圆知识点及练习题

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫

中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内  dr  点C在圆内； 2、点在圆上  dr  点B在圆上； 3、点在圆外  dr  点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离  dr  无交点； 2、直线与圆相切  dr  有一个交点； 3、直线与圆相交  dr  有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1） 无交点  dRr； 外切（图2） 有一个交点  dRr；

相交（图3） 有两个交点  RrdRr； 内切（图4） 有一个交点  dRr； 内含（图5） 无交点  dRr；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径 ②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC弧BD

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④ 弧BA弧BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴AOB2ACB 2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角 ∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵C90 ∴C90 ∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中，

∵四边形ABCD是内接四边形

∴CBAD180 BD180 DAEC

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵MNOA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PAPB PO平分BPA

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P， ∴PAPBPCPD

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O中，∵直径ABCD， ∴CEAEBE

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线

2 ∴ PAPCPB

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴PCPBPDPE

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；

（2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：OD:BD:OB1:3:2；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:3:2.

2十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：lnR； 180nR21lR （2）扇形面积公式： S3602n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

2 S表S侧2S底=2rh2r

（2）圆柱的体积：Vrh

（2）圆锥侧面展开图

2（1）S表S侧S底=Rrr

2（2）圆锥的体积：V12rh 3选择题

1. 若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（ ）

A. 5 B. 1 C. 1或5 D. 1或4

2. ⊙O1 和⊙O2 的半径分别为1和4，圆心距O1O2＝5，那么两圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内

含 C. 外切 D. 外离或内含

3．如果半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（ ）

A. 2个 B. 3

个 C. 4个 D. 5个

4．若两圆半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d，且R＋d－r＝2Rd，则两圆的位置关系是（ ）

A. 内切 B. 外

2

2

2

O A M B

切 C. 内切或外切 D. 相交

5. 如图，⊙O的直径为10厘米，弦AB的长为6cm，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）

A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜5

6. 已知：⊙O1和⊙O2的半径是方程x－5x＋6＝0 的两个根，且两圆的圆心距等于5则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ） A.

相

交

B.

外

2

离 C. 外切 D. 内切 7. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC＝2，⊙A与BC相切，则图中阴影部分的面积为（ ）

A.

1

－

2 B. 1－

 C. 1－

3 D. 1－ 451 8. 如图，点B在圆锥母线VA上，且VB＝VA，过点B作平行于底面的平面截得一个小

3圆锥，若小圆锥的侧面积为S1，原圆锥的侧面积为S，则下列判断中正确的是（ ）

11 A. S1＝S B. S1＝S C. S1＝

3411S D. S1＝S 69填空题

1. 若半径分别为6和4的两圆相切，则两圆的圆心距d的值是 _______________ 。

2. ⊙O1和⊙O2 的半径分别为20和15，它们相交于A，B两点，线段AB＝24，则两圆的圆心距O1O2＝____。

3. ⑴⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的半径为4cm，圆心距为6cm，则⊙O2的半径为__________； ⑵⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的半径为6cm，圆心距为4cm，则⊙O2的半径为__________。 4.⊙O1、⊙O2和⊙O3是三个半径为1的等圆，且圆心在同一直线上，若⊙O2分别与⊙O1，⊙

O3相交，⊙O1与⊙O3不相交，则⊙O1与⊙O3圆心距 d的取值范围是_____。

5. 在△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点O是△ABC的外心，现在以O为圆心，分别以2、、3、为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是_____________。

6.如图在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为P，∠BAD＝30°，则∠AOC的度数是 ________度。

7.在Rt△ABC，斜边AB＝13cm，BC＝12cm，以AB的中点O为圆心，为半径画圆，则直线BC和⊙O的位置关系是________________。

8.把一个半径为12厘米的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是___________。

9.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为 ________ cm（结果保留π）。

10. 一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 。

解答证明题

1. 已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，过点A的直线分别交两圆于点C，D点M是CD的中点直线，BM分别交两圆于点E、F。

⑴求证：CE△ABC的三边长分别为6、8、10，并且以A、B、C三点为圆心作两两相切的圆，求这三个圆的半径。

3.如图所示，⊙O1和⊙O2相切于P点，过P的直线交⊙O1于A,交⊙O2于B，求证：O1A∥O2B。

2

4.如图，A为⊙O上一点，以A为圆心的⊙A交⊙O于B、C两点，⊙O的弦AD交公共弦BC于E点。

（1）求证：AD平分∠BDC

2

（2）求证：AC＝AE·AD

B E D A C O

5. 如图，⊙O的半径OC与直径AB垂直，点P在OB上，CP的延长线交⊙O于点D，在OB的延长线上取点E，使ED＝EP。 （1）求证：ED是⊙O的切线；

（2）当OC＝2，ED＝2时，求∠E的正切值tanE和图中阴影部分的面积。

6.两圆相交于A、B，过点A的直线交一个圆于点C，交另一个圆于点D，过CD的中点P和点B作直线交一个圆于点E，交另一个圆于点F，求证：PE=PF。