九年级(初三)数学上册教案(全册详细)

九年级上册数学教学进度表

周序 21.1二次根式2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21.2二次根式的乘除1 21.2二次根式的乘除1 21.3二次根式的加减3 数学活动1 《二次根式》单元考及讲评3 22.1一元二次方程2 22.2降次——解一元二次方程4 22.2降次——解一元二次方程3 22.3实际问题与一元二次方程及数学活动2 《一元二次方程》单元考及讲评3 23.1图形的旋转2 23.2中心对称3 23.3课题学习 图案设计2 《旋转》单元考及讲评3 24.1圆5 期中考复习及考试 期中考试卷分析与讲评2 24.2点、直线、圆和圆的位置关系3 24.2点、直线、圆和圆的位置关系3 24.3正多边形和圆2 24.4弧长和扇形面积2 数学活动1 单元复习2 《圆》单元考及讲评3 25.1随机事件与概率2 25.1随机事件与概率2 25.2用列举法求概率3 25.3用频率估计概率1 25.4课题学习及数学活动2 《概率初步》单元考及讲评2 26.1二次函数及其图象5 26.1二次函数及其图象1 26.2用函数观点看一元二次方程2 26.3实际问题与二次函数2 数学活动1 《二次函数》单元考及讲评4 期末考复习 期末考复习及考试 教学工作内容 学习改变命运惟智成就未来！

目 录

第二十一章 二次根式

21.1二次根式………………………………………………………………………………………………1 21.2二次根式的乘除（第1课时）………………………………………………………………………3 21.2二次根式的乘除（第2课时）………………………………………………………………………5 21.2二次根式的加减（第1课时）………………………………………………………………………7 21.2二次根式的加减（第2课时）………………………………………………………………………9 小结…………………………………………………………………………………………………………11

第二十二章 一元二次方程

22.1 一元二次方程………………………………………………………………………………………13 22.2.1配方法(第1课时) …………………………………………………………………………………15 22.2.1配方法(第2课时) …………………………………………………………………………………17 22.2.1公式法………………………………………………………………………………………………19 22.2.3因式分解法…………………………………………………………………………………………21 22.2.4 一元二次方程的根与系数关系……………………………………………………………………23 22.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）…………………………………………………………25 22.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）…………………………………………………………27 小结…………………………………………………………………………………………………………29 第二十三章 旋转

23.1 图形的旋转(1)………………………………………………………………………………………33 23.1 图形的旋转(2)………………………………………………………………………………………36 23.1 图形的旋转(3)………………………………………………………………………………………39 23.2.1中心对称(1)…………………………………………………………………………………………42 23.2.1中心对称(2)…………………………………………………………………………………………45 23.2.1中心对称(3)…………………………………………………………………………………………48 22.2 中心对称图形，关于原点对称的点的坐标………………………………………………………51 23.3 课题学习 图案设计…………………………………………………………………………………55 小结…………………………………………………………………………………………………………57 第二十四章 圆

24.1.1 圆……………………………………………………………………………………………………59

学习改变命运惟智成就未来！

24．1．2 垂直于弦的直径…………………………………………………………………………………62 24．1．3 弧、弦、圆心角…………………………………………………………………………………66 24.1.4 圆周角………………………………………………………………………………………………70 24.2.2 直线和圆的位置关系………………………………………………………………………………77 24.2.3 圆和圆的位置关系…………………………………………………………………………………80 24．3 正多边形和圆………………………………………………………………………………………85 24.4圆锥的侧面积和全面积………………………………………………………………………………90 小结…………………………………………………………………………………………………………93

第二十五章 概率

25.1.1随机事件(第一课时)…………………………………………………………………………………96 25.1.1 随机事件（第二课时）……………………………………………………………………………98 25.1.2 概率的意义…………………………………………………………………………………………100 25.2 用列举法求概率(第一课时)…………………………………………………………………………104 25.2 用列举法求概率(第二课时)…………………………………………………………………………107 25.2 用列举法求概率(第三课时) ………………………………………………………………………109 25.3.1利用频率估计概率…………………………………………………………………………………111 25.3.2利用频率估计概率…………………………………………………………………………………113 25.4课题学习 键盘上字母的排列规律……………………………………………………………………115 小结…………………………………………………………………………………………………………117

第二十一章 二次根式 教案

教学时间 教 学 目 标 知识 技能 课题 21.1二次根式 课型 新授 1. 理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义. 2. 会确定二次根式有意义的条件，知道a(a≥0)是非负数，并会运用. 3. 会进行二次根式的平方运算，会对被开方数为平方数的二次根式进行化简. 1. 经历观察、比较、概括二次根式的定义. 2. 通过探究二次根式的条件和结果，达成知识目标2. 3. 通过探究过程 方法 情感 态度 a和2a2所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质. 培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学发现的乐趣. 1.a有意义的条件. 2.a≥0时 教学重点 教学难点 a≥0的应用. 3.a和2a2的运算、化简 a<0时a2的化简. 教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 点题，板书课题. 一、复习引入 导语设计：在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单 的二次根式运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 本课只学习二次根式的概念及其三个运算性质. 二、探究新知 学生完成后，教师(一)定义及非负性 订正；并引导学生观察活动1、填空，完成课本思考1： 得出：四个式子表示的让学生了解本章的学习内容和本课的学习目标. 算术平方根的意义是得出二次根式的性质的基65，S，2，h 都是非负数的算术平础，复习算术平5方根. 方根的意义便于活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明教师可指出算术平方理解定义、归纳各式所表示的共同意义. 根即正的平方根. 性质. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 65可读作二次根号让学生理解二次活动4、思考下列问题： 65，简称根号65(只有根式是按形式定①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？ 二次可简称)，也可读义的，并理解二②定义中为什么要加a≥0？若a<0，a表示什么？有无作65的算术平方根. 次根式存在的条意义？ 可由学生思考后进行件和运算结果的③当 a=0时，a表示什么？结果是什么？当 a>0时，a讨论，然后教师订正，非负性. 表示什么？可不可能为负数？a(a≥0)是什么样的数最后师生共同归纳得 出性质1： 呢？ a(a≥0)是一个非 例1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列负数 二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？ 通过例题分析和21， x3 x2， 师生共同分析归纳出练习加深对二次x1使二次根式有意义的根式“运算结果练习：1、课本思考2：当x是怎样的实数时，x2，x3有条件：不是使字母为非和被开方数双非意义？ 负数，而是使被开方数负”的理解. 1、若x2m，则x和m的取值范围是x_____；m______. 为非负数，且还要考虑 - 1 -

第二十一章 二次根式 教案

二次根式的位置. (二)两个运算性质 活动5、完成课本探究1 要求学生会用算术平2活动6、对a中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳方根的意释2出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 22. 练习：课本例2 师生共同归纳得出性 质2： 活动7、完成课本探究2 2aa(a≥0) 活动8、对a2中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出： 一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再仍要求用算术平方根的意释222. 开方结果为相反数. 师生共同归纳出性质 3： 练习：课本例3 a2a(a≥0) 补充练习：1、化简：(4)2，(23)2； 2、直角三角形的三边分别为a，b，c，其中c为斜边，则 找学生板演，说明解题222式子a-c与式子(ac)有什么关系？ 过程 引导学生先观察、分 析，解题后养成说明理三、课堂训练 由的反思习惯. 完成课本中两个练习. 有时间可补充：1、m1m 成立的条件是_______. 2、m1m成立的条件是_______. 四、小结归纳 收集学1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结教师巡视指导，生掌握情况，并集中订果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为正. “子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 教师归纳总结，学生边4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 听边作笔记. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P6：7、8 教 学 反 思 2、已知x3y50，求x,y的值各是多少？  先具体后抽象，先练习后归纳，一可培养学生数感，二可有利于性质的得出，三可加深对性质的理解. 对运算顺序的分析在于弄清两种运算的区别，从而弄清对字母a的要求不同，计算结果也因a而异. 补充练习在于强化二次根式的结果具有非负性，也促使学生养成解题先观察的习惯。 进一步体会“两个非负”. 这里只要求学生知道“什么是代数式”即可，不要求掌握“什么叫代数式”.

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第二十一章 二次根式 教案

教学时间 知识 技能 课题 21.2二次根式的乘除（第1课时） 课型 新授 教 学 目 标 1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算. 2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式. 1.经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根性质. 2.通过例题分析和学生练习，达成目标1，2，认识到乘法法则只是进行乘法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法. 培养学生观察、猜想的习惯和能力，勇于探索知识之间内在联系. 双向运用abab(a≥0，b≥0)进行二次根式乘法运算. 过程 方法 情感 态度 教学重点 教学难点 被开方数的最优分解因数或因式的方法. 教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 导语设计：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节点题，板书课题. 课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算。 二、探究新知 (一)二次根式乘法法则 学生计算，观察对比， 活动1、1.填空，完成课本探究1 让学生经历从特殊找规律 到一般的认知过2.用1中所发现的规律比较大小 程，培养数感. 36×4 364；2×3 6 结合探究内容师生总使学生理解二次根活动2、给出二次根式的乘法法则 结 式乘法的前提是二活动3、思考下列问题： 次根式有意义. ① 公式中为什么要加a≥0, b≥0？ 教师组织学生小组交 ② 两个二次根式相乘其实就是 不变， 相流，进行讨论. 乘法法则推广使学乘 生初步掌握如何计③ abc（a≥0, b≥0，c≥0）= 算二次根式乘法. 练习：课本例1，在（1）（2）之后补充 （3）a4a 学生板演 归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果 使学生学会化简二 尽量简化. 利用它就可以将二次根式 (二)积的算术平方根性质 次根式化简 活动4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质 双向使用公式，熟 练进行计算 完成课本例2，在（1）（2）之间补充48 教师归纳总结，学生 归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式边听边作笔记. 形成运用技巧，便分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根找学生说明解题过程，于解题速度与正引导学生先观察、分确率的 号外. - 3 -

第二十一章 二次根式 教案

析，解题后养成说明理由的反思习惯. 1（1）147 （2）35210；（3）3xxy 3 分析：（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而 是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法指导学生交流，教师总交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最结 大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式 开方后移到根号外. （2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根 号的数或式分别相乘，再把这两个积相乘.，之后同（1）. 三、课堂训练 学生练习，巩固完成课本练习. 新知 补充：1.x1x1x21成立，求x的取值范围. 组织学生交流，讨论，3达成共识. 2.化简：xyx0 四、小结归纳 1.二次根式乘法公式的双向运用； 师生共同归纳 2.进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法. 五、作业设计 必做：P12：1、3（1）（2）、4 补充作业： 1．计算: 例3. 计算: (1)75； (2) 深化理解公式及运用，提高解题能力. 纳入知识系统 127； 3(3)515； (4)3248. 2.化简： (1)27xy； (2)232a18ab. 3教 学 反 思 3.等边三角形的边长是3，求这个等边三角形的面积

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第二十一章 二次根式 教案

教学时间 知识 技能 课题 21.2二次根式的乘除（第2课时） 课型 新授 教 学 目 标 过程 方法 情感 态度 1.会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算. 2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式. 3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式. 1.经历观察、比较、习，达成目标1，2，认识到除法法则只是进行除法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简.也可运用概括二次根式除法公式，通过公式的双向性得到商的算术平方根性质. 2.通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法. 类比二次根式的乘法进行知识与方法的迁移，获得新知，体验探索的乐趣. 双向运用abaa0,b0 b教学重点 教学难点 进行二次根式除法运算. 能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算 教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除法运算. 二、探究新知 (一)二次根式除法法则 活动1、1.填空，完成课本探究1 2.用1中所发现的规律比较大小 2 82； 825 25 活动2、给出二次根式的除法法则 活动3、思考下列问题： ①公式中为什么要加a≥0, b>0？ ②两个二次根式相除其实就是 不变， 相除 练习：课本例4，在（1）（2）之后补充 （3）4a3a 归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化. (二)商的算术平方根性质 活动4.将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质 完成课本例5 归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平方根分别化简. 例6. 计算: 点题，板书课题. 学生计算，观 察对比，类比 上节课知识找让学生经历从特殊规律 到一般的认知过 结合探究内容程，培养数感. 师生总结 使学生理解二次教师组织学生根式除法的前提小组交流，进是二次根式有意行讨论. 义. 学生板演，师生 订正 学生板演并讲 解解题过程及 依据 使学生初步学会 化简被开方式含找学生说明解有分数线的二次题过程，引导学根式 生先观察、分 析，解题后养成 说明理由的反 双向使用公式，熟思习惯. 练灵活进行计算 - 5 -

第二十一章 二次根式 教案

指导学生交流，教师总结 分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不 能含有分母，数必须是整数，利用分数的基本性质将分母变成学生观察刚做完全平方数，开方后移到根号外；也可以直接模仿分数的基本过的题的结果，含根式的2性质和公式(a)a，abab(a0,b0)，以去结果中根式的特点.教师及时掉分母中的根号. 肯定学生的结（三）最简二次根式概念 论并加以引导活动5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到和整理汇总. 最简二次根式的概念. 分析概念：1.被开方数不含分母的含义指-----因数是整数，因式是 整式；2.被开方数中不能含开得尽方的因数是指----被开方数学生说解题方法，书写解题不能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是指过程体会化简----被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2，因此，每二次根式再实一个因式的指数都是1. 际问题中的应完成课本例7 用 补充：化简x2y4x4y2 学生完成巩固新知 注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和. 三、课堂训练 学生思考，讨完成课本练习. 论，阐述个人补充： 见解 1.x1x1成立，求x的取值范围. x1x1让学生观察，2.找出下列根式中的最简二次根式 寻找并解释，22能将不是的进 x 8x 6x2 xy 0.1 3行化简 3.判断下列等式是否成立 让学生观察， 16943 2565 9判断，将不成 33 4121 立的正确求解 2222 四、小结归纳 师生共同归纳 1.二次根式除法公式的双向运用； 2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法. 3.最简二次根式概念 五、作业设计 必做：P12：2、3（3）（4）、5、6、7 选做：P12：8、9、10 教 学 反 思 （1）3 （2）32；（3）2758 2a 形成运用技巧，以提高解题速度与正确率 让学生通过结果的最终性初步感知最简二次根式的概念，继而理解概念，并为以后的计算和化简的结果设立标准 强调被开方数是和式的二次根式的化简办法 熟练计算和解题 深化理解公式及运用 使学生能判断最简二次根式 正确化简二次根式 纳入知识系统 - 6 -

第二十一章 二次根式 教案

教学时间 教 学 目 标 知识 技能 课题 21.2二次根式的加减（第1课时） 课型 新授 1.知道在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立. 2.能熟练将二次根式化简成最简二次根式. 3.会运用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算. 1.类比整式加减得到二次根式加减的方法，二者都是系数的加减运算. 2.在学习过程中体会有理数、整式、二次根式运算之间的联系，感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性. 学生温故知新，渗透类比思想，培养自主学习意识. 二次根式加减法运算方法 二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式 教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 让学生尝试经历从已知到未知的迁移，感受数式通性. 为总结二次根式的加减法法则做铺垫 更好地理解和运用法则 初步进行计算，并强化去括号后的符号变化 过程 方法 情感 态度 教学重点 教学难点 一、复习引入 导语设计：上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根点题，板书课题. 式的加减法运算. 二、探究新知 (一)二次根式加减法法则 学生计算，观察活动1、类比计算，说明理由 对比，类比整式 ① 2a+3a ； 2232. 加减知识尝试计 ② 2a-3a ； 2232. 算 ③312 ； 1218 145 ○ 12 5 思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继 教师组织学生小续使用？ 组交流，进行讨（2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什论. 么？ （3） 什么样的二次根式能够合并？ （4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？ 结合探究内容师活动2、给出二次根式的加减法法则 生总结 分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次 根式，再逆用乘法分配律将被开方数相同的二次根式进行合并.被 开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分. 1课本例1，之后补充 （3）218 （4）1练习：○ 8学生板演，并说明2每一步的依据，然2○课本例2，之后补充  11后师生订正. 24682 1中补充（3）结果为负，（4）含分数线，作为例1，分析说明：○ - 7 -

