第6讲 倒序相加(解析版)

第6讲 倒序相加

一．选择题（共6小题）

11x21．已知函数

f(x)，则的值为( )

A．2014 B．2015

11x2C．2016 D．2017

【解析】解：函数

f(x)，

，

1)]2016

2015[f(2016)f(2015．

故选：B．

2．已知函数f(x)(x1)32，数列{an}为等比数列，an0，且a1009e，利用课本中推导等差数列前n)

项和的公式的方法，则

A． B．2017 C．4034 D．8068

【解析】解：用倒序相加法：

令①

则也有②

由f(x)f(2x)(x1)32(1x)324，

aa2212017a1009e，即有lna1lna2017lne22，

可得：，

于是由①②两式相加得2S20174，

所以S4034．

故选：C．

13．已知函数

f(x)2logxa1x(a0,a1)，正项等比数列满足且

f(log3a1)f(log3a2)f(log3a2017)等于( )

1A．1008 B．

10082

C．

100912

D．1009

【解析】解：

loglog223ak3a2017klog3(aka2017k)log3a1009log3(3)1．

函数

f(x)12logxa1x(a0,a1)，

an3

则

1．

f(log3ak)f(log3a2017k)1logalog3aklog3a2017kloga1log3ak1log3a2017k

．

f(log3a1)f(log3a2)f(log3a2017)

1[f(log3a1)f(log3a2017)f(log3a2)f(log3a2016)f(log3a2017)f(log3a1)]2

112017100822．

故选：B．

4．已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，且a10090，则

f(a1)f(a2)f(a3)f(a2016)f(a2017)的值( )

A．恒为负数 B．恒为正数 C．恒为0 D．可正可负

【解析】解：函数f(x)是R上的奇函数且是增函数数列，

f(0)0，且当x0，f(x)0； 当x0，f(x)0．

数列{an}是等差数列，a10090，故f(a1009)0．

再根据a1a20172a10090，f(a1)f(a2017)0．

同理可得，，，，

f(a1)f(a2)f(a3)f(a2016)f(a2017)0，

故选：B．

5．已知函数f(x)3(x5)32x8，{an}是公差不为0的等差数列，，则f(a1009)的值为(A．0 B．1 C．2 D．5

【解析】解：f(x)3(x5)32x8，可得f(x)23(x5)32(x5)，

令，

关于(5,0)对称，

f(a1)f(a2)f(a2017)4034，

f(a1)2f(a2)2f(a2017)20，

g(a1)g(a2)g(a2017)0，

g(a1009)为g(x)与x轴的交点

因为g(x)关于(5,0)对称，所以a10095，

)

f(a1009)3(55)32582．

故选：C．

21x26．已知正数数列{an}是公比不等于1的等比数列，且，若

f(x)，则 )

