摘要
本文研究的防洪物资调运问题主要涉及到运筹学网络规划中的最短路问题。 对于第一问，我们采用图论的方法,使用图论软件利用Floyd矩阵图将交通网转化成数学图形。由图论软件找出最短路径及最小距离。 对于第二问，设计物资合理的调运方案。由题意分析到要重点保护国家储备库1和2，所以我们优先为其调运物资。我们从三个企业和多出预测值的仓库3和仓库5向其调运。任务完成后，再由企业向未达到预测值的仓库调运物资，使它们达预测值。达预测值前，我们采用线性规划的方法，以时间最短建立目标函数。因为只有使它们尽快达到预测值，才具备一定的防洪能力。而各库达预测值后，我们以运费最少建立目标函数，使各仓库达到最大值。基于以上分析，我们将调运方案具体划分成三个阶段。第一阶段：使储备库达到预测值，以总运费最少为目标建立模型，求出具体调运量。第二阶段：达到预测库存前以调运时间最少为目标建立模型，求出每条路线前期的调运量。再按照以当天库存与预测库存相对差值的最大值尽可能小为原则（如果相对差值相同，远距离优先运输）建立模型，求出各路线每天的具体调运量。第三阶段：达到预测后以调运费用最少为目标建立模型，求出每条路线后期的调运量。在同等考虑储备库的情况下，以同样的原则建立模型，求出各路线每天的具体调运量。选最佳路线时用Floyd算法。求解目标函数时用Lingo软件。
对于第三问，要求求出20天后各仓库存量,根据第二问先已求出8天后的情况,后依据第二问的解题思路和模型求解，再求出12天后各仓库和储存库的物资量.
对于第四问，由于洪水中断部分公路,可认为该路段权值为无穷大.最短路线仍然可求.由于是紧急调运,所以只考虑时间, 以实际路程最短为目标求出各企业与仓库间的最优路线.在该问中,分两个阶段调运. 首要目标是使防洪物资尽可能早的运输的储备库及仓库. 按照以当天库存与预测库存相对差值的最大值尽可能大为原则（如果相对差值相同，远距离优先运输）,待各仓库达预测值后,再使各仓均达库存最大值.选择最佳路径和求解与问题(2)中类似.
本文通过以上模型结合处理实际问题时目标不同，分别求出了最佳的运输路线和调运量以及调运时间和费用，同时还考虑到路线中断等其它情况，具有较大的灵活性和实用性。
关键词 线性规划模型 LINGO软件 Floyd算法
一、问题重述
我国是一个气候多变的国家，各种自然灾害频频发生，其中各流域的洪涝灾害尤其严重。为了尽可能的减小国家和人民的损失，各级通过气象预报及历史经验要提前做好防洪物资的储备工作。该地区生产该物资的三家企业和八个大小物资仓库、两个国家级储备库，以及附件1中各库库存、需求情况和附件2中其分布情况。另外已知各路段的运输成本，高等级公路2元/公里•百件，普通公路1.2元/公里•百件。研究如下问题：
1
（1）根据附件2中给出的生产企业、物资仓库及国家级储备库分布图，建立该地区交通网数学模型。 （2）在优先保证国家级储备库的情况下，建立一种调运量及调运路线的方案模型。
（3）根据自己所建立的调运方案，求出20天后各库存量。
（4）汛期时，路段（14- 23、11-25、26-27、9-31） 被冲断，还能否用问题（2）的模型解决此问题。若不能，再建立一种新模型。
二、模型假设
1.假定该预测值是科学的可靠的。
2.假设公路交汇点27为储备库1，交汇点30为储备库2，将交汇点15与28之间的交汇点9改为42。（参考资料2）
3.假设车辆在高等级公路和普通公路的调运速度相同。 4调运时间忽略。
三、符号说明
Xij:表示从企业i调往仓库j得的运输量;
Yij:表示从企业i到仓库j的最小距离;
Mij:表示从仓库i调往仓库j的运输量;
Lij:表示从企业i到仓库j的最小运费;
Kj:表示从储备库j达到预测库存所需量;
Zi: 表示企业i现有库存量;
四、模型建立和求解
问题（1）的分析与求解：
要求建立公路交通网数学模型，即用数学语言来描述各段交通信息及有关线路和其距离。附件2中的点经过假设处理后，得到42个公路交汇点，其中包括三个企业、八个仓库和两个储备库等。我们用两个顶点及边线图表来描述这个交通网，把两点之间路径用折线简化替代.公路交通网数学模型如下二图所示:
图一(底色红色)是以路程为权值，图二(白色)以运费为权值。
2
图
二
：
说明：黄色或红色数字代表的是各个站点及仓库，两点之间的连线上的数字代表两站点之间的路程或运费。 问题二：
(二）关于问题（2）模型的分析、建立和求解
3
由于发洪水具有随机性，为有效预防，要在最短的时间里保证各仓库的预测库存，也就是说在达到预测库存前我们以时间为第一目标建立模型。而在达到预测库存后，各地区已有一定的防备能力，所以我们以经济为第一目标建立模型.
