初赛试题

姓名_____________ 学校_____________ 得分____________ 一、填空题Ⅰ（每小题6分，共60分）

1. 已知a5a4ba4ab10，且3a2b1，则a2b2___________；

答案：25

解答：a5a4ba4ab1(a41)(ab1)0，因为a410，所以ab10． ab10a3，所以a2b232(4)225． 3a2b1b4

2. 如图，小正方形方格的面积为1，一条抛物线过A、B、C三点，且B点坐标为

（4，2），那么抛物线的解析式为___________；

13答案：yx2x

42B A C 1a16a4b242yaxbx解答：抛物线过（4，2）、（2，2）、（0，0），设抛物线为，得到，

34a2b2b213 所以解析式为yx2x．

42

3. 一个三角形的两条高分别为3和9，若第三边上的高也是整数，则其长为________；

答案：3或4

2S2S2S2S2S214，， 39h399h9 2.25h4.5，第三边上的高是整数，故可以为3或4．

A

4. 如图，已知A、B、C分别是圆O上的点，B60°，P是直径CD的延

B 长线上的一点，且AP是 圆O的切线，若AC33，则PD的长为P C D O ________； 答案：3

解答：连结AD、OA，则ADCB60°，则△AOD为等边三角形，

A 从△ACD为含60°角的直角三角形，所以AD3，从而得到PD3．

B

P C D O

解答：利用面积不变，高与对应的底成反比例，设面积为S，得到

5. 一个边长均为整数的直角三角形，其周长的数值恰好等于面积数值的整数倍，那么这样的三角形共有

___________个； 答案：3

a2b2c2解答：设直角三角形的三边为a、b、c，且abc，1

abckab2 (k,a,b,c)(1,5,12,13)或(1,6,8,10)或(2,3,4,5) 这样的三角形共3个．

6. 一次函数ykx1的图象绕点（0，1）旋转一定角度与反比例函数yk的取值范围是___________； 1答案：k且k0

82的图象有公共点，则实数xykx1k012解答：，方程有解，所以kxx20k且k0． 218k0y8x

(mn)20157. 若10+53的小数部分是m，1053的小数部分是n，则___________；

(mn15)2答案：

1 21212015m537解答：，mn1，mn25315，原式

253n85321． 212

8. 如果整数x满足多项式2x2x36的值是一个质数的平方，那么整数x的值是____________；

答案：5或13

解答：2xx36(2x9)(x4)，根据题意x5或x13．

9. 已知点C、D在线段AB同侧，满足ADBACB60°，ABD

1CBD90°，2A 2D C B D AC4，则SABDSABC___________； 答案：43 解答：如图，作D关于直线AB的对称点E，连结AE、BE，可以得到△ACE32为等边三角形，所求为443．

4

C A B E 10. 把一个质地均匀的正方体骰子先后掷两次，若两次正面朝上的点数分别为a、b，则二次函数yax2bx的图象与直线y1有两个不同交点的概率是___________； 答案：

17 36解答：两个函数图象有两个不同交点等价于关于x的方程ax2bx1有两个不等实数根，

(b)24ab24a0． 1）当a1时，b3、4、5、6； 2）当a2时，b3、4、5、6； 3）当a3时，b4、5、6； 4）当a4时，b5、6； 5）当a5时，b5、6； 6）当a6时，b5、6．

所以，符合条件的情况共有17种，产生的概率为

二、填空题Ⅱ（每小题8分，共40分）

11. 如图，已知直线l1与l2的夹角为20°，交点为O，P为l1上不同于O的任一点，作P关于l2的对称点

P1，再作P1关于l1的对称点P2，P2关于l2的对称点P3，P3关于l1的对称点P4，……，依次下去，直

1717． 6636P 到Pn（n为正整数）与P重合为止，则n___________； 答案：17

O l1 l2

000解答：根据题意POP1POP240，POP3POP480，POP5POP6120，…，

0 POP17POP18360，所以n17．

12. 不论m为何实数，抛物线yx22mxm22m1的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式为

___________； 答案：y2x1

xm解答：顶点坐标为（m，2m1），，所在直线为y2x1．

y2m1

13. 如图，P是正方形ABCD内的一点，且PA11，PB1，PC13，则

APB___________°； 答案：135

A D P B C 解答：如图，将△ABP绕B点顺时针旋转90°到将△CBE位置，连结PE，则△BEP为等腰直角三角形，得到PE2，BEP45°，△PEC的边满足两边平方

A D 和等于第三边的平方，且PC最长，根据勾股定理逆定理，得到PEC90°，APB45°90°135°．

B

14. 已知不全相等的实数a、b、c满足

P C E abc1113，0，那bccaaba1b2c3222么(a1)2(b2)2(c3)2的值为___________； 答案：36

解答：1）从第一个条件知a3b3c33abc0(abc)(a2b2c2abbcca)0 1 (abc)(ab)2(bc)2(ca)20 2 又知a、b、c不全相等，得到abc0

2）从第二个条件知：(a1)(b2)(b2)(c3)(a1)(c3)0 所以(a1)+(b2)(c3)6

(a1)2+(b2)2(c3)2+2(a1)(b2)(b2)(c3)(a1)(c3)36 (a1)2(b2)2(c3)236．

15. 已知△ABC中，AB2，BC32，ABC75°，M是△ABC内的一动点，

则MAMBMC的最小值为___________； 答案：34 解答：如图，分别以BC、BM边向下作等边△BCD、等边△BME，连结ED、AD，可得△BMC≌△

BED，

所以MAMBMCMAMEEDAD，当且仅当M、EA 在线段AD上时取“”．

H M 作AHBD于H，可得△ABH为等腰直角三角形， AD(2)2(42)234．

B E

C

B A M C

D