2015-2016学年山西省忻州市第一中学高一下学期期末考试数学(理)试题

2015-2016学年度第二学期期末考试试题

高 一 数 学(理科)

命题人：

注意事项：

1．考生务必用0.5mm黑色中性笔答题.

2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。 3．满分150分，考试时间120分钟.

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．满足条件a=4，b=52，A=45o的△ABC的个数是 ( ) A．1

B．2 C．无数个

D．不存在

2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则a10＝ ( ) A．1024 B．1023 C．2048

D．2047

3．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是 ( ) 865817

A．102 B． C． D．108

884．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是 ( ) π

0， A．6π0， C．3π

B．6，π πD．3，π

5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc. 若sin B·sin C＝sin2A，则△ABC的形状是 ( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

6．数列{an}中，若Sn=3n+m5，数列{an}是等比数列，则m= ( ) A．2

B．1

C．－1

D．4

1

7．若0＜a＜1，则不等式(xa)(xa)>0的解集是 ( ) 1

A．{x|x＜a或x＞a} 1

C．{x|a＜x＜a}

1

B．{x|a＜x＜a} 1

D．{x|x＜a或x＞a}

→

8．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)， →→→

q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为 ( )

πππ2πA． B． C． D．

6323

63， 9．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝lgx，设a＝f，b＝f525c＝f2，则a、b、c的大小关系是 ( ) A．c＜a＜b C．b＜a＜c

B．a＜b＜c D．c＜b＜a

1－cos50°

，则有 ( ) 2

13

10．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝22A．a＞b＞c C．b＜c＜a

B．a＜b＜c D．a＜c＜b

11．某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米，则模型飞机“安全飞行”的概率为 ( ) 1138

A． B． C． D．

2716827

x， 0≤x≤1，12．设函数f(x)的定义域为R，f(x)＝1x且对任意的x∈R都有

－1，－1≤x＜0.2f(x＋1)＝f(x－1)，若在区间[－1，3]上函数g(x)＝f(x)－mx－m恰有三个不同零点，则实数m的取值范围是 ( ) 1

0， A．410， C．2

11

B．4，2 11D．4，2

二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分）

13．设a>38，P=a+40－a+41，Q=a+38－a+39，则P与Q的大小关系为 14．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·„·an＝n2， 则a3＋a5＝______________.

15．设当x＝θ时，函数f(x)＝2sinx－cosx取得最大值，则cosθ＝______________. 16．给出下列结论:

①2ab是a2+b2的最小值;

②设a>0，b>0，2ab的最大值是a+b;

1

③x2+4 + 的最小值是2；

x2+41

④若x>0，则cosx+cosx≥21cosx·cosx=2；

a+b2ab

⑤若a>b>0，2>ab>a+b．

其中正确结论的编号是______________.（写出所有正确的编号） 三．解答题：（本大题共6小题，共70分）

xx3x3

17．(本小题满分10分)已知1≤lgy≤2，2≤lg≤3，求lg3的取值范围．

yy

18．(本小题满分12分)

为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

分组 60～70 70～80 80～90 90～100 合计 频数 a 10 18 50 频率 0.16 0.36 b (1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；

(2)求频率分布表格中a,b的值，并估计800学生的平均成绩；

(3)若成绩在85～95分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？

19．(本小题满分12分)已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1＝1，且a2b2＝12，S3＋b2＝20. (1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)设cn＝anbn，求{cn}的前n项和Tn．

1

20．(本小题满分12分)ΔABC中,角A,B,C所对边分别是a,b,c且cosA＝.

3B＋C

(1)求cos22＋cos2A的值; (2)若a＝3,求ΔABC面积的最大值.

3π→→→→→

21．(本小题满分12分)向量a＝(2，2)，向量b与向量a的夹角为4，且a·b＝－2. →→→→→2C(1)求向量b； (2)若t＝(1，0)，且b⊥t，c＝cos A，2cos 2，其中A、B、C是△ABC



→→

的内角，若△ABC的内角A、B、C依次成等差数列，试求|b＋c|的取值范围．

22.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足f(x+1)－f(x)＝2x1，且f(0)＝3 (1)求函数f(x)的解析式；

1

(2)若函数y＝f(log3x+m)，x[3,3]的最小值为3，求实数m的值；

(3)若对任意互不相同的x1,x2(2,4)，都有|f(x1)f(x2)|附加题：(本题每题5分，共15分)

1．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为 ． 2．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为 ． 3．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|，若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．

2015-2016学年度第二学期期末考试试题

高 一 数 学 （理科）（参）

一、选择题

1-6：DBDCCD 7-12：ABADDB 二、填空题

615

13、P>Q 14、16 15、－5 16、⑤ 三、解答题

xx3x3

17．(本小题满分10分)已知1≤lgy≤2，2≤lg≤3，求lg3的取值范围．

yy1≤lg x－lg y≤2，1≤lg y≤2，

解：由变形，得 „„„„3分 1

x2≤3lg x－lg y≤3，22≤lg ≤3y

3

x

3

m=-15x311

∴lg 3＝3lg x－3lg y＝m(lg x－lg y)+n(3lg x－2lg y)16 „„„„7分

yn=15





-15≤-15(lg x－lg y)≤-1526x

x26，3.„„10分

≤lg ≤3，∴lg 的取值范围是32161514815yy

15≤15(3lg x－2lg y)≤15

3

3

3

3

633

18．(本小题满分12分)

