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圆压轴题模型题（一）
前言：与圆相关的证明与计算的综合解答题， 常常位于很多省市中考题中的倒数第二题
的地点上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。 一般都会在固定习题模型的基础上变化
与括展，本文联合最近几年来各省市中考题， 整理了这些习题的常有的结论，破题的重点， 常用
技巧。掌握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮生解决问题。
种类1 弧中点的运用
C⌒
D 在⊙O中，点C是AD的中点，CE⊥AB于点E.
P
F
A
（1）在图1 中，你会发现这些结论吗？ E
O
①AP＝CP＝FP；
②CH＝AD；
H
②AC2＝AP·AD＝CF·CB＝AE·AB.
（2）在图2 中，你能找出全部与△
ABC相像的三角形吗？
（图1）
【典例】
（垂足为点2018·湖南永州）如图，线段 AB为⊙O＝
，CD⊥AB，
（1）求证： D，连结CF＝BFBE；，弦BE与线段CD订交于点的直径，点 C，E在⊙O上， F．
（2）若cos∠ABE＝ ，在AB的延伸线上取一点 M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：
直线CM是⊙O的切线．
【变式运用】
1.（2018·四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，
AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E 且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若 ＝ ，
（图1-2）
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B
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则 ＝．
2.（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且
均分∠BAD和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以AD为直径的半圆交 DF交AE于G，已知CD＝5，AE＝8，求
FG
AE与DE分别 AB于F，连结
值。
AF
A
D E
C
G
F B
图9
（图1-3）
3.（2017·泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是
?
AD的中点，弦CE⊥AB
于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。
(1)求证：P是线段AQ的中点； (2)若⊙O的半径为5，AQ＝
，求弦CE的长。
4．（2016?泸州）如图，四边形 ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD订交于点
2
且DC＝CE?CA． 1）求证：BC＝CD；
2）分别延伸AB，DC交于点P，过点A作 AF⊥CD交CD的延伸线于点 F，若PB＝OB， CD＝ ，求DF的长．
E，
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5．（2015?泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延伸线交于点E，AD与BC交于点F．
1）求证：四边形ABCE是平行四边形； 2）若AE＝6，CD＝5，求OF的长．
如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上的两点，AB＝13，AC＝5. 如图①，若P是弧AB的中点，求PA的长； 如图②，若P是弧BC的中点，求PA的长.
如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的均分线交⊙O于点D，过点D作⊙O
的切线PD交CA的延伸线于点 1）求证：DP∥AB；
2）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
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圆压轴题模型题（二）
前言：与圆相关的证明与计算的综合解答题，
的地点上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。 常常位于很多省市中考题中的倒数第二题 一般都会在固定习题模型的基础上变化
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与括展，本文联合最近几年来各省市中考题， 整理了这些习题的常有的结论，破题的重点， 常用
技巧。掌握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮生解决问题。
种类2 切割线互垂
在Rt△ABC中，点E是斜边AB上一点，以EB为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC订交于点F.
DO
BF
D
A
F
C
E
O
B
C
A
E
O B
图(1)
图(2)
(1)AD=20,AE=10, 求r; (3)AC=32，AE=10，求r.(2)AB=40,BC=24, 求r.
(4)∠ABD=∠CBD.
（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x,y的代数式表示线段
（ 3）若BE＝8，sinB＝5
13，求DG的长.
【变式运用】
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C
图(3)
2 (5)DB=BCBE; 2
(6)AD=AEAB.
【典例】 （2018·四川成都）如图，在
Rt△ABC中，∠C＝90°，AD均分∠BAC交
BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结OF交AD于点G. （1）求证：BC是⊙O的切线；
A
AD的长；
O
G
E
F
B
C
D
D A
F
E
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1.（2018泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点 ⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．
C作⊙O
的切线交
AB
的延伸线于点
P，
1）求证：CO2＝OF?OP；
（2）连结EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4
，PB＝4，求GH的长．
（2018·云南昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC 均分∠BAD，连结BF． 1）求证：AD⊥ED；
2）若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．
（ （2018·江苏苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，
垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延伸DA交⊙O于点F，连结FC，FC与AB订交于点G，连结OC． 1）求证：CD＝CE；
2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．
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圆压轴题模型题（三）
前言：与圆相关的证明与计算的综合解答题， 常常位于很多省市中考题中的倒数第二题 的地点上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。 一般都会在固定习题模型的基础上变化
与括展，本文联合最近几年来各省市中考题， 整理了这些习题的常有的结论，破题的重点， 常用 技巧。掌握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮生解决问题。 种类3 双切线组合
径在直角边——直径在直角三角形的直角边上 .
Rt△PBC中，∠ABC＝90°，Rt△PBC的直角边PB上有一点A，以线段AB为直径的⊙O与斜边相切于点D.
C C C
D D
α
D
P
A
O
B
P
r.
r.
A
O
2
B
1
2
P
E
A
O
B
图(2) 图(3)
(4)PD＝PAPB;
图(1)
(5)PB＝8，tan
求PA和AD.
＝ ，
(6) 求证:OC∥AD（变式）. (7) 若AB＝2,BC＝,
(1)PB＝8,BC＝6,求⊙O的半径(2)PD＝4,PB＝8,求BC的长.(3)PD＝4,PA＝2,求⊙O的半径
求AD、PD、PA的长.
【典例】
（2018·四川乐山）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延伸BO交⊙O于点C，交PA的延伸交于点Q，连结AC． （1）求证：AC∥PO；
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（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求 的值．
B D F
O
E C Q
P A
【变式运用】
1.（2016青海西宁）如图，D为⊙O上一点，点 （1 ）求证：CD是⊙O的切线；
C在直径BA的延伸线上，且∠CDA=∠CBD．
（2 ）过点B作⊙O的切线交CD的延伸线于点 E，BC=6， ．求BE的长．（12分）
2.（2018·湖北武汉）如图，
PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连结 PB、
PC，PC交AB于点E，且PA＝PB. (1) 求证：PB是⊙O的切线. (2) 若∠APC＝3∠BPC，求
A
PE
CE
的值.
O
E
C
P
B
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（2017泸州）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边
（ BC订交于点 F，OA与CD订交于点 E，连结FE并延伸交 AC边于点G． ∥AO；
，AB＝10，求CG的长．
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1）求证：DF2）若AC＝6