第二十一章 二次根式 教案

2中补充括号前是负号的. 例2的过渡。○(二)二次根式加减的应用 1.课本引例 分析：这个实际问题的解决方法可能不同，还可以先估算两个正方形的边长，，再把它们的和与木板的长比较. 2.课本例3 分析：利用勾股定理解决实际问题，运用二次根式的加减进行计算，计算的最后一步取近似值，使结果更精确. 三、课堂训练 完成课本练习 .补充： 1.下列各组二次根式中，化简后被开方式相同的是（） A.ab与ab2 B. m2n2与m2n2 C.mn与11 D.8a3b4与9a3b4 让学生认真审题，分析，并阐述， 然后师生交流，学生进行计算. 学生完成练习,巩固新知,师生订正 mn922.二次根式的计算为什么先学乘除，后学加减？还有哪块知识也是 引导学生先观察、如此？ 分析，找学生说明四、小结归纳 解题思路，解题后1.进行二次根式加减运算的一般步骤. 养成说明理由的2.二次根式的熟练化简. 反思习惯. 2.二次根式加减的实际应用. 五、作业设计 指导学生交流，教必做：P17：1、2、3 师总结 选做：5 补充作业： 计算: （1）322；（2）21227； 2 （3）189；（4）4x22x； 2 （5）2x2a2x3；（6）18322； （7）755496108； （8）1(23)3(227) 24 教 学 反 思 感受二次根式加减的实际应用 熟练计算和解题 正确化简二次根式 纳入知识系统

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第二十一章 二次根式 教案

教学时间 教 学 目 标 课题 21.2二次根式的加减（第2课时） 课型 新授 知识 在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以技能 前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算． 1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以程 及数式通性. 法 2. 在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整式的运算的联系. 感 培养学生的类比运用意识 度 混合运算的法则，运算律的合理使用． 灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便． 教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 让学生尝试经历从已知到未知的迁移，感受式数通性. 为总结二次根式的混合运算法则做铺垫 更好地理解和运用法则 初步进行计算 过方情态教学重点 教学难点 一、复习引入 导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加点题，板书课题. 减运算，这节课来学习二次根式的混合运算. 二、探究新知 (一)二次根式混合运算法则 学生计算，观察活动1、类比计算，说明理由 对比，类比整式 ○1(2a+3b)a ； ( 2233)6 混合运算知识尝 ○2(2+3b)(-b)； aa试计算 2623 ○3(3ab-4a2 )÷a ； 6123 思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否 继续使用？ （2）二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是教师组织学生小组交流，进行讨什么？ 论. （3）左边式子中的字母a、b可以表示二次根式吗？ （4）模仿整式的混合运算怎样进行二次根式的混合运 算？ 结合探究内容师活动2、给出二次根式的混合运算的一般步骤. 生总结 分析法则： （1）进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先 算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或 先去掉括号）. （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法 则仍然适用，整式、分式的运算法则仍然适用。 （3）有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最关键的一步. 11练习：○课本例4，之后补充 （3）(486)27 学生板演，并说明4 - 9 -

第二十一章 二次根式 教案

每一步的依据，然后师生订正. 1中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。○2 分析说明：○ 中补充完全平方公式应用. 归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式 子的特征，灵活运用完全平方公式、平方差公式来简化运算. (二)二次根式混合运算的应用 1.若x=21,则x2+x+1= 2.已知x32,y32， 求1yx;22x6xy2y2的值. xy引导学生先观察、分析，找学生说明3.如图，四边形ABCD中，AB⊥BC,AD解题思路，解题后⊥AB,AB=1,BC=CD=2,求四边形养成说明理由的ABCD的面 积. 反思习惯. 三、课堂训练 完成课本练习 .补充： 1.海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a,b,c, 设p=abc, 则三角形的面积为学生完成练2习,巩固新知,师生S=ppapbpc 公式运用：在ABC中，BC=4,AC=5,AB=6,求ABC的面积。 订正 四、小结归纳 1.进行二次根式混合运算的一般步骤. 2.二次根式混合运算时，仔细观察式子的特征，灵活运用运算 法则、运算律、公式来简化运算. 指导学生交流，教2.二次根式混合运算的应用. 师总结 五、作业设计 必做： P18：4、6、7 选做： P18：8、9 1.已知52.236，求 54DC 5545的近似值. 452课本例5，之后补充 (5225)2 ○2.如图21.3-3在平行四边形ABCD中，AEB得DE⊥AB,E点在AB上，DE=AE=EB=a,求平行四边形ABCD的周长. 教 学 反 思

教学时间 课题 - 10 -

感受二次根式混合运算的应用 熟练计算和解题 纳入知识系统 第21章小结 课型 复习 第二十一章 二次根式 教案

教 学 目 标 知识 技能 过程 方法 情感 态度 1. 学生构建知识体系 2. 通过解决典型的题目，抓住本章要点；解决易出错的题目，找出错陷阱和错因. 3. 联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用. 1. 从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力. 2. 经历观察、思考、交流，熟练、灵活解题. 培养数感和符号感，培养以联系和发展的观点学习数学的习惯 深化理解二次根式的概念和性质，熟练进行二次根式的化简与运算． 进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性 教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 检验学生基本知识的掌握情况，搜集反馈信息 为下一组题中更好地理解和运用基本知识做准备 学生进一步运用基本知识解决问题，达到熟练程度，为下组的综合训练奠定基础 设计意图 教学重点 教学难点 点题，板书课题. 一、复习引入 导语设计：我们已经学习了二次根式的概念，性质和运算，这节 课来复习并总结本章知识. 二、复习提升 学生计算，观察(一)基础巩固 对比，运用本章 解答下列各题，注意易让你犯错的陷阱 知识计算 1.若45x有意义，则x的取值范围是 . 2.下列各式是最简二次根式的是（ ） 3A.8a B.a C.ba D .a 2教师组织学生小3.下列二次根式中，和32是同类二次根式的是（ ） 组交流，最后明A.12 B.50 C.27 D. 24 确答案 4.下列运算正确的是（ ） 结合题目内容让A.1414 B.2323 C.222 D.822 学生说明各题所13(2332)； ○25.计算：○121 考查知识点，指29123 532； ○4 32533253 出易错之处，错 ○归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关因以及解题技巧 知识，熟练进行二次根式化简与运算.  解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的学生完成，教师巡回视察.做发现. 完之后，师生订正.1.若45x有意义，则x的取值范围是 . 并让学生谈做题2.下列各式中不是最简二次根式的是（ ） 体会，以及新的发A.7 B.0.5 C.3 D .15 现. 3.下列二次根式中，和32不是同类二次根式的是（ ） A.8 B.18 C.28 D. 98 4.下列计算正确的是（ ） A.822 B.325 C.323 D.321 1(224312)6； ○25.计算：○11 27 3123(23)26；4(21)22626 师生总结 ○ ○归纳：此组题与上组题考察内容相同，但问法不同，更具技巧性. - 11 -

第二十一章 二次根式 教案

(二)综合运用 1.当m 时，2.能使3.若 43m5m有意义. xxx3x3成立的x的取值范围是 . a21，则a的取值范围是 . a4.若a3b2m2120,，则abm的值是 . 5.当a＜-3时，化简2a12a32的结果是 . 1式子x13和20x都有意义6.整数x满足下列两个条件：○2x的值是整数，则x的值是 . ○7.以下结论正确的是 .（填序号即可） 1 a2=a对一切实数a都成立 ○2 a2a对一切实数a都○成立 3式子a叫做二次根式 ○4一个数的平方根和它的绝对值都○是非负数 8. 在实数范围内分解因式：9x425的结果是 . 9.(23)2322的计算结果是 . 10.已知x求x2yxy2的值. 1,y23,2311.如图，有一艘船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西600 的方向上，前进20海 里到达B处，测得A在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？ 归纳： 这组题是本章知识的深化运用，有一定的难度，与实数，有理式，勾股定理等知识综合运用. (三)构建知识体系 二次根式 概念 性质 乘除运算 运算 加减运算 混合运算 三、小结归纳 1.复习巩固二次根式知识，及于其他相关知识的联系. 2.进一步理解本章知识，熟练解决相关问题. 3.补充课本未明确给出的概念及相关题目，拓展知识与能力. 4.构建知识体系，纳入知识系统. 四、作业设计 必做： P22：1-8 选做： P22：9-11 教 学 反 思 增加问题难度，引导学生先观综合性，使学生察、分析，小组进一步理解知讨论，再找学生识，培养综合分说明解题思路，析能力. 解题后养成说明 理由的反思习惯.总结二次根式、学生解题后， 师绝对值、平方的生订正 共同特点是非 负 补充分母有理 化因式和分母 有理化化简方 法，拓宽知识， 指导学生交流，谈为后续学习打好准备 收 获，体会，师生总 结 让学生构建本章 知识体系，教师展使学生系统感示学生的结构图，知本章知识，掌学生之间进行交握各知识之间流，肯定最优建构 的内在联系 让学生阐述本节 课有哪些收获，有纳入知识系统 何体会，教师指导从考查知识，易错题目，典型题，解题技巧，思想方法等方面总结 - 12 -

第二十二章 一元二次方程 教案

教学时间 知识 技能 课题 22.1 一元二次方程 课型 新授 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 1..通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活. 教 学 目 标 过程 方法 情感 态度 2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念， 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程教学重点 教学难点 的概念． 教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 联系曾经学习过的方程知识衔接本章，明确本节课内容 淡化列方程难度，重点突出方程特点 通过比较，对一元二次方程的概念达到共识，从而为掌握概念作准备. 全面理解和掌握 识记、理解相关概念 通过类比，迁移提高 一、复习引入 导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，点题，板书课题. 二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可 以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。 从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关 概念. 学生读题找等量关系列方二、探究新知 程.  探究课本问题2 学生观察所列方程整理后的分析： 特点，把握方程结构，初步1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数感知一元二次方程概念. 式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察： 1.方程中未知数的个数和次数各是多少？ 学生尝试叙述，然后师生2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 24x+3=0；x22x40；2xy40；x75x3500； 归纳 12x60 x  概念归纳： 1.一元二次方程定义： 分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2. 师生分析概念和一般形式. 2.一元二次方程的一般形式： 分析： 1.为什么规定a≠0？ ○ 2.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程○ ax2bxc0a0的各项分别是什么？各项系数是什么？ 3.特殊形式：ax2bx0a0；ax2c0a0；学生根据相关概念作答，复2ax0a0 习巩固.  课本例题 分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变学生类比一元一次方程的解形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”尝试叙述 是性质符号负号，不是运算符号减号. 第13页

第二十二章 一元二次方程 教案  一元二次方程的根的概念 1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念 加深对概念理解和学生思考，讨论完成， 运用，同时对一元 二次方程的根的情2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？ 况初步感知 -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-=0（2）x2+1=0 （3）x2-3x=0 （4）x22x10 4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？ 5.排球邀请赛问题中，所列方程x2x56的根是8和-7，但是答案 只能有一个，应该是哪个？ 归纳： 1一元二次方程的根的情况 ○ 2一元二次方程的解要满足实际问题 ○ 使学生巩固提高， 三、课堂训练 学生完成，教师巡视了解学生掌握情1.课本练习 指导，了解学生掌握情况，况 2补充： 并集中订正 1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5=0 x A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 纳入知识系统 2）.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围________． 3).已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________ 师生归纳总结，学生作笔4).关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？ 记. 四、小结归纳 1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数. 2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根. 五、作业设计 必做：P28：1-7 选做：.P29：8、9 教 学 反 思

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第二十二章 一元二次方程 教案

教学时间 课题 222.2.1配方法(1) 课型 2新授 1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 教 学 目 标 过程 方法 情感 态度 教学重点 教学难点 2.根据平方根的意形如x=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）=p（p≥0）知识 技能 型的一元二次方程． 3.把一般形式的一元二次方程（二次项系数是1，一次项系数是偶数）与左边是含有未知数的完全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握. 1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活. 2.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法，配方法 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 1.运用开平方法解形如（mx+n）=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2用配方法解二次项是1，一次项系数是偶数的一元二次方程 降次思想，配方法 2教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 开门见山明确本节课内容 淡化列方程难度，重点突出解方程方法，关注方程的 解，以及方程的解要受到实际问题的检验，作出取舍. 理解降次，初步感知方程结构特点，更好把握直接开平方法，并为配方法的学习作铺垫 感知一元二次方程的实际应用 在比较中发现配方法的实质 一、复习引入 导语：已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学点题，板书课题. 习直接开平方法，配方法. 二、探究新知 学生读题找等量关系列 探究课本问题1 方程，思考解方程的依分析： 据. 1.用列方程方法解题的等量关系是什么？ 学生观察所列方程特2.解方程的依据是什么？ 点，辨析方程的解与问3.方程的解是什么？问题的答案是什么？ 题的答案. 4.该方程的结构是怎样的？ 学生尝试描述何为降次归纳： 2可根据数的开方的知识解形如 x=p（p≥0）的一元二次方程，方程及方法，把握方程结构特点，初步体会直接开有两个根，但是不一定都是实际问题的解. 平方法解一元二次方 解决课本思考 程. 1如何理解降次？ 教师组织学生讨论，尝2本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？ 2试回答，教师及时肯定3能化为（x+m）=n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？ 并总结 归纳： 221运用平方根知识将形如 x=p（p≥0）或（mx+n）=p（p≥0）的一元二 次方程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可； 2左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化 2 为（x+m）=n（n≥0）.  探究课本问题2 1.根据题意列方程并整理成一般形式. 2222.将方程 x+6x-16=0和x+6x+9=2对比，怎样将方程 x+6x-16=0化为像 学生审读并列方程 2x+6x+9=2一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方组织学生讨论，交流 然后师生总结 程？ 1完成填空： x2+6x+ =（x+ ）2 ○ ○2方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？  归纳： 用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般 步骤及注意事项: 第15页

第二十二章 一元二次方程 教案 先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一 半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形 2式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）=n（n≥0） 的形式. 三、课堂训练 学生完成，教师巡课本练习: 视指导，了解学生掌握P31页练习，P34页练习1，2（1） 情况，并集中订正 四、小结归纳 21.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）=p（p≥0）的一 元二次方程. 学生作2.用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别师生归纳总结，笔记. 地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方. 3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实际是问题的解，但是实 际问题的解一定是方程的根. 五、作业设计 必做：P42：1、2、3（1）（2） 选做：下面补充作业 补充作业： 1．若8x2-16=0，则x的值是_________． 22．如果方程2（x-3）=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）． A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 4．方程3x2+9=0的根为（ ）． A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根 5.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 6．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m． （1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？ （2）鸡场的面积能达到210m2吗？ 教 学 反 思 总结成文，为熟练运用作准备 使学生巩固提高 纳入知识系统

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第二十二章 一元二次方程 教案 教学时间 教学媒体 课题 22.2.1配方法(2) 多媒体 课型 新授 1.进一步理解配方法和配方的目的. 教 学 目 标 知识 技能 过程 方法 情感 态度 2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程. 通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识. 1. 通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神． 2. 感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 3. 温故知新，培养学生利用旧知解决问题的能力. 用配方法解一元二次方程 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为教学难点 二次项系数是1的类型. 教学重点 教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 2回顾上节课内容导语：我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如x=p（p≥0）点题，板书课题. 2以得以衔接 或（mx+n）=p（p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是 1，一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二 次方程. 二、探究新知 复习完全平方式1.填空： 1x28x____x____2 ○2x2x____x____2 的，为下面用配方○ 法解方程作铺垫 923x2___4x____2 ○4○x2___x____ 41，让学生完成○复 1x28xa是完全平方式，a= 2.填空： ○习巩固上节课内容. 2x2mx9是完全平方式，m ○1○2结温故知新，对比探通过对比方程○1 x2-8x+7=0 ○22x2+8x-2=0 3.解下列方程：○2，究，发现二次项系构，尝试解方程 ○2232x+1=3x ○43x-6x+4=0 ○探讨二次项系数不是1数不是1的一元二的一元二次方程的解次方程的解法，培题目设置说明： 法，教师组织学生讨养学生发现问题1与上节课衔接（二次项系数为1） 1.○论，师生交流看法，肯的能力 2至○4二次项系数不为1.二次项系数化为1后，○2的一次项系数为偶2.○定其可行性，总结出一 3的一次项系数为分数，○4无解. 数.为后面做铺垫.○般步骤. 分析： 让学生运用总结出的 1（1）解方程○，复习用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤； 一般步骤解方程 ○3 4，3需要先整理，通过学生亲自解1的解法得到方程○2的解法，总结出用配方法解二次项系数不○其中○（2）对比○4无解. ○方程的感受与经为1的一元二次方程的一般步骤： 验，总结成文，为1.把常数项移到方程右边； ○ 熟练运用作准备 2.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1； ○ 3.方程两边都加上一次项系数一半的平方； ○ 4.原方程变形为（x+m）2=n的形式； ○ 5○.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是 负数，则一元二次方程无解． 3，先观察将其变形，即将一次项移到(3)运用总结的配方法步骤解方程○第17页