首先,我们对数据进行处理,由Floyd算法和图论软件及(问题1图一)可以得到以实际距离最小及运输时间最短的物资调运最佳路线:
表格(1)
目的地 储备库1 储备库2
仓库1 企业1
仓库2 仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 储备库1 储备库2
仓库1 企业2
仓库2 仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 储备库1 储备库2
仓库1 企业3
仓库2 仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 仓库3
储备库
路程
最优路线
100 24-26-27
220 24-26-25-11-6-4-30 154 24-26-25-15-42-28 123 24-26-25-18-23
335 24-26-25-11-6-5-39-35 192 24-26-27-9-31 130 24-20-22
287 24-26-27-9-2-3-36 190 24-26-25-11-6-4-29 310
24-26-27-9-31-32-38
110 41-6-40-27 148 41-6-4-30 58 41-42-28
157 41-42-15-18-23 263 41-6-5-39-35 158 41-6-40-9-31
206 41-42-15-18-19-22 253 41-6-40-9-2-3-36 118 41-42-28-29
276
41-6-40-9-31-32-38
167 34-32-31-9-27 102 34-32-39-30 224 34-32-39-30-29-28
330 34-32-31-9-27-11-25-18-23 123 34-32-35 75 34-32-31
337 34-32-31-9-27-26-19-22 145 34-1-33-36 1 34-32-39-30-29 93 34-32-38
240
35-32-31-9-27
4
1 储备库
117 35-39-30
2 储备库
170 22-19-26-27
1
仓库5
储备库
290 22-19-26-25-11-6-4-30
2
在此问当中，我们分两个阶段进行，即以达到预测值为分界线。第一阶段：我们使储备库达到预测库存，由企业和超过预测库存的仓库3、5向储备库提供。对该阶段初步计算，企业现存量和仓库超过预测的量能够满足储备库的需求，所以调用时间最少为目标求各企业的调运路线及分配量。由表格(1)，我们很容易找到最短路线：:
企业1到储备库1：24-26-27； 到储备库2：24-26-25-11-6-4-30； 企业2到储备库1：41-6-40-27； 到储备库2：41-6-4-30； 企业3到储备库1：34-32-31-9-27； 到储备库2：34-32-39-30； 仓库3到储备库1：35-32-31-9-27； 到储备库2：35-39-30；
仓库5到储备库1：22-19-26-27； 到储备库2：22-19-26-25-11-6-4-30. 模型1的建立：
目标函数： 总的调运时间最小，
minXijYij
i1j152约束条件:
Xj15ij2ijZii1,2,3,4,5;
Xi1Kjj1,2;
用LINGO求解,得到第一阶段各企业向各储备库的具体分配量如下: 储备库1 储备库2 企业1 600 0 企业2 310 50 企业3 0 500 仓库3 0 150 仓库5 90 0
此为第一步。第一步运输完成后，各库现存量如下表： 企企企仓仓仓仓仓仓仓仓储业1 业2 业3 库1 库2 库3 库4 库5 库6 库7 库8 备
库1
0 0 0 200 270 300 230 710 280 390 500 300
5
储
备库2 250
0
第二步：向未达预测值的仓库运。 由图论得最短路径 仓库1
仓仓仓库6 仓库7 库2 库4
企业1 154 123 192 287 190 企业2 58 157 158 253 118 企业3 224 330 75 145 1 仓库5 212 139 262 357 260 同样由线性规划求解得出最佳运输量。（相关程序见附录）
仓库8 310 276 93 380
0
第二步最佳运输量 企业1 企业2 企业3 仓库5
仓库1 60 240 0 0
仓库2 70 0 0 260
仓库4 80 0 40 0
仓库6 仓库7 仓库8 0 0 20 0
110 0 0 0
0 0 100 0
运输路线：见附录 第二步运输结束现存量
