江西省南昌市第三中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

高二数学（理）试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

1、分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ） (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)必要条件或充分条件 2．在复平面内复数(1+bi)(2+i)（i是虚数单位，b是实数）表示的点在第四象限，则b的取值范围是（ ） A.b<1 2 B.b11 C.< b< 2 D.b< 2 22yzx111

3．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )

A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 4、函数f(x)2xlnx的递增区间是( )

A. (,)及(0,) B.(,0)及(,) C. (0,) D. (,) 5．若函数fxlnxax在点P1,b处的切线与x3y20垂直,则2ab等于（ ） A．2 B．0 C． -1 D．-2

326、函数yx3x9x5的极值情况是（ ）

（A）在x1处取得极大值，但没有最小值 (B) 在x3处取得极小值，但没有最大值

（C）在x1处取得极大值，在x3处取得极小值 (D)既无极大值也无极小值

x22在点1,1处的切线为l，则l上的点到圆xy4x30上的点的最近距离是2x121212121212127.曲线y( ) A.21 B.221 C.31 D.22 8．设函数f(x)cos3x0，若f(x)f(x)是偶函数，则=（ ）

A． 32B． 6C．

 6D．

 39 若函数f(x)xax11在(,)是增函数，则a的取值范围是（ ）

2xA．[1,0] B．[1,) C．[0,3] D．[3,)

10．已知a11,an1an且an1an2an1an10,计算a2,a3,猜想an等于（ ）

A．n B．n C．n D．n3n 11．若函数f(x)＝x－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）

3

223 1

A. (－∞，－1) B. (1，＋∞) C. (－2,2) D. [－2,2] 12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(4)1，f(x)为f(x)的导函数， 又知yf(x)的图象如图所示，若两个正数a,b满足：

f(2ab)1，则

b2的取值范围是（ ） a12A．,6 B．,6 C．[,] D．,

342342二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）.

13、一物体沿直线以速度v(t)2t3（t的单位为:秒,v的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程是

14.已知函数f(x)x2(ex1)ax3若当x0时，f(x)0恒成立，则a的取值范围______． 15．设ABC的三边长分别为a,b,c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r215152S；类

abc比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4，内切球的半径为R，四面体PABC的体积为V，则R . 16．有下列命题： ①若函数h(x)cosxsinx，则h'(

4412②若函数f(x)在R存在导函数，则f'(2x)[f(2x)]'； ③若函数g(x)(x1)(x2)(x2012)(x2013)，则g(2013)1232012.； ④若三次函数f(x)ax3bx2cxd，则“abc0”是“f(x)有极值”的充要条件．

)1； 其中真命题的序号是________． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

mm－22

17．（本小题满分10分）已知m∈R，复数z＝＋(m＋2m－3)i，当m为何值时，

m－1(1) z是纯虚数；

(2)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．

18、（12分）如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。 （I）若CD＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN的长；

2

（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直19.已知椭圆具有性质：若M，PN的斜率都存在，线PM，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试

x2y2对双曲线221写出具有类似特性的性质，并加以证明

ab

20、已知函数fxxlnx，gxxax3

2(1) 求fx在e，fe处的切线方程

(2) 若存在x1，e时，使2fxgx恒成立，求a的取值范围

21、（本小题满分12分）

3

11111当nN*时,Sn12342n12n1111Tn

n1n2n32n(1)求S1,S2,T1,T2.(2)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.

22、设函数f(x)xbln(x1),其中b0.

(I)当b21时,判断函数f(x)在定义域上的单调性; 2(II)求函数f(x)的极值点;

(III)证明对任意的正整数n,不等式ln(1)

南昌三中2015—2016年学年度下学期期中考试

高二数学（理）答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1、分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ B ） (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)必要条件或充分条件 2．在复平面内复数(1+bi)(2+i)（i是虚数单位，b是实数）表示的点在第四象限，则b的取值范围是A A.b<1n113都成立. 2nn1 2 B.b11 C.< b< 2 D.b< 2 22yzx111

3．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( ) C

A．至少有一个不大于2 B．都小于2

4

C．至少有一个不小于2 D．都大于2 4、函数f(x)2x2lnx的递增区间是( D )

A. (,)及(0,) B.(,0)及(,) C. (0,) D. (,) 5．若函数fxlnxax在点P1,b处的切线与x3y20垂直,则2ab等于（D ） A．2 B．0 C． -1 D．-2 6、函数yx33x29x5的极值情况是（ C ）

（A）在x1处取得极大值，但没有最小值 (B) 在x3处取得极小值，但没有最大值

（C）在x1处取得极大值，在x3处取得极小值 (D)既无极大值也无极小值

x22在点1,1处的切线为l，则l上的点到圆xy4x30上的点的最近距离是2x11212121212127.曲线y(B ) A.21 B.221 C.31 D.22 8．设函数f(x)cos3x0，若f(x)f(x)是偶函数，则=（ A ）

A． 32B． 6C．

 6D．

 39 若函数f(x)xax11在(,)是增函数，则a的取值范围是（ D ）

2xA．[1,0] B．[1,) C．[0,3] D．[3,)

10．已知a11,an1an且an1an2an1an10,计算a2,a3,猜想an等于B

A．n B．n C．n D．n3n 11．若函数f(x)＝x－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是C

A. (－∞，－1) B. (1，＋∞) C. (－2,2) D. [－2,2]

12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(4)1，f(x)为f(x)的导函数，又知yf(x)的图象如图所示，若两个正数a,b满足，f(2ab)1，则

3

223b2的取值范围是（ A ） a1

5

A．,6 B．,6 C．[,] D．,

342342二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）.