第二十二章 一元二次方程 教案 4配方后右边是负数，确定 方程的左边，常数项移到方程的右边；解方程○ 原方程无解. (4) 不写出完整的解方程过程，到哪一步就可以确定方程的解得情况？ 根据上述方程的根的情况，学生思考并叙述 三、课堂训练 1.方程4x243x20化为xa2b的形式，正确的是( ) 学生先自主，再合作交22A.x325 B.x325 C. 331 D. x3流，总结经验，完成.教x44224师巡视指导，了解学生4掌握情况，对于好的做2．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）． 法，加以鼓励表扬.并集3体进行交流评价，体会1281 A．（x-）= B．（x-2）2=0 C．（x-）2=8 D．（x-1）2=10 方法，形成规律. 3399339 3．下列方程中，一定有实数解的是（ ）． A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（1x-a）2=a 2 4.解决课本练习2（2）到（6） 5.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）． A．1 B．2 C．-1 D．-2 6. a，b，c是ABC的三条边 1当a22abc22bc时，试判断ABC的形状. ○ 2证明a2b2c22ac0 ○ 四、小结归纳 用配方法解一元二次方程的步骤： 21.把原方程化为axbxc0a0的形式， 2.把常数项移到方程右边； 3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1； 学生归纳，总结阐述，4.方程两边都加上一次项系数一半的平方； 体会，反思.并做出笔记. 5.原方程变形为（x+m）2=n的形式； 6.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 不写出完整的解方程过程，原方程变形为（x+m）2=n的形式后，若n为0，原方程有两个相等的实数根；若n为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n为负数，则原方程无实数根. 五、作业设计 必做：P42：3（3）（4） 选做：P43：8、9 教 学 反 思 初步了解一元二次方程的根的情况，并为公式法的学习奠定基础 使学生自主探究，进一步领会配方思想，并熟练进行配方. 加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学 习惯 加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.

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第二十二章 一元二次方程 教案 教学时间 教学媒体 知识 教 学 目 标 情感 态度 教学重点 教学难点 过程 方法 技能 课题 22.2.2公式法 多媒体 课型 新授 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况. 3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程. 1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.； 2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单. 3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯. 1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心. 求根公式的推导，公式的正确使用 求根公式的推导 教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法教师提出问题，学生思为推导公式作铺考. 垫，激发学生探索解一般形式的一元二次方程ax2bxc0a0？ 欲望 二、探究新知 活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？ 学生观察思考尝试回答学生回顾配方法1；6x2-7x+1=0 ○2ax2bxc0a0 ○学生对比进行配方，通的解题思路，从数过自主探究，合作交流，字系数过渡到字活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解： 展开对求根公式的推导 母系数进行配方，1.移项得到6x2-7x=-1，ax2bxc 推导公式 71bc 对比探究，结合2.二次项系数化为1得到x2x,x2x 66aa 字母表示数的特 点，尝试推导求根7217722 3.配方得到 x-x+（）=-+（） 公式，培养学生发121266 现问题的能力 bb）2=-c+（b）2 x2+x+（ 通过学生亲自解2aa2aa 方程的感受与经222b4ac2725b4.写成（x+m）=n形式得到（x-）=，（x+）= 验，体会数式通24a121442a 性，为感受数学的2 严谨性和数学结5.直接开平方得到x-7=±5，注意：（x+b）2=b4ac是否 论的确定性. 4a212122a让学生尝试对 可以直接开平方？ b24ac的值进行对b24ac的224a24a2活动3.对（x+b）2=b4ac观察，分析，在a0时对b4ac分析 值的情况具有不4a24a22a学生尝试归纳，师生总确定性进行讨论 的值与0的关系进行讨论 结 活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法. 学生初步使用公式，教 2师规范板书。之后总结为以后熟练使用活动5.初步使用公式解方程6x-7x+1=0. 公式打基础 1把方程整理成一般形式，活动6.总结使用公式法的一般步骤：○确定a,b,c使用公式步骤 的值，注意符号 第19页

第二十二章 一元二次方程 教案 2求出b24ac的值，○方程ax2bxc0a0，当Δ＞0时， 有两个不等实根；Δ=0时有两个相等实根；Δ<0时无实根. 223在b4ac≥0的前提下把a， ○b，c的值带入公式x=bb4ac 2a 进行计算，最后写出方程的根. 三、课堂训练 学生完成，教师巡1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况 回检查，师生集体订正 （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 2.课本例2 四、小结归纳 学生归纳，总结阐述，本节课应掌握： 体会，反思.并做出笔1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根 记. 2.用求根公式求一元二次方程的根 3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程. 五、作业设计 必做：P42：4、5 选做：P43：11、12 补充作业：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时A元收费． 100（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A表示） （2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元） 3 4 教 学 反 思 80 45 25 10 使学生熟练使用本节课知识解题 加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯 加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系. 根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？

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第二十二章 一元二次方程 教案

教学时间 教学媒体 1.了解因式分解法的概念. 教 学 目 标 过程 方法 情感 态度 知识 技能 2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程. 1.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力. 2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法. 积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验. 会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程 课题 22.2.3因式分解法 多媒体 课型 新授 教学重点 教学难点 将整理成一般形式的方程左边因式分解 教学过程设计

教学程序及教学内容 一、复习引入 导语：我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法. 二、探究新知 1.因式分解 x2-5x；； 2x(x-3)-5(x-3); 25y2-16； x2+12x+36；4x2+4x+1 分析：复习因式分解知识，，为学习本节新知识作铺垫. 2.若ab=0,则可以得到什么结论？ 分析：由积为0，得到a或b为0，为下面用因式分解法解方程作铺垫. 3.试求下列方程的根 ： x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2 =0; (2x-3)2=0. 分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解. 4. 试求下列方程的根 14x2-11x =0; x(x-2)+ (x-2)=0; (x-2)2 -(2x-4)=0 ○225y2-16=0; (3x+1)2 -(2x-1)2 =0; (2x-1)2 =(2-x)2 ○3x2+10x+25=0; 9x2-24x+16=0; ○师生行为 由学过的一元二次方程到解法的回顾，引出新的解法 学生观察式子特点，进行因式分解，为下面的学习作铺垫 学生根据 ab=0得到a=0或b=0，为下面学习作铺垫 学生直接利用2的结论完成3中解方程 让学生根据前面铺垫，尝1○2 试用因式分解法解○3三组方程，○之后师揭示因式分解法概念，师生总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 设计意图 学生回顾因式分解知识为学习本节新知识作铺垫 对比探究，结合已有知识，尝试解题，培养学生发现问题的能力 通过学生亲自解方程的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 123= x-2x+; 2x2+12x+18=0; 441○2○3三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左分析：观察○45x2-2x-○边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程第21页

第二十二章 一元二次方程 教案 4中的方程结构较复杂，需要先整理. ○先观察，尝试选用合适方5.选用合适方法解方程 法解方程，之后交流，比较三种解法，便于选取合 x2+x+1=0；x2+x-2=0；(x-2)2 =2-x；2x2-3=0. 适的方法解方程 4 分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法， 提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式. 学生尝试归纳，师生总结 归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法 要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式 等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一 元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次. 学生完成，教师巡回三、课堂训练 检查，师生集体订正 1.完成课本练习 2.补充练习： 1已知（x+y）2 –x-y=0，求x+y的值． ○ 分析：先观察，并在本节课的知识情境下思考解题方法：先加括号，再提 取公因式，体会整体思想的优越性. 2下面一元二次方程解法中，正确的是（ ） ○． A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 23 B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2= 55 C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x2=x 两边同除以x，得x=1 3○今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建 养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一 边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m， 问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m） 四、小结归纳 学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔本节课应掌握： 记. 1.用因式分解法解一元二次方程 2.归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程特点选择合的解.这种解法叫做因式分解法. 适的方法解方程 五、作业设 计 必做：P43：6、10 选做：P43：13、14 教 学 反 思 选用合适方法解方程，培养学生灵活解方程的能力，进一步加强对所学知识的理解和掌握 通过归纳、比较方程的三种解法，进一步理解降次思想解方程 让学生在巩固过程中掌握所学知识，培养应用意识和能力 加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学 习惯 加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.

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第二十二章 一元二次方程 教案

教学时间 教学媒体 知识 技能 课题 22.2.4一元二次方程的根与系数关系 多媒体 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系. 教 学 目 标 情感 态度 教学重点 培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神. 一元二次方程的根与系数关系 过程 方法 学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明. 2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力. 课型 新授 教学难点 对根与系数关系的理解和推导 教学过程设计

教学程序及教学内容 一、复习引入 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？ 二、探究新知 1.课本思考 分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积. 2.跟踪练习 求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积. x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0 3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？ 分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？ 4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它师生行为 设计意图 的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？ 分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1 、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 5.跟踪练习 求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积. 13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0； ○25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x ○6.拓展练习 1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b= ,c= . ○第23页

教师出示问题，引出课创设问题情境，题学生初步了解本课激发学生好奇所要研究的问题 心，求知欲 学生通过去括号、合通过思考问题，并得到一般形式的一让学生知道二次元二次方程，教师适项系数为1的一时点拨，分析总结得元二次方程的根到结论. 与系数关系，为学生独自完成 后面继续研究做巩固上诉知识 铺垫 教师出示探究问题，学 生通过特殊例子入手，让学生通过探再通过一般形式推导究问题，体会从证明，教师引导学生根特殊到一般的据求根公式进行探究、认知过程，体会交流，尝试发现结论 数学结论的确 定性 学生解决，并交流 加深对韦达定理 的理解，培养学 生的应用意识和 能力 先观察，尝试选用合适 第二十二章 一元二次方程 教案 2已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是 ,k的值○是 . 3若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，○则p= ; 若两个根互为倒数，则q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项. 4两个根均为负数的一元二次方程是( ) ○A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0 5.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ） ○方法解题，之后交流， 比较解法 学生尝试归纳，师生总通过学生亲自解结 题的感受与经 验，感受数学的 严谨性和数学结 论的确定性. A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+35x-6=0 6.若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当○ m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根 的绝对值较大. 分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数 6中还需考虑m的值还得受根的判别式的. 的符号，○ 进一步加强对三、课堂训练 学生完成，教师所学知识的理1.完成课本练习 巡回检查，师生集体解和掌握 订正 2.补充练习： x1 ，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值： 2222211xx212xxxx ○3x45 ○ ○○；1 21121x2； ○x1x2；x1x2x1x2 四、小结归纳 本节课应掌握： 通过归纳，进一1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系 学生归纳，总结阐述，步理解韦达定2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0； 体会，反思.并做出笔理及其应用 记. 3.韦达定理的应用常见题型： 加强教学反思，1不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根； ○帮助学生养成2○已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； 系统整理知识的学习习惯，加3由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值； ○深认识，深化提4判断两个根的符号；○5不解方程求含有方程的两根的式子的值. ○高，形成学生自五、作业设 计 己的知识体系. 必做：P43：7 选做：补充作业：已知一元二次方程x2+3x+1=0的两个根是、，求的值. 教 学 反 思

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第二十二章 一元二次方程 教案

教学时间 教学媒体 教 学 目 标 过程 方法 情感 态度 知识 技能 课题 22.3实际问题与一元二次方程（1） 多媒体 1.使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题. 2.培养学生的阅读能力. 1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活. 2.通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力. 3.经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 建立数学模型，找等量关系，列方程 找等量关系，列方程 课型 新授 教学重点 教学难点 教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 联系曾经学习过导语：同一元一次方程，二元一次方程（组）等一样，一元二次方程点题，板书课题. 的方程应用衔接和实际问题，也有紧密的联系，本节课就来讨论如何利用一元二次方 本节内容，明确本程来解决实际问题. 节课任务 二、探究新知  探究课本30页问题1 分析：设正方体的棱长是xdm，则一个正方体的表面积是多少？10个 呢？等量关系是什么？  探究课本38页问题 分析： 淡化解方程，重点设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度是多少？ 突出列方程  某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用 教师指导学生进行阅读， 于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若找关键词，题中数据，联 存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的系所要求的量，明确量与 量的关系，设直接未知数， 年利率．（利息税为利息的20%） 表示相关量，找等量关系 分析： 设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩尝试列方程，求根，根据 下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为实际问题要求，对根进行 取舍. 弄清问题背景，把1000+2000x·80%，其它依此类推． 有关数量关系分 课本46页探究2 学生解答问题1，2，析透彻，特别是找分析： 设甲种药品的成本年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本是然后交流，讨论，达到共出可以作为列方识. 程依据的主要相多少？两年后甲种药品成本是多少？相关的等量关系是什么？类似 等关系 的乙甲种药品成本的年平均下降率是多少？相关的等量关系是什么？方程的解都是该问题的解吗？如果不是，如何选择？为什么？ 如何回答课本46页思考？ 归纳： 通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什学生尝试叙述，然后师生让学生更加熟练么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？ 归纳 地列方程解应用 某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视 题，并强化运用.机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的 把握百分率问题 百分率是多少？ 的解题技巧 分析： 设平均增长率是x，则二月份生产电视机的台数是多少？三月份第25页

第二十二章 一元二次方程 教案 生产电视机的台数是多少？第一季度生产电视机的总台数还可以怎师引导生对照上题，分析找 样表示？等量关系是什么？ 出两题的异同点 归纳： 以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、 分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次让学生体会建立数学模型思通过类比，联系新方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型． 想，分析、解决实际问题. 旧知识，明确共三、课堂训练 性. 补充练习： 1．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积○ 压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）． A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元 C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元 学生完成，教师巡视 2．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损○指导，了解学生掌握情况， 成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表并集中订正 使学生巩固提高， 示为（ ）． 了解学生掌握情 况 pA． B．p C．100p D．100p 100p100p1000p 3． 2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三 ○ 月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感 的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）． 22 A．100（1+x）=250 B．100（1+x）+100（1+x）=250 22 C．100（1-x）=250 D．100（1+x） 四、小结归纳 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 师生归纳总结，学生作笔纳入知识系统，2.利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题 记. 总结本节课内五、作业设计 容，把握利用列必做：P48：1、2、3 一元二次方程解选做：P49：9 常见实际问题的补充作业： 题的技巧 上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大? 教 学 反 思

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第二十二章 一元二次方程 教案

教学时间 教学媒体 知识 技能 课题 22.3实际问题与一元二次方程（2） 多媒体 1以流感为问题背景，2以封面设计为问题背景，1.能根据○按一定传播速度逐步传播的问题；○边课型 新授 教 学 目 标 衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用. 2.培养学生的阅读能力与分析能力. 3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 过程 方法 情感 态度 通过自主探究，思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程. 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值. 建立数学模型，找等量关系，列方程 找等量关系，列方程 教学重点 教学难点 教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 联系上节课内容，导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般点题，板书课题. 进一步学习一元步骤及应注意的问题. 二次方程的应用 二、探究新知 教师提出问题，并指导学  课本45页探究1 生进行阅读，思考， 分析： 学生根据个人理解，回答 1设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周○教师提出的问题.弄清题弄清问题背景，期. 意，设出未知数，并表示特别注意分析清2第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包○相关量，根据相等关系尝楚题意，题中没括传染源在内，共有几个人患着流感？ 试列方程，求根.根据实际有特别说明，那3第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包○问题要求，对根进行选择么最早的患者没括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？ 确定问题的解.教师组织有痊愈，仍在继4本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程. ○学生合作交流，达到共识， 续传染别人. 拓展：课本思考.四轮呢？ 归纳： 本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特师生汇总生活中常见的类让学生掌握这一别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，似问题，总结这类题的做类题型 比如细胞，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两题技巧. 轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.  课本47页探究3 分析： 1正的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？ 教师提出问题，让学生结合将几何图形的问○2上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关画图理解并解答问题，题用一元二次方○系？ 培养学生对几何图形的分析程方法来解决 3若设正的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬能力，将数学知识和实际问 ○的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？ 题相结合的应用意识 4“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根 ○ 据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽 为.还可以根据正的长方形长与宽的比为9：7，设正的长方 形的长为9x㎝，宽为7x㎝.尝试列出方程. 5○方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们 的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题 的实际意义. 归纳： 第27页