A．2018 B．4036 C．2019 D．4038

【解析】解：正数数列{an}是公比不等于1的等比数列，且，

可得lga1a20190，即a1a20191，

即有，

122x2f()x111x2x2f(x)21x2，可得，

即有

1f(x)f()2x，

设Sf(a1)f(a2)f(a2019)，

又Sf(a2019)f(a2018)f(a1)，

相加可得

22019，

解得S2019．

故选：C．

二．填空题（共6小题）

7．如果函数

1x2f(x)1x2，那么的值为 0 ．

【解析】解：

121x21xf()21x21xf(x)12x121x，x

111x2x21f(x)f()0x1x2x21，

1f()ff（1）[f（2）2（3），

故答案为：0．

x2f(x)1x28．已知函数，那么

1f(x)f()x

1 ，f（1）f（2）f（3） ．

【解析】解：函数

x2f(x)1x2，

1xx21f(x)f()2122x1x111xx1x2，

21x2f（1）f（2）f（3）

（1）

111

201440292．

故答案为：1，．

exf(x)xe1，数列{an}为等比数列，an0，且a10091，则 9．已知函数 ．

【解析】解：

exf(x)xe1，

exexf(x)f(x)x1e1ex1，

数列{an}是等比数列，

，

设S2017f(lna1)f(lna2)f(lna2017)①，

②，

①②得2S20172017，

20172，

S2017故选：D．

10．设函数，数列{an}是公差为2的等差数列，且满足，则a1009a1011 ．

【解析】解：函数，函数是增函数，则复合函数f(xC)(C为常数）也是增函数，

设，

则g(x)为单调增函数，又数列{an}是公差为2的等差数列，

则，

整理可得g(a1010)f(a1)f(a2)f(a2019)0，

那么a1010是g(x)0的唯一零点，

而，

又，

所以函数f(x)是奇函数，

所以，

由a1010是g(x)0的唯一零点，所以a10100，

可得a1009a1011224．

故答案为：．

11．已如函数

ex1f(x)xe1，，，则数列{an}的通项公式为

．

【解析】解：由于，

所以函数f(x)为奇函数，

故的图象关于(1,1)对称，

由此得到，

所以

（1）

．

故答案为：．

ab,ab0aba,ab0b12．任意实数a，b，定义，设函数f(x)lnxx，正项数列{an}是公比大于

0的等比

数列，且a10101，f(a1)f(a2)f(a3)f(a2019)f(a2020)e，则a2020 1e ．

xlnx,x1f(x)lnxx【解析】解：依题意有：

lnxx,0x1，

正项数列{an}是公比大于0的等比数列，且a10101，

①当公比q1时，a1，a2，，a1009(0,1)，

a1011，a1012，，a2020(1,)，

a10101a1q1009，

a11q1009．

所以数列{an}的前2020项分别为：

1111q1009，q1008，q1007，，q，1，q，，q1010．

f(a1)f(a2)f(a3)f(a2019)f(a2020)e，

lna1alna2lna10090a1011lna1011a2020lna2020e1a2a1009，

，

q1010lnq1010e不成立；

②当公比q满足0q1时，a1，a2，，a1009(1,)，

a1011，a1012，，a2020(0,1)，

a10101a1q1009，

a11q1009．

所以数列{an}的前2020项分别为：

1q100911，q1008，q10071，，q1010qq，1，，，．

f(a1)f(a2)f(a3)f(a2019)f(a2020)e，

所以

a1lna1a2lna2a1010lna1010lna1011lna2019lna2020a1011a2019a2020

，

lna2020ea2020，

a20201e，

1故答案为：e．

三．解答题（共3小题）

13．已知函数f(x)log2(1x)log2(1x)

（1）求函数的定义域；

1111)f()f()f()2014201520142015的值．

（2）求

f(【解析】解：（1）由题意得，

解得1x1，

所以函数f(x)的定义域为．（3分）

（2）因为在f(x)的定义域内恒有

f(x)log2(1x)log2(1x)f(x)，

所以f(x)为奇函数，

即，

所以

f(1111)f()f()f()02014201520142015．（8

分）

14．已知：

f(x)x111f()f()f()f1x，求201520142（1）f(0)f（1）f（2）f(2015)

【解析】解：

f(x)x1x，

111f()xx111xx，

1f(x)f()1x，

f(111)f()f()f201520142（1）f(0)f（1）f（2）（1）f(0)f（1）

201502120162

15．已知函数

x2f(x)1x2．

1f()3；

（1）求f（2）与

1f()2，f（3）与

（2）由（1）中求得的结果，你能发现f(x)与

1f()x的关系吗？并证明你的发现；

（3）求f（1）f（2）f（3）的值．

114f()5，25，f911f()10，310；

【解析】解：（1）f（2）

（3）



（2）

1f(x)f()1x，

证明：

1()21xx21xf(x)f()1x1x21(1)21x21x2x；

2（3）f（1）f（2）f（3），

1f()][ff（1）[f（2）211f()][f(2015f()]32015（3），

120142，

2014.5．