企企企仓仓仓仓仓仓仓仓储业1 业2 业3 库1 库2 库3 库4 库5 库6 库7 库8 备
库1
0 0 0 500 600 300 350 450 300 500 600 300
0
储备库2 2500
以上为第一阶段，各库均已达到预测值。 第二阶段：
使各库达到最大值。这一阶段以运费最少作为目标函数。
首先计算达最大值所需物资，由三企业生产所需的天数。由计算得共需39天，但是生产20天，企业已达最大库存。所以第二阶段又要分两个步骤完成。 第一步：由图选最佳路线
仓库1 仓库仓库3 仓库4 仓库5 仓仓库仓储备储备
2 库6 7 库8 库1 库2
6
企业184 1
企业69.6 2
企业268.8 3
150 188.4 398.4
408
344.4
367.2 1.6 247.2 303
.6
147.6 90 404.4 174
230.4 156
256.
8 141.6 196.8
372 120 331.2 111.6
157.6 200.4 321.6 177.6 122.4
由线性规划求解，相关程序见附录
运输方案 企业1 企业2 企业3
仓库仓库仓库仓库仓库仓库仓库仓库储备储备1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 800 0 300 0
0 0
0 0
0 50
0 0
0 0
100 0
0 200
200 0
0 150
调运路线见附录
第二步：经计算达最大值还需19天
生产19
天后 企业1 企业2 企业3
库存 状况 760 570 380
仓库2 仓库3 仓库
5
150 408 156 188.4 367.2 247.
2
398.4 147.6 404.
4
仓库6 储备2 334.4 321.6 303.6 177.6 174
122.4
企业1 企业2 企业3
运输方案 仓库2 210 90 0
仓库3 0 0 300
仓库5 550 0 0
仓库6 0 120 80
储备2 0 350 0
第三题：
企企业企业仓仓仓仓仓仓仓仓储储备业1 2 3 库1 库2 库3 库4 库5 库6 库7 库8 备库2
库1
7
0 0 0
500 600 300 350 450 300 500 600 300
2500
预测库存 最最经12天
未调运低大前 库库存 存 企业1 480 — — 800 企业2 360 — — 600 企业3 240 — — 600 仓库1 500 500 10800 0 仓库2 600 600 20900 0 仓库3 300 300 20600 0 仓库4 350 350 10400 0 仓库5 450 400 30100 00 仓库6 300 300 20500 0 仓库7 500 500 30600 0 仓库8
600
600 40800 0 储备库1 3000 3000 104000 00 储备库2 2500
2500 103000 00
运输 方案
运输仓
仓库仓库3 仓库仓库仓库仓库
8
0
仓库储备
储备
方案 企业1 企业2 企业3 库1 0 300 0 2 0 0 0
0 0 0
4 0 0 50 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 60 0 8 0 0 190 1 480 0 0 2 0 0 0
12天后各库现存量 企业1 企业2 企业3 仓库1 仓库2 仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 储备1 储备2
0 0 0 800 600 300 400 450 300 560 790 3480 2500
第四问：因洪水使公路中断，只需修改原图，最短路线依然有Floyd求得。采用差值最大的仓库优先的原则，我们依次使各库达预测值和最大值。最短路径如下表格:
目的地 储备库1 储备库2
仓库1
企业1 仓库2
仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 储备库1
企业2
储备库2
路程 最优路线
168 24-20-13-27
276 24-26-25-15-42-28-29-30 154 123 393 403 130 342 214 421
24-26-25-15-42-28 24-26-25-18-23
24-26-25-15-42-28-29-30-39-35 24-26-25-15-42-28-29-30-39-32-31 24-20-22
24-20-13-12-10-3-36 24-26-25-15-42-28-29