第二十二章 一元二次方程 教案 1在实际生活中有许多几何图形的问题原型，○可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决 2.对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程. ○三、课堂训练 教师总结，学生体会 补充练习： 学生完成，教师巡视使学生巩固提高， 1．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，指导，了解学生掌握情况，了解学生掌握情则原来的正方形铁片的面积是（ ）． 并集中订正 况 A．8cm B．cm C．8cm2 D．cm2 2．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙， 另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m， 2所围的面积为150m，则此长方形鸡场的长、宽 分别为_______． 3.有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面 面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长 和宽各是多少?（精确到0．1尺） 4.在一块长12m，宽8m的长方形平地，划出地方砌一个面积为 8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为 多少? 四小结归纳 谈一节课的收获和体会. 师生归纳总结，学生作笔纳入知识系统，五、作业设计 记. 总结本节课内必做：P48：4-8 容，让学生体会选做：P49：10 方程刻画现实世补充作业： 界的模型作用. 某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 教 学 反 思

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第二十二章 一元二次方程 教案 第二十二章《一元二次方程》小结

一、本章知识结构框图

二、本章知识点概括

1、相关概念

（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）

的方程，叫做一元二次方程。

2

（2）一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，

2

其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 （3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．

一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程

整式方程 二次方程：一元二次方程，二元二次方程

*（4）有理方程 高次方程：

分式方程

2、降次——解一元二次方程

（1） 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．

配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是: ①方程化为一般形式；

②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③化二次项系数为1；

④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，

2

从而原方程化为（mx+n）=p的形式；

⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。 （2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

2

其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b－4ac≥0时，•

bb24ac2

将a、b、c代入求根公式x=（b-4ac≥0）就得到方程的根．

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第二十二章 一元二次方程 教案 （3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是： ①通过移项将方程右边化为0；

②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积； ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。

3、一元二次方程根的判别式

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（1）⊿＝b－4ac叫一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。 （2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：

①⊿=b2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根； ②⊿=b2－4ac =0 方程有两个相等实数根； ③⊿=b2－4ac ＜0 方程没有实数根； ④⊿=b2－4ac ≥0 方程有两个实数根。

（3）应用：

①不解方程，判别方程根的情况；

②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围； ③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；

注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。

*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容） （1）如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2，

2

那么x1x2bc,x1x2 aa（2）应用：

①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； ②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；

③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围； ④不解方程可以求某些关于x1,x2的对称式的值，通常利用到：

2x12x2(x1x2)22x1x2

(x1x2)2(x1x2)24x1x2

|x1x2|x1x224x1x2 |a|当x1x2=0且x1x2≤0，两根互为相反数；

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第二十二章 一元二次方程 教案 当⊿≥0且x1x2=1，两根互为倒数。

（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）

2

⑩用公式法因式分解二次三项式ax+bx+c(a≠0)：

ax+bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中x1,x2是方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个实数根。

2

2

5、实际问题与一元二次方程

传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。

三、典型例题辨析

1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个．

①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-|m|

5=0 x2、当m 时,关于x的方程(m+2)x+3mx+1=0是一元二次方程.

3、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 4、根据下列表格的对应值：

x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x的取值范围是________。 5、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是_____． 7、已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是_____．

8、已知2和1是关于x的方程2x2mxn0的两个根，则m的值为 ，n的值为 . 9、已知方程的两根为，则的值为 。

10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共_____人．

11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为_______． 12、解下列方程：

⑴ x24x60 ⑵ 2x237x ⑶

13、若关于x的一元二次方程ax22x60有两个实数根，求a的取值范围.

14、已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值。

15、k为何值时，方程x2-（k+1）x+(k-2)=0 （1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.

第31页

12x2x10 ⑷ 3xx25x2 2第二十二章 一元二次方程 教案 16、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．

AP CQB

www.czsx.com.cn17、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．（50%）

18、在一块长12m，宽8m的长方形平地，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?

19、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．

①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（x1=10，x2=20）

②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．（1250元）

20、一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，•紧急刹车后汽车又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间?

（2）•从刹车到停车平均每秒车速减少多少?

（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?

作业：必做：P53：1-10 选做：P54：11、12

教 学 反 思第32页

第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 23.1 图形的旋转（1） 课型 新授课 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题． 教 学 目 标 通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，过 程 应用概念解决一些实际问题． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，激发学习热情． 教学重点 教学难点 旋转及对应点的有关概念及其应用． 从活生生的数学中抽出概念． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形． 设计意图 2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． 第33页

第二十三章 旋转 教案 （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）•的对称图形并口述它既有的一些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？•从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．•如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略） 3．第1、2两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 下面我们来运用这些概念来解决一些问题． 例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角． （2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置． 例2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形． （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ （2）请画出旋转中心和旋转角． （3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？ （老师点评） （1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）•画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H． 最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，•但旋转角和对应点都是不唯一的． 三、巩固练习 教材P56 练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．两个边长为1的正方形，如图所示，•让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为1，现把其中一个正方形固定不动，•另一4个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？•说明理由． 分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，•要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE`=S△ODD`，那么只要说明△OEF′≌△ODD′． 第34页

第二十三章 旋转 教案 解：面积不变． 理由：设任转一角度，如图所示． 在Rt△ODD′和Rt△OEE′中 ∠ODD′=∠OEE′=90° ∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE OD=OD ∴△ODD′≌△OEE′ ∴S△ODD`=S△OEE` ∴S四边形OE`BD`=S正方形OEBD=1 4 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握： 1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念． 2．旋转的对应点及其它们的应用． 作业 设计 教 学 反 思

必做 选做 教材P59:1、2、3． P60：6 第35页

第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 23.1 图形的旋转(2) 课型 新授课 理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用． 教 学 目 标 先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图过 程 形的旋转的基本性质． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识． 教学重点 教学难点 图形的旋转的基本性质及其应用． 运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 （学生活动）老师口问，学生口答． 1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 3．请完成下面的题目． 如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？ （老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的． 二、探索新知 上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题： 1．A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等？ 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等？ 3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△第36页

设计意图 第二十三章 旋转 教案 OFA全等吗？ 老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？下面请看这个实验． 请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，•再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，•在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板． （分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明） 1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？ 2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？ 3．△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？ 老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等． 2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，•即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角． 3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等． 综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等． 例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形． 分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD （2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE上截取CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点． （4）连结DB′ 则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形． 例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=1，△4ABF是△ADE的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF的长度是多少？ （4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？ 分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是A点． （2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的 第37页

第二十三章 旋转 教案 ∴B是D的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE=1 417 4 ∴AE=1()=2142 ∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点 ∴AF=17 4 （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形． 三、巩固练习 教材P58 练习1、2． 四、应用拓展 例3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系． 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明． 解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形 ∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90° ∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的 ∴BK=DM 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 1．对应点到旋转中心的距离相等； 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教材P60 4、5． P60：7 第38页

第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 23.1 图形的旋转(3) 课型 新授课 理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案． 教 学 目 标 复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计过 程 出美丽的图案． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情． 教学重点 教学难点 用旋转的有关知识画图． 根据需要设计美丽图案． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 1．（学生活动）老师口问，学生口答． （1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？ （2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？ （3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？ 2．请同学完成下面的作图题． 如图，△AOB绕O点旋转后，G点是B点的对应点，作出△AOB旋转后的三角形． （老师点评）分析：要作出△AOB旋转后的三角形，应找出三方面：第一，旋转中心：O；第二，旋转角：∠BOG； 第三，A点旋转后的对应点：A′． 二、探索新知 从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究． 第39页

设计意图 第二十三章 旋转 教案 1．旋转中心不变，改变旋转角 画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形． 2．旋转角不变，改变旋转中心 画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30•°的旋转图形． 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案． 例1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O•为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案． 分析：只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化，•旋转长度为菊花的最长OA，按菊花叶的形状画出即可． 解：（1）连结OA （2）以O点为圆心，OA长为半径旋转45°，得A． （3）依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、225°、270°、315°的A、A、A、A、A、A． （4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶． 那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形． 例2．（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点O′为旋转中心，•请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？ 老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一种花了． 三、巩固练习 教材P59 练习． 四、应用拓展 例3．如图，如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°的图形． 分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个复合图形组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再 第40页

第二十三章 旋转 教案 根据旋转的特征，作出这些关键点的对应点，最后再按原图案作出旋转后的图案． 解：（1）连结OA，过O点沿OA逆时针作∠AOA′=90°，在射线OA′上截取OA′=OA； （2）用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′； （3）作出对应线段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A•′G′、G′D′、D′H′、H′A′； （4）所作出的图案就是所求的图案． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案； 2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，•要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等． 作业 设计 教 学 反 思

必做 选做 教材P60： 综合运用7、8． P60：9 第41页

第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 23.2 中心对称(1) 课型 新授课 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题． 教 学 目 标 复习运用旋转知识作图，•旋转角度变化，•设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的过 程 特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 让学生通过思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣． 教学重点 教学难点 利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题． 从一般旋转中导入中心对称． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 请同学们完成下题． 如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，•并写出简要作法． 老师点评：分析，本题已知旋转后点A的对应点是点D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，•一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；•已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA、OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可． 作法：（1）连结OA、OB、OC、OD； 第42页

设计意图 第二十三章 旋转 教案 （2）分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=∠AOD； （3）分别截取OE=OB，OF=OC； （4）依次连结DE、EF、FD； 即：△DEF就是所求作的三角形，如图所示． 二、探索新知 问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题： 1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？ 2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？ 老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合． 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． （1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． （2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点． 分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，•对称中心就是旋转中心． （3）旋转后的对应点，便是中心的对称点． 解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD （2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D （3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示． 第43页

第二十三章 旋转 教案 答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点． （2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合． 例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD•成中心对称的三角形． 分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可． 解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），B•点关于中心D的对称点为C（B′） （2）连结A′B′、A′C′． 则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示． 三、巩固练习 教材P 练习1． 四、应用拓展 例3．如图，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置． （1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积． （2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y与x的关系式． 分析：（1）∵BC=4，AC=4 ∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1 （2）∵平移的距离为x，∴BC′=4-x 解：（1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC ∴BC′=C′D=1 ∴S△BDC`=11×1×1= 22 （2）∵CC′=x，∴BC′=4-x ∵AC=BC=4 ∴DC′=4-x ∴S△BDC`=112（4-x）（4-x）=x-4x+8 22 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．中心对称及对称中心的概念； 2．关于中心的对称点的概念及其运用． 作业 设计 必做 选做 教材P67： 1． 第44页

第二十三章 旋转 教案 教 学 反 思

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第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 23.2 中心对称(2) 课型 新授课 理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用． 教 学 目 标 复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让过 程 学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 让学生通过思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣． 教学重点 教学难点 中心对称的两条基本性质及其运用． 让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 （老师口问，学生口答） 1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？ 2．什么叫关于中心的对称点？ 3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，•画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论． （每组推荐一人上台陈述，老师点评） （老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形 （1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形； （2）作关于一定点O为对称中心的对称图形． 第一步，画出△ABC． 第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′和△A′B′C′，如图1和用2所示． 设计意图 第46页

第二十三章 旋转 教案 (1) (2) 从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形； 分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段． 下面，我们就以图2为例来证明这两个结论． 证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中， OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′ ∴△AOB≌△A′OB′ ∴AB=A′B′ 同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′ （2）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O•旋转180•°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O是线段AA′的中点． 同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点． 因此，我们就得到 1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 2．关于中心对称的两个图形是全等图形． 例1．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称． 分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到． 解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示． （2）同样画出点B和点C的对称点E和F． （3）顺次连结DE、EF、FD． 则△DEF即为所求的三角形． 第47页

第二十三章 旋转 教案 例2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B•′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）． 二、巩固练习 教材P： 练习2． 三、应用拓展 例3．如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC． 分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，•旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内． 解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B•的位置，则△AOC≌△AO′B． ∴AO=AO′，OC=O′B 又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O为等边三角形． ∴AO=OO′ 在△BOO′中，OO′+OB>BO′ 即OA+OB>OC 四、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 中心对称的两条基本性质： 1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，•而且被对称中心所平分； 2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用． 作业 设计 必做 选做 P68：6、7 P68：8． 第48页

第二十三章 旋转 教案 教 学 反 思

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第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 23.2 中心对称(3) 课型 新授课 了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用． 教 学 目 标 复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图过 程 形的有关概念及其它的运用． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识． 教学重点 教学难点 中心对称图形的有关概念及其它们的运用． 区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？ （老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 2．（学生活动）作图题． （1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示． 设计意图 A （2）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示． O第50页

第二十三章 旋转 教案 AOB （2）延长AO使OC=AO， 延长BO使OD=BO， 连结CD 则△COD为所求的，如图所示． 二、探索新知 从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA=•OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合． 上面的（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平AD行四边形，如图所示． ∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD O ∴△AOB≌△COD ∴AB=CD 也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合． CB 因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （学生活动）例1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形． 老师点评：老师边提问学生边解答． （学生活动）例2：请说出中心对称图形具有什么特点？ 老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳． 例3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形． AODBC 分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分． 证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、•BD必过点O，且AO=CO，BO=DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，•四边形ABCD第51页

第二十三章 旋转 教案 是平行四边形． 三、巩固练习 教材P66 练习． 四、应用拓展 例4．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，•求折痕EF的长． 分析：将矩形折叠，使C点和A点重合，折痕为EF，就是A、C两点关于O点对称，这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积． 解：连接AF， ∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC． ∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形ABCD为矩形，∠B=90°，AB=CD=3，AD=•BC=4 设CF=x，则AF=x，BF=4-x， 由勾股定理，得AC2=BC2+AB2=52 ∴AC=5，OC=15AC= 22 ∵AB2+BF2=AF2 ∴32+（4-x）=2=x2 ∴x=25 8 ∵∠FOC=90° 51515252）-（）2=（）2 OF= 28881515 同理OE=，即EF=OE+OF= 84 ∴OF2=FC2-OC2=（ 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．中心对称图形的有关概念； 2．应用中心对称图形解决有关问题． 作业 设计 必做 选做 教材P68：2 教材P68 综合运用5 第52页

第二十三章 旋转 教案 教 学 反 思

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第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 23.2 中心对称（4） 课型 新授课 理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用． 教 学 目 标 复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其过 程 运用． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 复习平面直角坐标系的有关概念，•通过实例归纳出两个点关于原点对称时，坐标符号之间的关系，并运用它解决一些实际问题．享受成功的喜悦，激发学习热情． 教学重点 教学难点 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）•关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用． 运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面三题． 1．已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′． A 2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形． 3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形． 设计意图 l第54页

第二十三章 旋转 教案 老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略） 二、探索新知 （学生活动）如图23-74，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、•D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答： 这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ y43CAB-4-3-2-121D123O-1-3x-2 老师点评：画法：（1）连结AO并延长AO （2）在射线AO上截取OA′=OA （3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″． ∵△AD′O与△A′D″O全等 ∴AD′=A′D″，OA=OA′ ∴A′（3，-1） 同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标． （学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，•①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？ 提问几个同学口述上面的问题． 老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即设P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）． 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）． 例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形． 第55页

第二十三章 旋转 教案 y4321-4-3-2-1B123-2O-1Ax-3 分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可． 解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）， 因此，线段AB的两个端点A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为A′（1，0），B（-3，0）． 连结A′B′． 则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′． （学生活动）例2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形． 老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，•依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′． 三、巩固练习 教材P67 练习． 四、应用拓展 例3．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1． （1）在图中画出直线A1B1． -4-3 （2）求出线段A1B1中点的反比例函数解析式． （3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b（我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由． 分析：（1）只需画出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1、B1，连结A1B1． （2）先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=y432BO123A-2-11x-1-2-3k代入求k． x （3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的线段作A1、B1关于原点的对称点A2、B2，连结A2B2的直线就是我们所求的直线． 解：（1）分别作出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1（1，0），B1（2，0），连结A1B1，那么直线A1B1就是所求的． （2）∵A1B1的中点坐标是（1，1） 2第56页