为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

分组 60～70 70～80 80～90 90～100 合计 频数 a 10 18 50 频率 0.16 0.36 b (1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；

(2)求频率分布表格中a,b的值，并估计800学生的平均成绩；

(3)若成绩在85～95分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？ 解：(1)编号为016. „„„2分 (2)a=8；b=0.28 „„„4分 平均成绩约为82.6 „„„8分

16

(3)在被抽到的学生中获二等奖的人数9＋7＝16(人)，占样本的比例是＝0.32，即获二

50

等奖的概率为32%，

所以获二等奖的人数估计为800×32%＝256(人)．

答：获二等奖的大约有256人． ………12分

19．(本小题满分12分)已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1＝1，且a2b2＝12，S3＋b2＝20. (1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)设cn＝anbn，求{cn}的前n项和Tn．

解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则a2b2＝(3＋d)q＝12， S3＋b2＝3a2＋b2＝3(3＋d)＋q＝9＋3d＋q＝20，3d＋q＝11，q＝11－3d， 则(3＋d)(11－3d)＝33＋2d－3d2＝12， 即3d2－2d－21＝0，

(3d＋7)(d－3)＝0. „„„3分 ∵{an}是单调递增的等差数列，∴d>0，

∴d＝3，q＝2，an＝3＋(n－1)×3＝3n，bn＝2n-1. „„„6分 (2)cn＝anbn＝3n×2n-1

Tn＝3×1×20+3×2×21+3×3×22+„„+3×(n-1)×2n-2+3×n×2n-1

2Tn＝ 3×1×21+3×2×22+„„„„„„„„ +3×(n-1)×2n-1+3×n×2n „8分

1-2n12n-1n

-Tn＝3+3(2+2+„+2)- 3×n×2=3×1-2- 3×n×2n=3×2n-3- 3×n×2n=-3-3×2n(n-1) Tn＝3+3×2n(n-1) „„„12分 1

20．(本小题满分12分)ΔABC中,角A,B,C所对边分别是a,b,c且cosA＝.

3B＋C

（1）求cos22＋cos2A的值; （2）若a＝3,求ΔABC面积的最大值. 【解析】1

cos21cosBCBC1cosAcos2A2cos2A12cos2A122222111412122393

„„6分

2由余弦定理:

9224(3)2a2b2c22bccosAb2c2bc2bcbcbc.∴bc,

3334 „„8分 当且仅当bc93时bc有最大值，

42

1221 „„10分 cosA,A0,,sinA1cos2A13331192232 „„12分 ∴SABCmaxbcsinA224342考点：降幂公式、二倍角公式、余弦定理

3π→→→→→

21．(本小题满分12分)向量a＝(2，2)，向量b与向量a的夹角为4，且a·b＝－2. →

(1)求向量b；

→→→→2Ccos A，2cos 2，其中A、B、C是△ABC的内角，若△ABC(2)若t＝(1，0)，且b⊥t，c＝



→→

的内角A、B、C依次成等差数列，试求|b＋c|的取值范围． 3π→→→→→→→

解：(1)设b＝(x，y)，则a·b＝2x+2y=-2，且a·b＝|a|·|b|·cos4 x=－1x=02→

-2＝22×(-2)|b|x2+y2＝1，得或y=－1

y=0

→→

∴b＝(－1，0)或b＝(0，－1) „„„„„5分 →→→→

(2)∵b⊥t，t＝(1，0)，∴b＝(0，－1) π2π

∵A、B、C依次成等差数列，∴B＝3，A+B＝3

C→→

b＋c＝(cosA,2cos22-1)＝(cosA,cosC) „„„„„7分 114π→→

∴|b＋c|2＝cos2A+cos2C＝1+2(cos2A+cos2C)＝1+2(cos2A+cos(3-2A)) 1131π

＝1+2(cos2A-2cos2A-2sin2A)＝1+2cos(2A+3) „„„„„10分 ππ5π∵2A+3(3,3)，

π11→→52→→5

∴－1≤cos(2A+3)<22≤|b＋c|2<42≤|b＋c|2<2 „„„„„12分

22.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足f(x+1)－f(x)＝2x1，且f(0)＝3 (1)求函数f(x)的解析式；

1

(2)若函数y＝f(log3x+m)，x[3,3]的最小值为3，求实数m的值；

(3)若对任意互不相同的x1,x2(2,4)，都有|f(x1)f(x2)|∵f(x+1)－f(x)＝2x-1，∴a=1,b= 2,c=3，即：f(x)＝x22x+3 „„„3分 (2) 令t= log3x+m，则t[m-1,m+1]，则y＝f(log3x+m)＝f(t)＝t2-2t+3＝(t-1)2+2

当1≤m-1m≥2时，则f(m-1)＝3 m＝3 当1≥m+1m≤0时，则f(m+1)＝3 m＝1

当m-1<1|x1+x2-2| k>|x1+x2-2|MAX

∵x1,x2(2,4)且x1≠x2，∴|x1+x2-2|<6，∴k≥6 „„„12分

附加题：(本题每题5分，共15分)

1．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为 ． 答案：18

2．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为 ． 答案：1830

3．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|，若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ． 3

答案[1，] 4