24-26-25-15-42-28-29-30-39-32-38
110 41-6-40-27 148 41-6-4-30
9
仓库1 仓库2 仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 储备库1 储备库2
仓库1 仓库2
企业3
仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8
58 157 263 273 206 253 118 291 41-42-28
41-42-15-18-23 41-6-5-39-35 41-6-5-39-32-31 41-42-15-18-19-22 41-6-40-9-2-3-36 41-42-28-29 41-6-5-39-32-38
187 34-1-2-9-27 102 34-32-39-30 224 387 123 75 385 145 1 93
34-32-39-30-29-28
34-32-39-30-29-28-42-15-18-23 34-32-35 34-32-31
34-1-2-9-27-13-20-22 34-1-33-36 34-32-39-30-29 34-32-38
第一步：给储备库1运
最佳路线
企业1 企业2 企业3
储备1 168 110 187
运量 600 360 40
第二步：给储备库2运
最佳 路线
企业1 企业2 企业3
储备库 2 276 148 102
运量 90 90 520
第三步：给仓库3运
10
第三步：仓库3 最佳路线
仓库 2 仓
库2
企业123 1
企业157 2
企业387 3
需3天 120 90 60
运余 量
190 0 120 0 20
60
第四步：给仓库1运
第四步仓库1 最佳路线
企业1 企业2 企业3
仓库 1 154 58 224
需1天 40 30 20
运量 余 120 0 90 0 90 30
第五步：给仓库4运
最佳路线
仓库4
运量 40 30 50
余 0 0 0
企业1 403 企业2 273 企业3 75
第六步：给仓库7运
最佳 仓库7 运量 余 路线 企业1 214 10 70 企业2 118 60 0
企业3 1
40
0
40
需130 天 20
第七步：因为上步结余物资可同时提供给仓库8和仓库6，所以企业不需要为其在花费时间生产。
最佳路程
仓库8 仓库6
11
运量 仓库8 仓库余量
企业1 企业2 企业3 421 291 93 332 253 145 70 30 0
6 0 0 20
40 0 0
路线: 企业1到仓库8:24-26-27-9-31-32-38;到仓库6: 24-26-27-9-2-3-36 企业2到仓库8: 41-6-40-9-31-32-38;到仓库6: 24-26-27-9-2-3-36 企业3到仓库8: 34-32-38;到仓库6: 34-1-33-36
以上为第一阶段。此时各库均以达预测值，仓库3和仓库5超值。
第二阶段：使各库达最大值。
最佳
路线 仓库1 仓库2
仓仓库4 仓库3 库
5
企业1 154 123 393 403 13
0
企业2 58 157 263 273 20
6
企业3 224 387 123 75 38
5
运量 企业1 0 300 0 0 20
0
企业2 300 0 0 0 0 企业3 0
0
150 50 0
各库现
有量
库存 现有库最大库存 单位 存 企业1 10 800 企业2 0 600 企业3 0 600 仓库1 800 800 仓库2 900 900 仓库3 600 600 仓库4 400 400 仓库5 1000 1000 仓库6 500 500
12
仓库6 仓库7 342 214 253 118 145 1 0 0 0 100 200
0
仓库8 储备1 421 168 291 110 93 187 0 850 0 150 200
0
储
备2 276 148 102 0 440 60
仓库7 仓库8 储备库1 储备库2 600 800 4000 3000 600 800 4000 3000 五、模型的评价与改进
本文采用了线性规划的方法，从实际问题出发，针对不同情况下的要求和不同重点建立了不同的模型，把问题分阶段考虑，使结果更合理。模型的实用性强，速度快，可以对突发事件作出及时的调整。
模型的改进，在本文中我们假设了车辆在高等级公路和普通公路的速度相同，而在实际过程中速度是不同的。根据两者速度的比值对交通网络图中的路程数据作相应的处理，然后在按同样的模型求解，可以得到更好的实际调运方案。