第二十三章 旋转 教案 设所求的反比例函数为y= 则k x1k1=，k= 2121 ∴所求的反比例函数解析式为y=2 x （3）存在． ∵设A1B1：y=k′x+b′过点A1（0，1），B1（2，0） b`11b` ∴ ∴1 k`02kb2 ∴y=-1x+1 2 把线段A1B1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线． 根据点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）得： A1（0，1），B1（2，0）关于原点的对称点分别为A2（0，-1），B2（-2，0） ∵A2B2：y=kx+b 11bk ∴ ∴2 02k`bb1 ∴A2B2：y=-1x-1 211 下面证明y=-x-1与双曲线y=2相切 2x1yx11212x+2=-1  -x-1=12xx2yx x2+2x+1=0，b2-4ac=4-4×1×1=0 11 ∴直线y=-x-1与y=2相切 2x ∵A1B1与A2B2的斜率k相等 ∴A2B2与A1B1平行 ∴A2B2：y=-1x-1为所求． 2 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 第57页

第二十三章 旋转 教案 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），•关于原点的对称点P′（-x，-y），及其利用这些特点解决一些实际问题． 作业 设计 教 学 反 思

必做 选做 教材P67 ：3、4． P69：9 第58页

第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 23.3 课题学习 图案设计 课型 新授课 利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案． 教 学 目 标 通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大过 程 胆联想，设计出一幅幅美丽的图案． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情． 教学重点 教学难点 设计图案． 如何利用平移、轴对称、•旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面的各题． 1．如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B•点的对称点，•作出线段AB，并回答，AB与CD有什么位置关系． 设计意图 CClCBD DD 2．如图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴L的对称线段C′D′，•并说明CD与对称线段C′D′之间有什么关系？ 3．如图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，•并第59页

第二十三章 旋转 教案 说明这两条线段之间有什么关系？ 老师点评： 1．AB与CD平行且相等； 2．过D点作DE⊥L，垂足为E并延长，使ED′=ED，同理作出C′点，连结C′D•′，•则CD′就是所求的．CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点，这一点在L上并且CD=•C′D′． 3．以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D′，垂足为D，并且CD=C′D． 二、探索新知 请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或组合完成下面的图案设计． 例1．（学生活动）学生亲自动手操作题． 按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案． （1）准备一张正三角形纸片（课前准备）（如图a） （2）把纸片任意撕成两部分（如图b，如图c） （3）将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形． （4）并将（3）得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图（d）（如图c）保持不动） （5）把如图（d）平移到如图（c）的右边，得到如图（e） （6）对如图（e）进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图（f）的图案． 老师必要时可以给予一定的指导． 三、巩固练习 教材P73 活动1． 四、应用拓展 例2．（学生活动）请利用线段、三角形、矩形、菱形、圆作为基本图形，•绘制一幅反映你身边面貌的图案，并在班级里交流展示． 老师点评：老师点到为止，让学生自由联想，老师也可在黑板上设计一、二图案． 五、归纳小结 本节课应掌握： 利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案． 作业 设计 必做 选做 教材P73： 活动2 P76： 6、7． 第60页

第二十三章 旋转 教案 教 学 反 思

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第二十三章 旋转 教案 第二十三章《旋转》小结

一、旋转变换

1、旋转的定义

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 2、旋转的性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等。（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。） （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 3、作旋转后的图形的一般步骤

（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度； （2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点； （3）顺次连结。

4、欣赏较复杂旋转图形

图形是由什么基本图形，以哪个点为中心，按哪个方向（顺时针或逆时针）旋转多少度，连续旋转几次，便得到美丽的图案。

5、有关图形旋转的一些计算题和证明题

二、中心对称

1、中心对称的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 2、中心对称的性质

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平所平分。 （2）关于中心对称的两个图形是全等形。 3、作中心对称和图形的一般步骤 （1）确定“代表性的点”；

（2）作出每个代表性的点的对应点； （3）顺次连结。

三、中心对称图形

1、中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，过对称中心的直线，可以把图形分成完全重合的两部分。 2、中心对称图形的识别

常见的几何图形，如：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆，26个大写英文字母（7个），正多边等要会识别，并指出对称中心。 3、两个图形成中心对称和中心对称图形的区别与联系 区别：

（1）中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形。

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第二十三章 旋转 教案 （2）研究对象的个数不同，中心对称指两个图形，而中心对称图形只研究一个对象。

（3）中心对称图形的对称中心是图形自身或内部的点，而两个图形关于某点成中心对称，对称中心不定。 联系：

两者均是关于点的对称，它们之间无绝对界限，当把两个图形看作整体时，即为中心对称图形，若把中心对称图形看作两部分则两部就可以关于一点成中心对称。 4、中心对称图形和轴对称图形的关系

（1）对称轴条数为正偶数的轴对称图形是中心对称图形，对称中心是对称轴的交点； （2）对称轴条数相互垂直的轴对称图形是中心对称图形。

（3）轴对称图形是翻转180°与自身重合，而中心对称图形是旋转180°与自身重合。

四、关于原点对称的点的坐标

1、关于原点对称的点的坐标特征：点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）. 2、作关于原点成中心对称的图形的步骤： （1）写出各点关于原点对称的点的坐标； （2）在坐标平面内描出这些对称点的位置； （3）顺次连接各点即为所求作的对称图形。

作业：必做：P75：1、2、3 选做：P75：4、5

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第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 24.1.1 圆 课型 新授课 探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别． 教 学 目 标 体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系． 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性． 教学重点 教学难点 圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题． 圆的运动式定义方法 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动1：如图1，观察下列图形，从中找出共同特点． 设计意图 图1 第页

第二十四章 圆 教案 学生活动设计： 学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形． 教师活动设计： 让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同时激发学生的学习渴望以及探究热情． 二、问题引申，探究圆的定义，培养学生的探究精神 活动2：如图2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（课件：画圆） 图2 学生活动设计： 学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆． 教师活动设计： 在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作一界定： 圆：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆； 圆心：固定的端点叫作圆心； 半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径． 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 同时从圆的定义中归纳： （1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 于是得到圆的第二定义： 所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆． 活动3：讨论圆中相关元素的定义．如图3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？ 图3 学生活动设计： 学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果． 教师活动设计： 在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决． 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦； 直径：经过圆心的弦叫作直径； 第65页

第二十四章 圆 教案 弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧； 弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的ABC； 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的BC． 活动4：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？ （课件：车轮；课件：方形车轮） 学生活动设计： 学生首先根据对圆的概念的理解思考，然后进行分组讨论，最后进行交流． 教师活动设计： 引导学生进行如下分析：如图4，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定． 图4 三、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力 活动5：如何在操场上画一个半径是5 m的圆？说出你的理由 师生活动设计： 教师鼓励学生思考，让学生表述自己的方法．根据圆的定义可以知道，圆是一条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形，所以可以用一条长5m的绳子，将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所要的圆． 活动6：从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm，这棵红杉树平均每年半径增加多少？ 图5 师生活动设计： 首先求出半径，然后除以20即可． 〔解答〕树干的半径是23÷2＝11．5（cm）． 平均每年半径增加11．5÷20＝0．575（cm）． 小结：圆的两种定义以及相关概念． 作业 设计 必做 选做 请做一个正方形的车轮，体会在车轮滚动的过程中车身的情况． 第66页

第二十四章 圆 教案 教 学 反 思 第67页

第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 24．1．2 垂直于弦的直径 课型 新授课 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质； 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题． 教 学 目 标 在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些过 程 性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程． 进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生探索，相互合作交流的精神． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神． 教学重点 教学难点 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明． 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质） 学生活动设计： 学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 教师活动设计： 在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性． 二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神 活动2：按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其第68页

设计意图 第二十四章 圆 教案 中点M是两条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1． 图1 图2 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件：探究垂径定理) 学生活动设计：如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此AM=BM，AC=BC，同理得到ADBD． 教师活动设计： 在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质： （1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 活动3：如图3，AB所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径． 图3 学生活动设计： 学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程． 教师活动设计： 在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来． 〔解答〕设圆的半径为R，由条件得到OD=R－4，AD=8， 在Rt△ADO中 222AO2OD2AD2，即R(R4)8． 解得 R＝10（m）． 第69页

第二十四章 圆 教案 答：此圆的半径是10 m． 活动4：如图4，已知AB，请你利用尺规作图的方法作出AB的中点，说出你的作法． AB 图4 师生活动设计： 根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点． 〔解答〕1．连接AB； 2．作AB的中垂线，交AB于点C，点C就是所求的点． 三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识． 活动5 解决下列问题 1．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由． GCCEFMAABHDOB 图5 图6 学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥． 〔解答〕如图6，连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到 OC⊥AB，OC⊥GF， 根据勾股定理容易计算 OE=1．5米， OM=3．6米． 所以ME=2．1米，因此可以通过这座拱桥． 2．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 第70页

第二十四章 圆 教案 图7 图8 师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维． 〔解答〕 如图8所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F， 1则AE=2AB = 30 cm．令⊙O的半径为R， 则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10． 在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2． 解得R =50 cm． 修理人员应准备内径为100 cm的管道． 小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 习题24．1 第1题，第8题，第9题． 第71页

第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 24．1．3 弧、弦、圆心角 课型 新授课 通过探索理解并掌握: （1）圆的旋转不变性； （2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理； 教 学 目 标 （1）通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括过 程 问题的能力； （2）利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 和 学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题． 方 法 情 感 态 度 价值观 培养学生积极探索数学问题的态度及方法． 教学重点 教学难点 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动1 1.按下面的步骤做一做： (1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下； (2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定． 注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合． 设计意图 第72页

第二十四章 圆 教案 图1 (3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合． 通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由． (课件：探究三量关系) 师生活动设计： 教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知ABA'B'． 在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以AB和A'B'重合，弦AB与弦A′B′重合，即ABA'B'，AB=A′B′． 进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理： 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？ （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等． 师生活动设计： 本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题． 二、主体活动，巩固新知，进一步理解三量关系定理． 活动2： 第73页

第二十四章 圆 教案 1．如图2，在⊙O中，ABAC，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC． AOBC 图2 学生活动设计： 学生思考，根据对三量定理的理解加以分析．由ABAC，得到ABAC，△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC． 教师活动设计： 这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法． 〔证明〕∵ ABAC ∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形． 又 ∠ACB＝60°， ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA． ∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC． 2．如图3，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数． 图3 学生活动设计： 学生分析，由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是得到∠BOD＝＝120°． 教师活动设计： 此问题的解决方式和活动3类似，不过要注意学生对辅助线OC的理解，添加2×180°3第74页

第二十四章 圆 教案 辅助线OC的原因． 三、拓展创新、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力 活动3：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 师生活动设计： 小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图． 如图4所示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′． 图4 教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉． 小结：弦、圆心角、弧三量关系． 作业 设计 教 学 反 思

必做 选做 习题24．1 第2、3题，第10题． P88：11、12 第75页

第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 24.1.4 圆周角 课型 新授课 1．了解圆周角与圆心角的关系． 2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 3．能运用圆周角的性质解决问题． 教 学 目 标 1．通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理过 程 能力． 2．通过观察图形，提高学生的识图能力． 和 3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力． 4．学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化方 法 的数学思想解决问题． 情 感 态 度 价值观 引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 教学重点 教学难点 探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 发现并论证圆周角定理． 多媒体课件 师生行为 教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆． 教学准备 教师 问题与情境 [活动1 ] 演示课件或图片： 学生 “五个一” 设计意图 从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数教师解释：在这个海洋馆里，学． 人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物． 教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题． 教师结合示意图，给出圆周角的定义．利用几何画板演示，第76页

将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法． 引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，第二十四章 圆 教案 让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（AB）所对的圆心角（AOB）与圆周角（ACB）、同弧所对的圆周角（ACB、ADB、 问题1 如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB和ACB）有什么关系？ 问题2 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ADB和AEB）和同学乙的视角相同吗？ 并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． AEB等）之间的大小关系．教师引导学生进行探究． 教师关注： 1．问题的提出是否引起了学生的兴趣； 2．学生是否理解了示意图； 3．学生是否理解了圆周角的定义； 4．学生是否清楚了要研究的数学问题． 第77页

第二十四章 圆 教案 ［活动2］ 问题1 教师提出问题，引导学生利 活动2的设计是为 引导学生 同弧（弧AB）所对的圆心角用度量工具（量角器或几何画板）发现．让学生亲自动手，利用度量∠AOB 与圆周角∠ACB的大小动手实验，进行度量，发现结论． 工具（如半圆仪、几何画板）进行关系是怎样的？ 问题2 同弧（弧AB ）所对的圆周角∠ACB 与圆周角∠ADB 的大小关系是怎样的？ 在活动中，教师应关注： 实验、探究，得出结论．激发学生1．学生是否积极参与活动； 的求知欲望，调动学生学习的积极2．学生是否度量准确，观察、性．教师利用几何画板从动态的角发现的结论是否正确． 由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． 教师利用几何画板课件“圆 周角定理”，从动态的角度进行演示，验证学生的发现．教师可从COAB度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系． DCAOEB以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系 有无变化． 1．拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动； 2．改变圆心角的度数； 3．改变圆的半径大小． ［活动3］ 问题1 在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几 教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论． 教师关注： 数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学．通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法，学会发现问题、提出问第78页

第二十四章 圆 教案 种情况？ (课件：折痕与圆周角的关系) 问题2 当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？ 问题3 另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？ 1．学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果； 2．学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系． 教师巡视，请学生回答问题．回答不全面时，请其他同学给予补充． 教师演示圆心与圆周角的三种位置关系． 教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论． 学生写出已知、求证，完成证明． 教师关注： 1．学生能否用准确的数学符号语言表述已知和求证，并准确地画出图形来； 2．学生能否证明出结论． 学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动．启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化． 教师关注： 1．学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化； 题、分析问题，并能解决问题．活动3的安排是让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度． 问题1的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．培养学生思维的深刻性． 问题2、3的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般．学会运用化归思想将问题转化．并启发培养学生创造性的解决问题． 第79页

第二十四章 圆 教案 ［活动4］ 问题1 半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？（课件：圆周角定理推论） C2C3B2．学生添加辅助线的合理性； 3．学生是否会利用问题2的结论进行证明． 教师讲评学生的证明，板书圆周角定理． 学生思考，回答问题，教师讲评． 问题1提出后，教师关注： 活动4的设计是圆周角定理的应用．通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用． 问题1、2是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结学生是否能由半圆（或直径）论．问题3的设计目的是通过举反所对的圆心角的度数得出圆周角的度数． AO例，让学生明确定理使用的条件．问题4是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密结合起来，使学生很好地进行知识的迁移．问题5、6是定理的应用．即C1 问题2提出后，教师关注： 学生是否能由90°的圆周角时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解．教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果． 问题2 90°的圆周角所对的弦是什么? 推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出所对的弦是直径． 问题3提出后，教师关注： 学生能否得出正确的结论，并能说明理由． 第80页

第二十四章 圆 教案 问题3 在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？ ∠ABC=30° ∠A’B’C’=30° BB'教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件． 问题4提出后，教师关注： 学生能否利用定理得出与圆A'C' 周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相AC 等． 问题4 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？ 问题5 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ 问题5提出后，教师关注： 学生是否准确找出同弧所对的圆周角． 问题6提出后，教师关注： 1．学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD； 2．学生能否将要求的线段放到三角形里求解； 3．学生能否利用问题4的结 第81页

第二十四章 圆 教案 问题6 如图， ⊙O的直径 AB 为10 cm，弦 AC 为6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O于 D，求BC、AD、BD的长． ［活动5］ 问题 通过本节课的学习你有哪些收获？ 教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容． 教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握． 教师布置作业． 通过小结，使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感． 增加阅读作业的目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解． 课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，让学生巩固、提高、发展． 论得出弧AD与弧BD相等，进而推出AD=BD． CAOBD作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P87：4、5、6 教科书P：13、14、15 第82页

