一题多解后的三点反思

——以高三一节习题教学课为例

随着新课改的不断深入，新课程的理念深入人心，“有效课堂”如火如荼地进行。笔者听了高三一节“有效”习题课，对其解法作整理并作思考，希望为能产生更”高效的课堂”提供一些见解。

1.试题再现

已知函数fxma2xm3ax1a0,a1的图像与x轴至少有一个交点，求实数m的取值范围。

2.解法展示

解法①设t=a，则函数fx可化为gtmt2m3t1t0，令gt=0得方

x程mt2m3t10。⑴ 函数fx的图像与x轴至少有一个交点等价于方程⑴至少有

10，方程⑴有一正实数根。当m0时，为使方程3m0m0⑴至少有一个正实数根，只需或3mm210m9，解之得：m1且3mm210m9004m4m一个正实数根。当m=0时，解为tm0。综上m的取值范围是,1。

解法②当m=0时，同解法①。当m0时，显然t0不是方程⑴的根，设方程⑴的两

30t1t2mm1tt0，个实根为t1,t2，则m10m90且或解之得：m1121t1t20mm2且m0。综上m的取值范围是,1。

解法③当m=0时，同解法①。当m0时，因为g010，所以

m且

m324m0或m0，解之得：m1且m0。综上m的取值范围是,1。 m302m解法④同解法①式可化为m3t13t1t1t0，当0t1，则mt2t2tt2t时，mt0，mt为增函数；当t1时，mt0，mt为减函数，所以当t1时取得最大值1，又当t0时，mt，故所求m的取值范围是,1。

解法⑤当m=0时，同解法①。当m0时，方程⑴可化为xx213x1，考虑m 1

函数yx2x与y213x1，在同一坐标系下作出这两个函数的图像，由mm-3-4m0，得m1,9。观察图像（图略）得，当m1，两图像相切且切点

在第一象限；当m1且m0是，直线y13x1与抛物线yx2x在第一象限内m至少有一个交点，即方程⑴至少有一个正实数根，综上m的取值范围是,1。

3.教后反思⑴

解法①②运用了方程与分类讨论思想，解法③④运用了函数及化归思想，解法⑤运用了数形结合思想。建议①在每一次解题后，引导学生反思自己在解决问题中应用了那些知识与方法，还有其他解法，是用常规解法还是独辟蹊径，另找简捷的解法，当学生的解题数量有了一定的积累时，对某一类问题进行归类，找到解决这一类问题的突破口，形成技巧，这样的反思可以帮助学生理清思维脉络，形成有效技巧，策略和思想方法。②思规律，找变化，触类旁通。同一类型的数学问题，其求解方法往往有其规律性，可作一般的推广和引申，这样学生解决的不是一道题，而是一类题。如：把此题的a改为sinx，题目实质上是参数t的范围在改变，学生豁然明白实际上是方程根的分布这一类题。③思演变，层层深入，提高应变能力。一些典型问题解决后，改变原题的结构或进行逆向思考，往往可使一题变一串，这样有利于学生拓宽思路，提高解决问题的能力。如本题可以这样问有两交点呢？没有交点呢？把此题的a改为sinx问有两解呢？通过上述的解题探究，层层深入，学生始终处于参与之中，更好地发挥了学生的主动参与的能动性和自主性。

教后反思⑵

随着我国基础教育课程改革逐步深入，课程理念研究正面临极好的机遇和极大的挑战，改革实践呼唤科学理论给予指导，因此教学方法的改革将会是这个时代教育中最突出的特征，学生在课堂中的主体地位，学生的主动学习无疑将日益突出。一线教师要倾心于教学方法的研究，实现“高效”课堂，真正为学生减负，在实践中创造出新的教学方法，以克服传统教学中存在的一些弊端。教学方法不能生搬硬套，如何在有限的45分钟里，通过科学、有序的教学活动，使数学课堂教学优质高效地运行，以期获得切实提高教学质量的效果，是我们每一个教师需要研究的重要课题。因此，一题多解固然是有效的教学方法之一，但一题多解必须注意几个方面：①一题多解应注意“选材”，对试题的内涵及其考查情况要了然于胸，选择内涵丰富、学生易错、思维价值高的试题作重点讲解，放弃题海战术，提高试题教学的有效性。②一题多解应注意“学情”，关注学生的学情是一题多解的前提，不同的学生的知识体系和思维模式是有差异的，教师在想到一题多解的同时，更应关注学生的想法，哪些解法是大多数学生想到的，哪学解法是学生的“专利”，哪些解法即使讲了学生也不懂，教师应该有选择地进行一题多解，否则又变成“灌输”，学生是“听而生畏”。③一题多解应注意“思想和方法”，一题多解应采取科学合理的方式方法，要让学生唱主角，教师做好组织者和引领者，是学生的合作者，“思想”是展开“一题多解”活动的灵魂，数学万变不离其宗，要注意四大思想的渗透，要求教师在教学中始终如一的贯穿这个意识，培养学生在实践中实现自我领悟，在反思中重构自己的经验，形成自己的策略和方式，提高解题的应变能力。