对于提前作好防洪物资储备的情况，利用模型2及模型3调运一段时间之后，如果此时发生洪涝灾害需要紧急调运时，我们可以以此时的库存量为起点，调整为按模型5进行紧急调运，以此来应对突发事件。在实际问题中，对于紧急调运问题，还可以考虑让发生灾害地区附近的仓库、企业及储备库都向灾区提供适量的物资援助，节省救助时间，尽量减小灾害所造成的损失。 参考文献：
[1] 朱求长. 运筹学及其应用 武汉大学出版社 2006.1
[2] 韩中庚.数学建模方法及其应用 高等教育出版社2005.6
附录1：
目的地 储备库1 储备库2
仓库1
企业1 仓库2
仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 储备库1 储备库2
企业2
仓库1 仓库2 仓库3 仓库4
路程
100 24-26-27
最优路线
220 24-26-25-11-6-4-30 154 123 335 192 130 287 190 310
24-26-25-15-42-28 24-26-25-18-23
24-26-25-11-6-5-39-35 24-26-27-9-31 24-20-22
24-26-27-9-2-3-36 24-26-25-11-6-4-29 24-26-27-9-31-32-38
110 41-6-40-27 148 41-6-4-30 58 157 263 158
41-42-28
41-42-15-18-23 41-6-5-39-35 41-6-40-9-31
13
仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 储备库1 储备库2
仓库1 206 253 118 276 41-42-15-18-19-22 41-6-40-9-2-3-36 41-42-28-29
41-6-40-9-31-32-38
167 34-32-31-9-27 102 34-32-39-30 224 34-32-39-30-29-28
企业3
仓库3
仓库5
2：起点 企业1 企业2 仓库2
仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 储备库1
储备库2 储备库1
储备库2
目的地 储存库1
储存库2 仓库1 仓库2 仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8
储备库1
储备库2 仓库1 仓库2 仓库3 仓库4 仓库5
330 123 75 337 145 1 93
240 117 170 290 路程 126 327.6 190.8 156 414 236 156 350 262 378 157.6 177.6 69.6 188.4 367.2 1.6 247.2
34-32-31-9-27-11-25-18-23 34-32-35 34-32-31
34-32-31-9-27-26-19-22 34-1-33-36 34-32-39-30-29 34-32-38
35-32-31-9-27 35-39-30 22-19-26-27
22-19-26-25-11-6-4-30
最优路线
24-26-27
24-26-25-11-6-4-23 24-26-25-15-42-28 24-26-19-18-23
24-26-27-9-31-32-35 24-26-27-9-31 24-20-22
24-26-27-9-2-3-36 24-26-25-15-42-28-29 24-26-27-9-31-32-38 41-6-40-27 41-6-4-30 41-42-28
41-42-15-18-23 41-6-40-9-31-32-35 41-6-40-9-31
41-42-15-18-19-22
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附录
仓库6 303.6 仓库7 141.6 仓库8
331.2 储备库1
200.4 储备库2 122.4 仓库1 268.8 仓库2 398.4 仓库3 147.6 仓库4 90 仓库5 404.4 仓库6 174 仓库7 196.8 仓库8 111.6 41-6-40-9-2-3-36 41-42-28-29
41-6-40-9-31-32-38 34-32-31-9-27 34-32-39-30
34-32-39-30-29-28
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