第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 24.2.2 直线和圆的位置关系 课型 新授课 1.探索并了解直线和圆的位置关系． 2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系． 3．能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系． 教 学 目 标 1.学生经历操作、观察、发现、总结出直线和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比过 程 较、概括的逻辑思维能力． 2.学生经历探索直线和圆的位置关系中圆心到直线的距离与圆的半径的数量关系的过和 程，培养学生运用数学语言表述问题的能力． 3.从运动的观点和量变到质变的观点来理解直线和圆的三种位置关系，培养学生运动变方 法 化的辩证唯物主义观点． 情 感 态 度 价值观 学生经过观察、实验、发现、确认等数学活动，在探索直线和圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感． 教学重点 教学难点 探索并了解直线和圆的位置关系． 掌握识别直线和圆的位置关系的方法． 多媒体课件 师生行为 教学准备 教师 问题与情境 活动1 学生 “五个一” 设计意图 活动1的设计中让学生用运动的观点观察直线和圆学生观察一轮红日从海平面升起的过程和用钢锯切(1)“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ (2)观察用钢锯切割钢管的割钢管的过程，教师提出问的位置关系，有利于学生把题，让学生结合学过的知识，实际的问题抽象成数学模把它们抽象成几何图形，再表示出来． 在本次活动中，教师应重点关注： 型，也便于学生观察直线和圆公共点个数的变化，同时让学生感受到实际生活中存在的直线和圆的三种位置关系． 第83页

第二十四章 圆 教案 过程，抽象成几何图形间的位置关系. (1) 学生能否准确地观察出圆相对于直线运动的过程中，有几种位置关系； (2) 学生能否根据直线和圆的公共点个数，画出三种不同的位置关系. 活动2 请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？ 活动3 问题： (1) 能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？ (2) 是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系？ 教师提出问题，学生思考作答. 学生掌握识别直线与圆的位置关系的方法，即直线和圆公共点的个数，圆心到直线的距离和圆半径的数 活动3的设计是从数量关系的角度来探讨直线和圆的位置关系，是让学生学会运用数形结合的数学思想解学生动手操作、观察、发现、归纳出直线和圆的公共点个数的变化情况. 教师演示直线和圆动态的变化通过设置数学实验让学生进行的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实 过程，帮助学生用语言描述直线和圆践能力，观察、分析、比较、的三种位置关系，明确概念. 本次活动，教师应重点关注学生能否根据操作，观察直线和圆的位置关系，作出相应的图形来． 抽象、概括的思维能力． 量关系，都可以用来揭示直线和圆的题． 位置关系． 教师与学生共同总结直线和圆相离、相交、相切的关系中，公共点的个数，公共点的名称，直线名称，圆心到直线距离与半径间的数量关系． 第84页

第二十四章 圆 教案 活动4 (1)应用 例 已知：如图所示，∠AOB=30°，P为OB上一点，且OP=5 cm，以P为圆心，以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？ ①R=2 cm； ②R=2.5 cm； ③R=4 cm． (2) 练习 活动5 小结 这节课我们主要研究了直线和圆的三种位置关系和识别直线和圆的位置关系的方法，你有哪些收获？ 师生共同完成例题和练习的求解． 本次活动，教师应重点关注： (1) 学生能否利用直线和圆公共 例题和练习的安排是为了让学生掌握识别直线和圆的位置关系的方法．培养学生正确应用所学知识的应用点的个数判断直线和圆的位置关系； 能力，渗透分类讨论、数形(2)学生能否利用圆心到直线的结合等数学思想． A距离和半径间的数量关系判断直线和圆的位置关系． OPB 学生自己总结，教师应重点关注： (1) 学生对直线和圆的位置关系的性质和判定总结是否全面； (2) 是否有学生能从这节课的学习中，体会到分类讨论的数学思想和数形结合的数学思想在研究问题中的重要性． 总结回顾学习内容，帮助学生学会归纳，反思． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P101：1-5 教科书P102：10-14 第85页

第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 24.2.3 圆和圆的位置关系 课型 新授课 1． 探索并了解圆和圆的位置关系． 2． 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系． 3．能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题． 教 学 目 标 1． 学生经历操作、探究、归纳、总结圆和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、过 程 概括的逻辑思维能力． 2．学生经历探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系的过程，培和 养学生运用数学语言表述问题的能力． 方 法 情 感 态 度 价值观 学生经过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索两圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感． 教学重点 教学难点 探索并了解圆和圆的位置关系． 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 问题与情境 师生行为 设计意图 设计意图 第86页

第二十四章 圆 教案 活动1 问题 (1)点和圆有几种位置关系？如何识别？ (2)直线和圆有几种位置关系？如何识别？ (3)两个圆的位置关系又如何呢？ 教师演示课件，提出问题． 学生观察、思考、回答问题． 在本次活动中，教师应重点关注： (1) 学生能否准确描述点和圆、直线和圆的位置关系； (2) 学生能否用点和圆心的距离与半径的数量关系判别点和圆的位置关系，能否用圆心到直线的距离与半径的数量关系判别直线和圆的位置关系． 通过回忆已学过的知识，引导学生用类比的思想来学习新的知识. 激发学生的求知欲望. 活动2 观察两个半径不同的⊙O1、⊙O2，固定其中一个而移动另一个的过程中，会出现的几种不同位置关系． (1) 根据观察，请你摆出⊙O1和⊙O2的几种不同的位置关系； (2) 你能否根据两圆公共点的个数类比直线和圆的位置关系定义，给出两圆位置关系的定义？ 利用几何画板画出两个半径不同的圆，固定其中一个而移动另一个． 让学生观察、发现，并动手摆出两圆的不同位置关系图形． 请一名学生展示他发现的两圆不同位置关系的图形． 对于问题(1)，教师应重点关注： (1) 学生能否根据操作，观察两 通过设置数学实验让学生进行的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实践能力，观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力． 问题(2)的提出是为了让学生学会用类比的圆的位置关系，摆出相应的图形来； 方法研究两圆的位置关(2) 学生能否全部发现两圆的几种位置关系． 师生共同讨论出两圆的几种位系． 第87页

第二十四章 圆 教案 置关系定义． 对于问题(2)，教师应重点关注学生能否用规范清晰的数学语言说出两圆的位置关系． 活动3 探究 (1) 请你根据圆和圆的位置关系，猜测出两圆的圆心距与两圆半径之间的数量关系，利用刻度尺进行测量，验证你的猜想． (2) 圆是轴对称图形，两个圆是否也组成轴对称图形呢？如果能组成轴对图形，那么对称轴是什么？ 教师利用课件演示两圆位置关系的变化情况，观察随着两圆位置关系的变化，两圆圆心距与两圆半径之和或之差之间的数量关系． 教师总结活动3讨论出的结论，说明此结论既可作为两圆位置关系的判定又可作为两圆位置关系的性质． 在本次活动中，教师应重点关注学生对两圆相交时的情况讨论是否深入（不仅要讨论半径和，同时要考察两圆的半径差）． 研究两个圆所组成的图形的对称性是为研究相交两圆公共弦的性质和相切两圆的切点位置作铺垫. 通过这一活动，培养学生学会探究的方法，形成良好的科学研究的习惯，培养学生思维的深刻性和严谨性． 教师提出问题，让学生根据自己所画出的两圆的位置关系图形进一步观察、思考、猜想、测量，发表见解． 活动3的设计是从数量关系的角度来探讨两圆的位置关系，让学生学会运用数形结合的数学思想解题． 第88页

第二十四章 圆 教案 活动4 问题1 (1)教科书图24.2-16，⊙O的半径5 cm，点P是⊙O外一点，OP=8 cm，以P为圆心作一个圆与⊙O外切，这个圆的半径是多少？以P为圆心作一个圆与⊙O内切呢？ (2)⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5，设d=O1O2， ①当d=9时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___； ②当d=8时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___； ③当d=5时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___； ④当d=2时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___； ⑤当d=1时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___； ⑥当d=0时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___. (3) 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4和5，如果⊙O1与⊙O2 外切，那么 O1 O2= . (4)已知两圆半径分别为3和7， 师生共同完成例题的求解． 对于问题 (1)，教师应重点关注学生能否利用两圆外切或内切时，圆心距与两圆的半径和与差的关系来解题． 对于问题(2) 、(3)、(4)、(5)，教师应当重点关注学生能否会利用两圆的圆心距与两圆的半径的关系，判断两圆的位置关系． 例题的安排是为了利用已讨论出来的两圆的位置关系与圆心距和半径之间的数量关系的结论来解决问题，使学生学会发现问题，分析问题并解决问题． 培养学生正确应用所学知识的应用能力，巩固所学的两圆位置关系的性质和判定． 第页

第二十四章 圆 教案 如果两圆相交，则圆心距d的取值范围是_______；如果两圆外离，则圆心距d的取值范围是______. (5) 在图中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是 . 活动5 小结 这节课我们主要研究了圆和圆的位置关系，你有哪些收获？ 布置作业 教科书习题14.3第1、4、6题． 学生自己总结，教师应重点关注： (1) 学生对圆和圆的位置关系的性质和判定总结是否全面； (2) 是否有学生能从这节课的学习中，体会到分类讨论和数形结合的数学思想在研究问题中的重要性． 学生通过作业，回顾、梳理知识，反思提高. 总结回顾学习内容，帮助学生学会归纳，反思． 通过课后学生思考，自我评价，使学习效果达到最佳． 作业 设计 必做 选做 教科书P102：6、7 教科书P103：15-17 第90页

第二十四章 圆 教案 教 学 反 思

第91页

第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 24．3 正多边形和圆 课型 新授课 1． 了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念． 2．在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题． 学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力． 学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的． 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算． 探索正多边形与圆的关系． 教师 多媒体课件 教学过程设计

问题与情境 师生行为 教师演示课件或展示图片，提出问题1． 通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美． 教师关注： 设计意图 学生 “五个一” [活动1] 观看下列美丽的图案． 问题1 这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？ 学生观察图案，思考并指出找到的正多边形． 第92页

第二十四章 圆 教案 问题2 你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？ （1） 学生能否从这些图案中找到正多边形； （2） 学生能否从这些图案中发现正多边形和圆的关系． 教师提出问题2，引导学生观察、思考． 学生讨论、交流，发表各自见解． 教师关注: 学生能否联想到等分圆周作出正多边形来． 问题2的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索，研究的热情，调动学生学习的积极性，并有意将注意力集中在正多边形与圆的关系上． [活动2] 问题1 将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论． 教师演示作图：把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形． 教师引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相在活动1中学生们发现了正多边形与圆有着密切的关系，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个等，各角都相等，引导学生观察、圆的内接正多边形． 分析． 教师关注： （1）学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的 活动2的设计就是要学生在教师的指导下进行逻辑推理，论证弧，这些弧所对的弦也是相等的，所发现的结论的正确这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等； （2）学生能否观察发现圆内性，从而培养学生科学严谨的治学态度，和运用所学知识解决问题的第93页

第二十四章 圆 教案 问题2 如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？ 问题3 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果接五边形的各内角都是圆周角； （3）学生能否发现每一个圆周角所对弧都是三等份的弧； （4）学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形． 教师带领学生完成证明过程． 教师提出问题2，学生思考，同学间交流，回答问题． 教师关注：学生是否会仿造证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形． 教师根据学生的回答给以总结： 将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形． 能力． 问题2的设计是将结论由特殊推广到一般．这符合学生的认知规律．并教给学生一种教师提出问题3，学生讨论，研究问题的方法：由特思考回答．教师关注： （1）学生能否利用正多边形定义进行判断； （2）学生能否由圆内接多边殊到一般． 问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，且各内角都相等，这两个条件缺一不可．同时教给学是，说明为什么？如果不是，举出反例． 形各边相等，得到弦相等及弦所对的弧相等，进而证明圆内接多边形的各内角相等； （3）学生能否举出反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形． 第94页

第二十四章 圆 教案 教师讲评． [活动3] 学生观看课件，理解概念． 教师演示课件，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念． 教师引导学生画出正六边形图形，进行分析． 教师关注： （1）学生能否知道欲求地基的周长和面积，需要先求正六边形的边长和边心距； （2）学生能否将正六边形的边长、半径和边心距集中在一个三角形中来研究． （3）学生能否将正六边形的中心与顶点连接起来，将正六边形 分割成6个全等的等腰三角形，去发现每个等腰三角形的顶角就是生学会举反例，培养学生思维的批判性． 例题1、2是有关正多边形计算的具体应用，目的是让学生在了解有关正多边形的概念后，通过例题的练习，巩固所学到的知识． 学生在教师的引导下，将正多边形的中心，半径，中心角，边心距等集中在一个三角形中来研究，即将正多边形的中心与顶点连接起例题1 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m2）． 中心角，腰是半径，底边是边长，来，将正多边形分割成底边上的高是边心距，从而可以利用勾股定理进行计算，进而能够求得正多边形的周长和面积． 教师引导学生完成例题1的解答．总结这一类问题的求解方法． n个全等的等腰三角形，让学生们发现每个等腰三角形的顶角为中心角，腰为半径，底边为边长，底边上的高为边心距，可以利用勾股定 教师让学生完成例题2，理进行计算．进而能够教师巡视，个别辅导．给出正确答案． 求得正多边形的周长和面积．教师引导学生将第95页

第二十四章 圆 教案 完成教材第105页例题 实际问题转化成数学问题，将多边形化归成三角形来解决． 体现了化归思想在解题中的应用． [活动4] 小节 学完这节课你有哪些收获？ 思考题 问题1： 正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 问题2 正n边形的半径，边心距，边长又有什么关系？ 学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善． 教师重点关注：不同层次学 了解教学效果，及时调整教学． 生对本节知识的理解、掌握程度． 通过对实际问题的 学生完成，教师批改、总结，重点关注： （1）对学生在练习中出现的问题，有针对性地给予分析； （2）学生面对探究性问题的解决方法． 探究，完成具体→抽象→具体的思维螺旋上升过程，形成应用数学的意识，加深对本节知识的理解． 作业 设计 教 学 反 思

必做 选做 教科书P107：1-4 教科书P108：5-8 第96页

第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 24.4圆锥的侧面积和全面积 课型 新授课 会计算圆锥的侧面积和全面积，并会解决实际问题． 教 学 目 标 增强了学生用数学知识解决实际问题的能力，同时还可以培养学生的空间观念． 引导学生对圆锥展开图的认识，培养学生空间观念，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 圆锥的侧面积和全面积的计算． 明确扇形中各元素与圆锥各个元素之间的关系． 教师 多媒体课件 教学过程设计

学生 “五个一” 教学重点 教学难点 教学准备 问题与情境 活动1 想一想，你会解决吗？ 如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，PB=15 cm，底面半径r =5 cm，要生产这种帽身10 000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？ （不计接缝用料和余料,π取师生行为 教师演示课件，提出问题，激发学生学习新知识的热情． 设计意图 P l 从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学． 将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法． 3.14 A O r B ）. 活动2 1．认识圆锥 教师结合图形，介绍圆锥. 的有关概念． 第97页

引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲． 第二十四章 圆 教案 2．圆锥的再认识 通过练习，使学生掌握圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系． 3．圆锥的底面半径r、高线h、母线长a三者之间的关系： a2h2r2 练习： 根据下列条件求值（其中r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） (1)a = 2，r = 1，则 h =_______； (2)h = 3，r = 4，则 a =_______； (3)a =10，h = 8，则 r =_______． 活动3 1．动一动，通过学生自己操作和电脑演示，掌握圆锥的侧面展开图是扇形． 2．引导学生推导圆锥的侧面积和全面积的计算公式． 活动4 实际应用： 例1 一个圆锥形零件高4 cm，底面半径3 cm，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积． 例2 玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的母线长为15 cm，底面半径为5 cm，生产这种帽身10 000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？（不计接缝用料和余料，π取3.14 ）． 通过学生动手操作、教师利用几何画板动态演示，让学生观察圆锥的侧面展开图是扇形，并用所学的知识推导出圆锥的侧面积和全面积的计算公式． 教师带领学生用所学的知识解决问题，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力． 教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握． 通过动手和观察，培养学生的空间观念． 在实际生活中，展开图的知识很常用，将本课所学的知识与实际生活中的问题进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感． 第98页

第二十四章 圆 教案 例3 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35 m2，高为3.5 m，外围高1.5 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡 (精确到1m2) ? 例4 思考题 圆锥的底面半径为1，母线长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B，问它爬行的最短路线是多少？ 例5 手工制作 已知一种圆锥模型的底面半径为4 cm，高线长为3 cm．你能做出这个圆锥模型吗? 活动5 本节课你学到了什么知识？你有什么认识？ 作业 设计 教 学 反 思

必做 选做 教科书P114：1-4 教科书P115：5-10 第99页

第二十四章 圆 教案 第二十四章《圆》小结

一、本章知识结构框图

二、本章知识点概括

（一）圆的有关概念

1、圆（两种定义）、圆心、半径； 2、圆的确定条件：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3、弦、直径；

4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧； 5、等圆、等弧，同心圆； 6、圆心角、圆周角；

7、圆内接多边形、多边形的外接圆； 8、割线、切线、切点、切线长；

9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原

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第二十四章 圆 教案 命题成立。

（二）圆的基本性质 1、圆的对称性

①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 *②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。 2、圆的弦、弧、直径的关系

①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

* [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况） 3、弧、弦、圆心角的关系

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 ③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。

4、圆周角的性质

①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 ②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 （三）与圆有关的位置关系 1、点与圆的位置关系

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第二十四章 圆 教案 设⊙O的半径为r，OP=d则： 点P在圆内

dd=r； 点P在圆外

d>r.