13、一物体沿直线以速度v(t)2t3（t的单位为:秒,v的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程是

22151529(米) 214.已知函数f(x)x2(ex1)ax3若当x0时，f(x)0恒成立，则a的取值范围______． 15．设ABC的三边长分别为a,b,c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r2S；类

abc比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4，内切球的半径为R，四面体PABC的体积为V，则R . 【答案】

3V

S1S2S3S416．有下列命题： ①若函数h(x)cosxsinx，则h'(

4412)1；

②若函数f(x)在R存在导函数，则f'(2x)[f(2x)]'；

③若函数g(x)(x1)(x2)(x2012)(x2013)，则g(2013)1232012.； ④若三次函数f(x)ax3bx2cxd，则“abc0”是“f(x)有极值”的充要条件． 其中真命题的序号是________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

mm－22

17．（本小题满分10分）已知m∈R，复数z＝＋(m＋2m－3)i，当m为何值时，

m－1(1) z是纯虚数；

(2)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．

mm－2＝0，m－117．解：(1) 当z为纯虚数时，则有m2＋2m－3≠0，

解得m＝0或m＝2. „„3分

∴当m＝0或2时，z为纯虚数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

(2)．当z对应的点在直线x＋y＋3＝0上时，

mm－22

则有＋(m＋2m－3)＋3＝0，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

m－12

mm＋2m－4即＝0，解得m＝0或m＝－1±5，„„„„„„„„„„„„„9分

m－1∴当m＝0或m＝－1±5时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上„„„„„„„„10分

6

（18）（12分）如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。 （I）若CD＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN的长； （II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

（19）解

（Ⅰ）取CD的中点G连结MG，NG.

因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2， 所以MG⊥CD，MG＝2，NG2. 因为平面ABCD⊥平面DCEF，

所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG. 所以MNMG2NG26 „„6分

（Ⅱ）假设直线ME与BN共面， „..8分 则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN， 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF.

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB∥EN. 又AB∥CD∥EF,

所以EN∥EF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立。 所以ME与BN不共面，它们是异面直线。 „„..12分

N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直19.已知椭圆具有性质：若M，PN的斜率都存在，线PM，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试

x2y2对双曲线221写出具有类似特性的性质，并加以证明

ab

x2y2x2y219．双曲线221的类似性质：若M、N是双曲线：221上关于原点对称的两个点，点P

abab是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之

积是与点P位置无关的定值． 证明如下： 设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，

m2n2其中221 .

ab 7

20、已知函数fxxlnx，gxx2ax3

(1) 求fx在e，fe处的切线方程

(2) 若存在x1，e时，使2fxgx恒成立，求a的取值范围

21、（本小题满分12分）

当nN*时,S11111n12342n12nT1111nn1n2n32n

(1)求S1,S2,T1,T2.(2)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.21、（本小题满分12分） 解：（1）S111212，S11172123412 T11112T1171，2212212 „„„„„„„„„„„2分

（2）猜想：S*nTn(nN) 即：

8

112131412n112n1n11n21n312n.（n∈N*）„5分

下面用数学归纳法证明

① n=1时，已证S1=T1 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 ② 假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：

112131412k112k1111k1k2k32k.„„„8分

S11k1Sk2k12(k1)T11k2k12(k1) „10分 1k11k21k312k12k112(k1)11k21k312k1k112(k1) 11111(k1)1(k1)22k2k12(k1)Tk1

由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立. „„„„„„„„„„„12分

22设函数f(x)x2bln(x1),其中b0.

(I)当b12时,判断函数f(x)在定义域上的单调性; (II)求函数f(x)的极值点;

(III)证明对任意的正整数n,不等式ln(11)11nn2n3都成立. 解：(I) 函数f(x)x2bln(x1)的定义域为1,.

f'(x)2xb2x22xbx1x1，

令g(x)2x22xb，则g(x)在12,上递增，在1,12上递减，

g(x)12)12b. 当b12时，g(x)1ming(min2b0，

g(x)2x22xb0在1,上恒成立.f'(x)0,

即当b12时,函数f(x)在定义域1,上单调递增。 （II）分以下几种情形讨论：

9

1时函数f(x)无极值点. 212(x)212， （2）当b时，f'(x)x12（1）由（I）知当b11x1,时，f'(x)0, x,时，f'(x)0,

22b1时，函数f(x)在1,上无极值点。 21'（3）当b时，解f(x)0得两个不同解

2x1112b112b，x2.

22112b112b1，x21，

22当b0时，x1x11,,x21,,

此时f(x)在1,上有唯一的极小值点x2当0b112b.

21时，x1,x21,, 2f'(x)在1,x1,x2,都大于0 ，f'(x)在(x1,x2)上小于0 ，

此时f(x)有一个极大值点x1112b112b和一个极小值点x2.

22112b；

2综上可知，b0时，f(x)在1,上有唯一的极小值点x20b1112b112b1时，f(x)有一个极大值点x1和一个极小值点x2；b2222时，函数f(x)在1,上无极值点 （III） 当b1时，f(x)xln(x1).

23x3(x1)2令h(x)xf(x)xxln(x1),则h(x)在0,上恒正，

x1332'h(x)在0,上单调递增，当x0,时，恒有h(x)h(0)0.

10

即当x0,时，有x3x2ln(x1)0,ln(x1)x2x3， 对任意正整数n，取x

1111得ln(1)23

nnnn 11