高考秘籍之解析几何巧算公式大全

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解析几何中的基本公式

1、 两点间距离：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB(x2x1)2(y2y1)2

2、 平行线间距离：若l1:AxByC10,l2:AxByC20

则：dC1C2A2B2

注意点：x，y对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：P(x,y),l:AxByC0

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则P到l的距离为：dAxByCAB22

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：2ykxb

F(x,y)0消y：axbxc0，务必注意0.

若l与曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)

则：AB(1k2)(x2x1)2

5、 若A(x1,y1),B(x2,y2)，P（x，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为，

x则yx1x2x1x2

x1 ，特别地：=1时，P为AB中点且2 

y1y2yy1y212

xx1yy1或 x2xy2y变形后：6、 若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则l1到l2的角为,(0,)

适用范围：k1，k2都存在且k1k2－1 ， tank2k1

1k1k2若l1与l2的夹角为，则tank1k2，(0,]

21k1k2注意：（1）l1到l2的角，指从l1按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围(0,) l1到l2的夹角：指 l1、l2相交所成的锐角或直角。 （2）l1l2时，夹角、到角=

。 2 （3）当l1与l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

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7、 （1）倾斜角，(0,)；

（2）a,b夹角，[0，]；

（3）直线l与平面的夹角，[0，]；

（4）l1与l2的夹角为，[0，]，其中l1//l2时夹角=0； （5）二面角,(0,]； （6）l1到l2的角，(0，)

8、 直线的倾斜角与斜率k的关系

a) 每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率k，而倾斜角为，则k=tan。 9、 直线l1与直线l2的的平行与垂直

（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2 k1=k2

②l1l2 k1k2=－1 （2）若l1:A1xB1yC10, 若A1、A2、B1、B2都不为零

① l1//l222l2:A2xB2yC20

A1B1C1； A2B2C2② l1l2 A1A2+B1B2=0； ③ l1与l2相交A1B1 A2B2A1B1C1； A2B2C2④ l1与l2重合10、

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注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。 直线方程的五种形式

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名称 方程 注意点

斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在

点斜式： yyk(xx) （1）斜率不存在：xx

（2）斜率存在时为yyk(xx) 两点式：

截距式：

yy1xx1

y2y1x2x1xy交y轴于(0,b)1 其中l交x轴于(a,0)，

ab当直线l在坐标轴上，截距相等时应分：

（1）截距=0 设y=kx （2）截距=a0 设 即x+y=a

一般式： AxByC0 （其中A、B不同时为零） 10、确定圆需三个的条件

圆的方程 （1）标准方程： (xa)(yb)r， (a,b)圆心，r半径。 （2）一般方程：xyDxEyF0，（DE4F0)

2222222xy1 aaDE (,)圆心, r22222D2E24F

211、直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种

若dAaBbCAB22，dr相离0

dr相切0 dr相交0 12、两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d

dr1r2外离4条公切线

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dr1r2外切3条公切线

r1r2dr1r2相交2条公切线 dr1r2内切1条公切线 0dr1r2内含无公切线

外离 外切

相交 内切 内含

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆

定义Ⅰ：若F1，F2是两定点，P为动点，且PF1PF22aF1F2 （a为常数）则P点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0x2y2标准方程：221

ab(ab0)

定义域：{xaxa}值域：

{xbyb}

长轴长=2a，短轴长

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=2b 焦距：2c

a2准线方程：x

ca2a2PF1e(x)，PF2e(x)，焦半径：PF12aPF2cc，acPF1ac等（注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定义。）

注意：（1）图中线段的几何特征：A1F1A2F2ac，A1F2A2F1ac B1F1B1F2B2F2B2F1a ，A2B2A1B2与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关。

（2）PF1F2中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段PF1．．．．．．．．．．．

有关角F1PF2结合起来，建立PF1（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：a2b2等等。顶点

、PF2、2c，

+PF2、PF1•PF2等关系

xacos；

ybsin（4）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴上时，其相

应的性质。

二、双曲线

（一）定义：Ⅰ若F1，F2是两定点，PF1PF22aF1F2（a为常数），则动点P的轨迹是双曲线。

Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线。

（二）图形：

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（三）性质

x2y2y2x2 方程：221 (a0,b0) 221 (a0,b0)

abab定义域：{xxa或xa}； 值域为R； 实轴长=2a，虚轴长=2b

焦距：2c

a2准线方程：x

c焦半径：

a2a2PF1e(x)，PF2e(x)，PF1PF22a；

cc注意：（1）图中线段的几何特征：AF1BF2ca，AF2BF1ac

a2a2a2a2或a或c 顶点到准线的距离：a；焦点到准线的距离：c cccc2a2两准线间的距离=

cx2y2x2y2b （2）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx

ababa

x2y2xyb若渐近线方程为yx0双曲线可设为22

ababax2y2x2y2 若双曲线与221有公共渐近线，可设为22

abab（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）

（3）特别地当ab时离心率e2两渐近线互相垂直，分别为y=x，此

22时双曲线为等轴双曲线，可设为xy；

（4）注意PF1F2中结合定义PF1PF22a与余弦定理cosF1PF2，将有关

线段PF1机密

、PF2、F1F2和角结合起来。

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（5）完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。 二、抛物线

（一）定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。

（二）图形：

（三）性质：方程： 焦点： (

y22px,(p0),p焦参数；

p,0) ，通径AB2p； 2p 准线： x；

2ppp 焦半径：CFx,过焦点弦长CDx1x2x1x2p

222p 注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=p；通径长=2p

2 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

（2）抛物线y2px上的动点可设为

2yP(,y)或

2p2P(2pt2,2pt)或P(x,y)其中y22px

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