2、直线与圆的位置关系

设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则： 直线l与⊙O相交直线l与⊙O相切直线l与⊙O相离

dr

直线和圆有两个公共点； 直线和圆只有一个公共点； 直线和圆没有公共点。

3、圆与圆的位置关系

①如果两圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离和内含； 如果两圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切和内切； 如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交。 ②设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，圆心距为d，则： 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含

d＞r2＋r1； d＝r2＋r1；

r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1）； d＝r2－r1（r2＞r1）； 0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。

（四）圆的切线

1、定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。 2、性质：

①圆的切线到圆心的距离等于半径。 ②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹

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第二十四章 圆 教案 角。 3、判定：

①利用切线的定义。

②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。 （五）圆与三角形 1、三角形的外接圆

（1）定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

（2）三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相等；③外心的位置：锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外面。 2、三角形的内切圆

（1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

（2）三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都在三角形内。 （六）圆与四边形

1、由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补。

*2、由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。 （七）圆与正多边形 1、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形与圆的关系

把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这时圆叫做正n边形的外接圆。

3、正多边形的有关计算（11个量）

边数n，内角和，每个内角度数，外角和，每个外角度数，中心角αn，边长an，半径Rn，边心距rn，周长

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第二十四章 圆 教案 ln，面积Sn (Sn=1/2lnrn) 4、正多边形的画法

画正多边形的步骤：首先画出符合要求的圆；然后用量角器或用尺规等分圆；最后顺次连结各等分点。如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。注意减少累积误差。 （八）弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式

l弧长nR180

nR21lRS扇形＝＝ (其中l为弧长)

2360S圆锥侧＝rl (其中l为母线长)

（九）直角三角形的一个判定

如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （十）本章常见的辅助线

课 后 反 思

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第二十五章 概率初步 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 25.1.1随机事件(第一课时) 课型 新授课 通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。 教 学 目 标 历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学过 程 概念。 和 方 法 情 感 态 度 价值观 体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。 教学重点 教学难点 随机事件的特点 对生活中的随机事件作出准确判断 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、创设情境，引入课题 设计意图 首先，这几个事件都是学生能熟知1．问题情境 的生活常识和学下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ 科知识，通过这些(1)太阳从西边下山； 生动的、有趣的实(2)某人的体温是100℃； 例，自然地引出必(3)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)； 然事件和不可能事件；其次，必然(4)水往低处流； 事件和不可能事(5)酸和碱反应生成盐和水； 件相对于随机事(6)三个人性别各不相同； 件来说，特征比较(7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。 明显，学生容易判2．引发思考 断，把它们首先提我们把上面的事件（1）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）出来，符合由浅入容易激称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特深的理念，第 105 页

第二十五章 概率初步 教案 点各是什么？ 二、引导两个活动，自主探索新知 活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有发学生的学习积极性。 概念也让学生来5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，完成，把课堂尽量他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以多地还给学生，以下问题： 此来体现自主学习，主动参与原理（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？ 念。 （2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？ （3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？ “抽签”这个活动（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ 是学生容易理解根据学生回答的具体情况，教师适当地加点拔和引导。 或亲身经历过的，活动2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6操作简单省时，又具有很好的经济的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面： 性，最主要的是活（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？ 动中含有丰富的（2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？ 随机事件，事件（3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？ （3）就是一个典（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ 型的事件，它的提提出问题，探索概念 出，让学生产生新（1）上述两个活动中的两个事件（3）与必然事件和不可能事件的区别在哪里？ 的认知冲突，从而引发探究欲望 （2）怎样的事件称为随机事件呢？ 随机事件对学生三、应用练习，巩固新知 来说是陌生的，它练习：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事不同于其他数学件。 概念，因此要理解（1）两直线平行，内错角相等； 随机事件的含义，（2）刘翔再次打破110米栏的世界纪录； 由学生来描述随机事件的概念，进（3）打靶命中靶心； 行活动2很有必（4）掷一次骰子，向上一面是3点； 要，便于学生透过（5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同； 随机事件的表象，（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯； 概括出随机事件（7）在装有3个球的布袋里摸出4个球 的本质特性，从而（8）物体在重力的作用下自由下落。 自主描述随机事（9）抛掷一千枚硬币，全部正面朝上。 件这一概念 四、小结 教师让学生充分这节课学了哪些知识？ 发表意见，相互补充，相互交流，然教科书P131：1 必做 后引导学生建构作业 随机事件的定义，充分发挥学生的设计 选做 主观能动性。 第 106 页

第二十五章 概率初步 教案 教 学 反 思

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第二十五章 概率初步 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 25.1.1 随机事件（第二课时） 课型 新授课 通过“摸球”这样一个有趣的试验，形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素。 教 学 目 标 历经“猜测—动手操作—收集数据—数据处理—验证结果”，及时发现问题，解决问题，过 程 总结出随机事件发生的可能性大小的特点以及影响随机事件发生的可能性大小的客观条件。 和 方 法 情 感 态 度 价值观 在试验过程中，感受合作学习的乐趣，养成合作学习的良好习惯；得出随机事件发生的可能性大小的准确结论。需经过大量重复的试验，让学生从中体验到科学的探究态度。 教学重点 教学难点 对随机事件发生的可能性大小的定性分析 理解大量重复试验的必要性 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、创设情境，引入课题 设计意图 “摸球”试验操作简单且可重1、摸球试验：袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完方便、复，又为学生所熟全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。 知，学生做起来感2、提出问题：我们把“摸到白球”记为事件A，把“摸到黑球”记为事件B，觉亲切，有趣，并提问： 且容易依据生活（1）事件A和事件B是随机事件吗？ 经验猜到正确结论，这样易于激发（2）哪个事件发生的可能性大？ 学生的学习热情。 二、分组试验、收集数据，验证结果 1、把学生分成2人一组，其中一人把球搅均匀，另一人摸球并把结果记录在表设计“10次摸球”1中。 和“20次摸球”， 事件A发生的次数 事件B发生的次数 结果（指哪个事件发生的次数多） 意在引起结果的10次摸球 变化。 第 108 页

第二十五章 概率初步 教案 20次摸球 2、小组汇报试验结果，教师统计结果填于表2。 得到结果1的组数 得到结果2的组数 10次摸球 20次摸球 注：结果1指事件A发生的次数多，结果2指事件B发生的次数多。 3、提出问题 （1）“10次摸球”的试验中，事件A发生的可能性大的有几组？“20次摸球” 的试验中呢？ （2）你认为哪种试验更能获得较正确结论呢？ 对“10次摸球”（3）为了能够更大可能地获得正确结论，我们应该怎样做？ 得到正确结论的组数和“20次摸4、进行大量重复试验，验证猜测的正确性。 球”得到的正确结教师请同学们进行400次重复的“摸球”试验，教师提问： 论的组数进行比如果把刚才各小组的20次“摸球”合并在一起是否等同于400次“摸球”？这较，使学生明白，样做会不会影响试验的正确性？ 增加摸球次数更待学生回答后，教师把结果统计在表中。 宜于接近正确结 事件A发生的次数 事件B发生的次数 论，本小节也可以让学生再进行“40400次摸球 次摸球”试验。 5、对表中的数据进行分析，得出结论。 让学生养成动脑提问：通过上述试验，你认为，要判断同一试验中哪个事件发生可能性的较大，筋，想办法的学习必须怎么做？ 习惯，明白小组合先让学生回答，回答时教师注意纠正学生的不准确的用语，最后由教师总结：作的优势。 要判断随机事件发生的可能性大小，必须经过大量重复试验。 本小节是教学难6、对试验结果作定性分析。 这个结论由学在经过大量重复摸球以后，我们可以确定，事件A发生的可能性大于事件B发点，生得出，体现了自生的可能性，请同学们分析一下其原因是什么？ 主学习的理念，有三、练习反馈 利于学生思维的1、一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球，其中4个白球，2个红球，发展。 3个黑球，其它都是黄球，从中任摸一个，摸中哪种球的可能性最大？ 这是本节课的主2、一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页，我们能否说翻到偶数页的可能要内容之一，是本节课的出发点，也性就大？ 3、袋子里装有红、白两种颜色的小球，质地、大小、形状一样，小明从中随机是本节课的归宿，把这个问题留给摸出一个球，然后放回，如果小明5次摸到红球，能否断定袋子里红球的数量比白学生，也是体现了球多？怎样做才能判断哪种颜色的球数量较多？ 以学生为主体，让4、已知地球表面陆地面积与海洋面积的比均为3：7。如果宇宙中飞来一块陨石学生自主探索、自落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？ 主学习的理念。 四、小结 第 109 页

第二十五章 概率初步 教案 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P132：2 第 110 页

第二十五章 概率初步 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 25.1.2 概率的意义 课型 新授课 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 教 学 目 标 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，过 程 体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 和 方 法 情 感 态 度 价值观 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 教学重点 教学难点 在具体情境中了解概率意义. 对频率与概率关系的初步理解 壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、创设情境，引出问题 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁. 学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，…… 教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币） 追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？ 由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大 在学生讨论发言后，教师评价归纳. 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大. 质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？ 引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下. 第 111 页

设计意图 第二十五章 概率初步 教案 说明：现实中不确定现象是大量存在的， 新课标指出：“学生数学学习内容应当是现实的、有意义、富有挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础. 二 、动手实践，合作探究 1．教师布置试验任务. （1）明确规则. 把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上” 的频数及 “正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来.. 2．教师巡视学生分组试验情况. 注意： （1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难. （2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以. 3.各组汇报实验结果. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入. 提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性， 引导他们小组合作，进一步探究. 解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作. 4．全班交流. 把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出对应的点,完成统计图. 表25-2 抛掷次数n “正面向上”的频数m “正面向上”的频率 mn 1 0.5 50 100 150 200 250 300 350 400 m正面向上的频率 n第 112 页 50 100 150 200 250 300 350 450 500 投掷次数n 第二十五章 概率初步 教案 想一想1（投影出示）. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？ 注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动. 想一想2（投影出示） 随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？ 在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小. 说明：注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难.通过以上实践探究活动，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.鼓励学生在学习中要积极合作交流，思考探究.学会倾听别人意见，勇于表达自己的见解. 为了给学生提供大量的、快捷的试验数据,利用计算机模拟掷硬币试验的课件，丰富学生的体验、提高课堂教学效率，使他们能直观地、便捷地观察到试验结果的规律性--大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近 . 其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表（看书P141表25-3）. 表25-3 通过以上学生亲自动手实践,电脑辅助演示,历史材料展示, 让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.同时,又感受到无论试验次数多么大,也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率. 在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求是的科学态度. 5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？ 学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相应稳定到0.5. 教师归纳： （1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样. （2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等. 说明：这个环节，让学生亲身经历了猜想试验——收集数据——分析结果的探索过程，在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动建构，第 113 页

第二十五章 概率初步 教案 为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫. 三、评价概括，揭示新知 问题1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还有其他作用？ 学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的值（或常数）估计或去描述. 通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、描述中的不准确等注意予以纠正，但要求不必过高. 归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大小. 那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：一般m地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那n么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）, 记作P（A）= p. 注意指出： 1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映. 2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同. 想一想(学生交流讨论) 问题2．频率与概率有什么区别与联系? 从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同. 说明：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.为下节课进一步研究概率和今后的学习打下了基础. 当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教学应把握教学难度，注意关注学生接受情况. 四．练习巩固，发展提高. 学生练习 1．书上P131.练习.1. 巩固用频率估计概率的方法. 2．书上P131.练习.2 巩固对概率意义的理解. 教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决遇到的问题. 五．归纳总结，交流收获： 1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一起，使学生对知识掌握条理化、系统化. 2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会到的数学价值与合作交流学习的意义. 作业 设计 必做 选做 完成P132 习题25. 2、3、4 课外活动分小组活动，用试验方法获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率. 第 114 页

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第二十五章 概率初步 教案 教学时间 课题 25.2 用列举法求概率(第一课时) 课型 新授课 知 识 1.理解P（A）=和 能 力 m(在一次试验中有n种可能的结果，其中A包含m种)的意义. nm2.应用P（A）=解决一些实际问题． n教 学 目 标 复习概率的意义，为解决利用一般方法求概率的繁琐，探究用特殊方法—列举法 过 程 求概率的简便方法，然后应用这种方法解决一些实际问题. 和 方 法 情 感 态 度 价值观 一般地，如果在一次试验中，有几种可能的结果，并且它们发生的可能性都 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲. 教学重点 教学难点 相等，事件A包含其中的。种结果，那么事件A发生的概率为P(A)= 解决实际间题． 通过实验理解P(A)= m，以及运用它 nm并应用它解决一些具体题目 n教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 （老师口问．学生口答）请同学们回答下列问题． 1. 概率是什么？ 2. P(A)的取值范围是什么？ 3. 在大量重复试验中，什么值会稳定在一个常数上？俄们又把这个常数叫做什么？ 4. A=必然事件,B是不可能发生的事件,C是随机事件．诸你画出数轴把这三个量表示出来． 老师点评：1，（口述）一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 设计意图 m会n稳定在某一个常数P附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率，记为P(A)=P． 2.（板书）0≤P≤1． 3.（口述）频率、概率． 第 116 页

第二十五章 概率初步 教案 二、探索新知 不管求什么事件的概率，我们都可以做大量的试脸．求频率得概率，这是上一节课也是刚才复习的内容，它具有普遍性，但求起来确实很麻烦，是否有比较简单的方法，这 种方法就是我们今天要介绍的方法—列举法， 把学生分为10组，按要求做试验并回答问题． 1.从分别标有1，2，3 ，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根．抽出的号码有多少种？其抽到1的概率为多少？ 2.掷一个骰子，向上的一面的点数有多少种可能？向上一面的点数是1的概率是多少？ 老师点评:1.可能结果有1,2,3,4,5等5种杯由于纸签的形状、大小相同，又是随机 抽取的，所以我们可以认为：每个号被抽到的可能性相等，都是1/5.其概率是1/5。 2.有1,2,3,4,5,6等6种可能．由于股子的构造相同质地均匀，又是随机掷出的， 所以我们可以断言：每个结果的可能性相等，都是1/6，所以所求概率是1/6所求。 以上两个试验有两个共同的特点： 1.一次试验中，可能出现的结果有限多个. 2.一次试验中，各种结果发生的可能性相等. 对于具有上述特点的试验，我们可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能 的试验结果中所占的比分析出事件的概率． 因此，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相 等，事件A包含其中的、种结果，那么李件A发生的概率为P(A)= m n例1.小李手里有红桃1,2,3,4,5,6,从中任抽取一张牌，观察其牌上的数字．求下 列事件的概率． (1)牌上的数字为3； (2)牌上的数字为奇数； (3)牌上的数字为大于3且小于6. 分析：因为从6张牌子任抽取一张符合刚才总结的试验的两个特点，所以可用P(A)= m来求解. n 解：任抽取一张牌子，其出现数字可能为1,2,3,4,5,6,共6种，这些数字出现的可 能性相同． （1）P（点数为3）=1/6； （2）P(点数为奇数)=3/6=1/2； （3）牌上的数字为大于3且小于6的有4，5两种． 所以 P（点数大于3且小于6）=1/3 例2:如图25-7所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颇色分为红、绿、黄三种颇色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．其中的某个扇形会第 117 页