教后反思⑶

《高中数学课程标准》指出：“人人学有价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同

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的人在数学上得到不同的发展。”何为有效教学，实际上不仅仅是“一题多解”这种教学模式，关注学生的发展已成为数学教学的出发点和归属。课型不同，教学方式可能不同，教无定法这是客观的，笔者认为作为一线教师应关注以下几点：①关注学生的学习环境。建立和谐的师生关系在课堂教学中，教师应该为学生创设良好的学习环境，营造生机勃勃、充满活力的绿色数学课堂，让每一个学生健康成长，使每一位学生都有机会品尝成功的喜悦。案例1.（排列组合教学片段赏析）在1，2，3，4，5，6这6个数字中任取4个组成不重复的四

4位数，求所有四位数字的和。一学生解答：四位数字共有A6个，其中最小的是1234，最大

的是6543，故所求和是

123465434A6=1399860,教室里一片哗然，怎么用等差数列求和方

2法来解决，教师事先也没有想到，但结果是对的，该生一时讲不清道理，教师决定抓住时机，引导学生探讨。几分钟后，一生答：这些四位数虽不构成等差数列，但如果把他们按从小到大排列，则第一个和最后一个数的和等于第二个数和倒数第二个数的和，„且都等于7777，所以结果正确。教室里喝彩声一片，学生提供了一种非常巧妙的解法，闪现了创造思维的光辉。只要给与学生关心，理解，信任，一些不加预设的临时生成课堂会更精彩、更有效。②关注知识的形成过程。教材中的数学知识大多是形式的、演绎地呈现出来，掩去了知识的发生发展过程。教师若“照本宣科”，学生就很难经历这些结论的探索和发现过程，难以领会数学的本原了。因此在课堂教学中，教师要注重知识的形成发展过程，引导学生思维活动的开展，体验数学的发现和创造的心力过程，形成积极主动的学习态度和价值观。③关注有效的教学活动。《高中数学课程标准》指出：“在高中数学教学中，教师的讲授任然是主要方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动。”课堂的有效性离不开学生的思维参与，他是师生相互交往，共同参与的过程。问题是学生思维互动的发动机。课堂教学的互动往往就是始于问题、为解决问题而开展的活动。因此，教师要巧妙的寻找设疑契机，使学生产生强烈的好奇心和求知欲，激发他们的探究热情。案例2.在讲授“直线的斜率”一课中，笔者设计了如下的问题：

问题1：为什么骑车上坡时很吃力，这与坡的什么有关？ 问题2：对于坡的平缓和陡峭如何刻画呢？ 问题3：坡的倾斜（陡峭）程度用坡度来刻画，那么直线的倾斜程度用什么量来刻画呢？

问题4：如何用两点的坐标P1x1,y1和P2x2,y2来表示直线的斜率呢？

问题5：直线的斜率会因为两点的位置变化而改变吗？

对于这些问题的设置，笔者是应用类比思想，把坡近似看做一条直线，把坡度过渡到斜率，而用坐标来表示斜率是几何过渡到代数，即利用了数形结合思想。教学问题形形色色，但是不能偏离教学目标、背离教学宗旨；还要保持问题的难度，即数学问题具有启迪思维的趣味性，创新思维的挑战性；最后，在问题的把握上，要保证问题的梯度，要有因材施教的启发性，由表及里的层次性。问题因生成而有意义，问题因探究而有价值。

课程理念研究表明要求教师教后必须反思，竟而形成有效反思，通过对有效反思的研究，使所有师生明确反思的内容和方式，力争将师生的反思能力提高到一定的程度，从而促进反思型师生的有效生成，增强师生反思意识，提高师生反思能力，促进师生自我成长。并且探究出课堂教学最优秀的方法，提高课堂教学效果。

参考文献：1.普通高中数学课程标准（实验），人民教育出版社，2003 2.“有效教学”研究的价值，教育研究，2007.6.

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