第二十五章 概率初步 教案 恰好停在指 针所指的位里（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率 红 红 (1）指针指向绿色； (2）指针指向红色或黄色 黄 绿 (3)指针不指向红色． 分析：转一次转盘，它的可能结果有4种—有限个，并且各种结果发生的可能性相等.因此，它可以应用“ P(A)= m”问题，即“列举法”求概率． n 解，(1) P(指针，向绿色)=1/4； (2) P(指针指向红色或黄色)=3/4； （3）P(指针不指向红色)=1/2 例3如图25-8所示是计算机中“扫雷“游戏的画面，在99个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷。 小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域，数字3表示在A区域中有3颗地雷，那么第二步应该踩A区域还是B区域？ 分析：第二步应该踩在遇到地雷小的概率，所以现在关键求出在A区域、B区域的概率并比较。 解：（1）A区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格各藏1颗3。 8 （2）B区域有99972个小方格，其中有1037个方格内各藏1颗7地雷。因此，踩B区域的任一方格，遇到地雷的概率是。 7237由于，所以踩A区域遇到地雷的可能性大于踩B区域遇到地雷的可能872性，因而第二步应踩B区域。 地雷，因此，踩A区域的任一方格，遇到地雷的概率是三、巩固练习 教材P134 练习1，2 五、归纳小结 本节课应用列举法求概率。 作业 设计 必做 选做 教材P137：1、2 拓广探索8 第 118 页

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第二十五章 概率初步 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 25.2 用列举法求概率(第二课时) 课型 新授课 1． 理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义。 2． 会用列表的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的所有可能结果。 教 学 目 标 体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。 鼓励学生，体会成功的喜悦 教学重点 教学难点 正确理解和区分一次试验中包含两步的试验。 当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果。 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、比较，区别 出示两个问题： 1．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出1个球，共有几种可能的结果？ 2．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出2个球，这样共有几种可能的结果？ 要求学生讨论上述两个问题的区别，区别在于这两个问题的每次试验（摸球）中的元素不一样。 二、问题解决 1．例1 教科书第150页例4。 要求学生思考掷两枚硬币产生的所有可能结果。 学生可能会认为结果只有：两个都为正面，一个正面一个反面和两个都是反面这样3种情形，要讲清这种想法的错误原因。 列出了所有可能结果后，问题容易解决。或采用列表的方法，如： 设计意图 第 120 页

第二十五章 概率初步 教案 B A 正 反 正 反 正正 反正 正反 反反 让学生初步感悟列表法的优越性。 2． 问题：“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？ 同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的。比如在先后投掷的时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关。同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题。 3．课内练习：书本P137的练习。 三、小结 1．本节课的例题，每次试验有什么特点？ 2．用列表法求出所有可能的结果时，要注意表格的设计，做到使各种可能结果既不重复也不遗漏。 作业 设计 教 学 反 思

必做 选做 教科书P138：3、 教科书P138：7 第 121 页

第二十五章 概率初步 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 25.2 用列举法求概率(第三课时) 课型 新授课 1． 进一步理解有限等可能性事件概率的意义。 2． 会用树形图求出一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率。 进一步提高分类的数学思想方法，掌握有关数学技能（树形图）。 教 学 目 标 经历探索，使学生掌握知识 动手操作，提高解决问题的能力 教学重点 教学难点 正确鉴别一次试验中是否涉及3个或更多个因素。 用树形图法求出所有可能的结果。 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、解决问题，提高能力 例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点子数相同；（2）两个骰子的点子数的和是9；（3）至少有一个骰子的点数为2。 分析：由于每个骰子有6种可能结果，所以2个骰子出现的可能结果就会有很多，我们用怎样的方法才能既不重复又不遗漏地求出所有可能的结果呢？这个问题要让学生充分发表意见，在次基础上再使学生认识到列表法可以清楚地列出所有可能的结果，体会其优越性。 列出表格。也可用树形图法。 其实，求出所有可能的结果的方法不止是列表法，还有树形图法也是有效的方法，要让学生体验它们各自的特点，关键是对所有可能结果要做到：既不重复也不遗漏。 板书解答过程。 思考：教科书第135页的思考题。 例2 教科书第136页例4。 第 122 页

设计意图 第二十五章 概率初步 教案 分析：弄清题意后，先让学生思考从3个口袋中每次各随机地取出一个球，共3个球，这就是说每一次试验涉及到3个因素，这样的取法共有多少种呢？你打算用什么方法求得？ 在学生充分思考和交流的前提下，老师介绍树形图的方法。 第一步可能产生的结果为A和B，两者出现的可能性相同且不分先后，写在第一行。 第二步可能产生的结果有C、D和E，三者出现的可能性相同且不分先后，从A和B分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上C、D和E。 第三步可能产生的结果有两个H和I，两者出现的可能性相同且不分先后，从C、D和E分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H和I。（如果有更多的步骤可依上继续） 第四步按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总数。再找出符合要求的种数，就可以利用概率和意义计算概率了。 教师要详细地讲解以上各步的操作方法。 写出解答过程。 问：此题可以用列表法求出所有可能吗？ 小结：教科书第136页左边的结论。 思考：教科书第137页的思考题。 二、练习，巩固技能 教科书第137页练习。 练习1是每次试验涉及2个因素的问题，共有36种可能的结果； 练习2是每次试验涉及3个因素的问题，共有27种可能的结果。 尽管这2个问题可能的结果都比较多，但用树形图的方法并不难求得，重要的是要让学生正确把握题意，鉴别每次试验涉及的因素以及这些因素的顺序。 二、单元小结 问题：（要求学生思考和讨论） 1． 本单元学习的概率问题有什么特点？ 2． 为了正确地求出所求的概率，我们要求出各种可能的结果，那么通常是用什么方法求出各种可能的结果呢？ 特点：一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等的。 通常可用列表法求得各种可能结果，具体有直接分析列出可能结果，列表法和树形图法。 作业 设计 必做 选做 教科书P138：4、5、6 教科书P139：9 第 123 页

第二十五章 概率初步 教案 教 学 反 思

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第二十五章 概率初步 教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 25.3.1利用频率估计概率 课型 新授课 1、当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率。 2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念。 教 学 目 标 通过实验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，体会频率与概过 程 率的联系与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力。 和 方 法 情 感 态 度 价值观 1、通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯。 2、在活动中进一步发展合作交流的意识和能力。 教学重点 教学难点 理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率。 对概率的理解。 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、问题情境： 妈妈有一张马戏团门票，小明、小华和小红都想去看演出，怎么办呢？妈妈想用掷骰子的办法决定，你觉得这样公平吗？说说你的理由？但由于一时找不到骰子，妈妈决定用一个小长方体（涂有三种颜色，对面的颜色相同）来代替你觉得这样公平吗？选哪种颜色获得门票的概率更大？说说你的理由！ 二、合作游戏： 1、实验：二人一组，一人抛掷小长方体，一人负责记录，合作完成30次试验，并完成下面表格一的填写和有关结论的得出。 表格一： 颜色 频 数 频 率 概 率 红 绿 第 125 页

设计意图 蓝 第二十五章 概率初步 教案 问题：（1）你认为哪种情况的概率最大？ _________________红色________________________________________. （2）当试验次数较小时,比较三种情况的频率，你能得出什么结论？ 当试验次数较小时,统计出的频率不能估计概率 . 2、累计收集数据：二人一组，任选自己喜欢的颜色分别汇总其中前两组（60次）、前三组（90次）、前四组（120次）、五组（150次）。。。。。的试验数据，完成表格二的填写，并绘制出相应的折线统计图和有关结论的得出。 表格二： 试验 30 60 90 120 150 180 210 240 …… 次数 频率 试验次数 30 60 90 120 150 180…… 问题:当试验次数较大时,比较数字 色的频率与其相应的概率,你能得到什么结论？_________________________________________________. 4、得出试验结论。 三、随堂练习。书本P144页 “柑橘的损坏率”填写表25--6 四、拓展提升：解决问题2 1、 柑橘的损坏率是多少？ 2、 到达目的地后完好的柑橘还有多少千克？ 3、 把损坏的柑橘也算在内，到达目的地后柑橘的成本约是多少元？ 4、 设每千克定价为x元，则可以得到的方程是 ？ 五、课堂小结：畅所欲言。 作业 设计 必做 选做 教科书P145：1、2 教科书P146：5 第 126 页

第二十五章 概率初步 教案 教 学 反 思

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第二十五章 概率初步 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 25.3.2利用频率估计概率 课型 新授课 了解模拟实验在求一个实际问题中的作用，进一步提高用数学知识解决实际问题的能力。 教 学 目 标 初步学会对一个简单的问题提出一种可行的模拟实验。 1、提高学生动手能力，加强集体合作意识，丰富知识面，激发学习兴趣。 2、渗透数形结合思想和分类思想。 教学重点 教学难点 理解用模拟实验解决实际问题的合理性。 会对简单问题提出模拟实验策略。 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、问题情境： 小明参加夏令营，一天夜里熄灯了，伸手不见五指，想到明天去八达岭长城天不亮就出发，想把袜子准备好，而现在又不能开灯。袋子里有尺码相同的3双黑袜子和1双白袜子，混放在一起，只能摸黑去拿出2只。同学们能否求出摸出的2只恰好是一双的可能性？ 问：同学们能否通过实验估计它们恰好是一双的可能性？如果手边没有袜子应该怎么办？ 问：在摸袜子的实验中，如果用6个红色玻璃珠，另外还找了两张扑克牌，可以混在一起做实验吗？ 答：不可以，用不同的替代物混在一起，大大地改变了实验条件，所以结果是不准确的。 注意：实验必须在相同的条件下进行，才能得到预期的结果；替代物的选择必须是合理、简单的。 问：假设用小球模拟问题的实验过程中，用6个黑球代替3双黑袜子，用2个白球代替1双白袜子： 第 128 页

设计意图 第二十五章 概率初步 教案 （1）有一次摸出了2个白球，但之后一直忘了把它们放回去，这会影响实验结果吗？ 答：有影响，如果不放回，就不是3双黑袜子和1双白袜子的实验，而是中途变成了3双黑袜子实验，这两种实验结果是不一样的。 问：（2）如果不小心把颜色弄错了，用了2个黑球和6个白球进行实验，结果会怎样？ 答：小球的颜色不影响恰好是一双的可能性大小 二、问题3： 一个学习小组有6名男生3名女生。老师要从小组的学生中先后随机地抽取3人参加几项测试，并且每名学生都可被重复抽取。你能设计一种实验来估计“被抽取的3人中有2名男生1名女生”的概率的吗？ 下面的表中给出了一些模拟实验的方法，你觉得这些方法合理吗？若不合理请说明理由： 用什么实物 怎样实验 考虑哪一事件出现的机会 用什么实物 怎样实验 考虑哪一事件出现的机会 需要研究的问题 3个红球 2个黑球 摸出1个球 恰好摸出红球的机会 用替代物模拟实验的方法 3个男生名字 2个女生名字 摸出1个名字 恰好摸出男生名字的机会 需要研究的问题 一枚硬币 抛起后落地 正面朝上的机会 用替代物模拟实验的方法 一枚图钉 抛起后落地 钉尖朝上的机会 三、随堂练习。 （1）在抛一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列 可作为替代物的是 （ ） A.一颗均匀的骰子 B.瓶盖 C.图钉 D.两张扑克牌（1张黑桃，1张红桃） （2）不透明的袋中装有3个大小相同的小球，其中2个为白 色球，另一个为红色球，每次从袋中摸出一个球，然后放回 搅匀再摸，研究恰好摸出红色小球的机会，以下替代实验方 法不可行的是 （ ） A.用3张卡片，分别写上“白”、“红”， “红”然后反复抽取 B.用3张卡片，分别写上“白”、“白”、“红”，然后反复抽取 C.用一枚硬币，正面表示“白”，反面表示“红”，然后反复抽取 D.用一个转盘，盘面分：白、红两种颜色，其中白色盘面的面 积为红色的2倍，然后反复转动转盘 四、课堂小结：畅所欲言。 作业 设计 必做 选做 教科书P146：3、4 教科书P146：6 第 129 页

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第二十五章 概率初步 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 25.4课题学习 键盘上字母的排列规律 课型 新授课 结合具体情境，初步感受统计推断的合理性，进一步体会概率与统计之间的联系及概率的广泛应用。 教 学 目 标 经历试验、统计等活动，在活动中发展学生的合作交流的意识和能力。 通过具体情境使学生养成乐于接触社会环境中的数学信息，乐于用数学思维去思考生活中的问题。 教学重点 教学难点 进一步深刻领会用试验频率来估算概率的方法。 对实际问题的分析，并体会用试验步骤来估算概率的方法。 多媒体课件、键盘等 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、问题的提出： 计算机键盘上的英文字母为什么没有按照字母表顺序从A、B。。。到Z排列，如果那样不是更便于记忆吗？ 二、合作活动 设计意图 1．收集和分析数据： 统计英语教科书中任一部分中26个字母及空格出现的频率（分组合作完成，每人找其中一个字母的出现频率） （1） 统计每一个字母出现的次数和所有字母出现的总次数。 （2） 计算字母出现的频率m/n （3） 将字母按出现的频率从小到大的顺序排列出。（学生按所查字母出现频第 131 页

第二十五章 概率初步 教案 率从大到小回答，老师在黑板上写出） 出现频率最高的是______,出现频率较低的字母有______________________ 2．结论的应用与解释： 上 中 下 左手 小 Q A Z 无 W S X 中 E D C 食 R F V T G B 右手 食 Y H N U J M 中 I K ， 无 O L 。 小 P ； /？ 问：空格键为什么要设计在键盘的下方正位置？ 出现频率高的字母一般放在哪里？出现频率低的字母一般放在哪里？为什么？ 答：键盘上字母的设计，既考虑手指移动的灵活特征，又考虑到各个键的使用频率大小。 三、随堂练习。汉字使用频率及手机中文输入法的顺序。 四、课堂小结：畅所欲言。 五、课外拓展提升：在计算机中任选一篇WORD文档，借助office的查找功能及字数统计功能，统计出某个同音汉字的出现次数，进行分析，按出现频率从大到小排列，然后与拼音输入法中的排列顺序进行比较，结果一致吗？ 作业 设计 教 学 反 思

必做 选做 教科书P151：数学活动 第 132 页

第二十五章 概率初步 教案 第二十五章《概率初步》小结

一、概率

1、事件的划分

必然事件：一定发生的事件为必然事件

事件 不可能事件：一定不发生的事件为不可能事件

随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件

2、概率

（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率

m会稳定在某个常数p附近，那么这个常数pn就叫事件A的概率，记为P（A）＝p.（其中n为实验的次数，m为事件A发生的频数） （2）因为0≤m≤n，所以0≤

m≤1，即0≤P（A）≤1。 nm当A为必然发生事件时，m＝n，＝1，P（A）＝1.

nm当A为不可能事件时，m＝0，＝0，P（A）＝0.

n当A为随机事件时，0（3）概率反映可能性大小的一般规律，它从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近１；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.

二、用列举法求概率

1、对于某些特殊类型的试验（如古典概型），实际上不需要做大量的重复试验，而通过列举法进行分析就能得到随机事件的概率。

2、古典概型是具有如下两种特点的试验：①一次试验中，可能出现的结果有限多个；

②一次试验中，各种结果发生的可能性相等。 3、在古典概型中事件A的概率的求法： P（A）＝m nn表示在一次试验中有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等； m表示事件A包含其中的m种结果。

4、列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

5、树形图法：当一次试验要涉及三个或更多个因素（当事件要经过三次或更多步骤完成）时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法。

三、利用频率估计概率

1、当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过统计频率来估计概率。

2、频率稳定性定理：在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率。

3、通常用频率估计出来的概率要比数据表中的频率保留的数位要少，所以在计算频率时，可以多保留一位或两位小数。

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