经典例题透析
类型一、指数式与对数式互化及其应用
(1)(3)1．将下列指数式与对数式互化：；(2)；(4)
；
；
(5)
思路点拨：运用对数的定义进行互化.
解：(1)(3)(6)；(2)；(4).
；
；
；(5)；
(6).
总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三：
【变式1】求下列各式中x的值：
(1) (2)
(3)lg100=x (4)
思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：(1)；
(2)
(3)10x=100=102，于是x=2；
；
(4)由
类型二、利用对数恒等式化简求值 解：.
2．求值：.
总结升华：对数恒等式
数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：
中要注意格式：①它们是同底的；②指
【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
解：
.
类型三、积、商、幂的对数
3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.
(1)lg9 (2)lg (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15
解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b
(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三：
【变式1】求值
(1) 解：
(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】已知3a=5b=c，c的值.
，求解：由3a=c得： 同理可得 .
【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：证明： .
.
【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：
证明：∵ a2+b2=7ab， ∴ a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， ∴ lg(a+b)2=lg(9ab)， ∵ a>0，b>0， ∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb
即 .
类型四、换底公式的运用
4．(1)已知logxy=a.
用a表示
，；
(2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.
解：(1)原式=
(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底. 方法一：am=x， bn=x， cp=x
；
∴，
∴ 方法二：举一反三：
【变式1】求值(1)；.
：；
(2) 解： (1) (3)
.
； (2)；
(3)法一：
法二：.
总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.
类型五、对数运算法则的应用
(1) log·log2732
5．求值
(2)
(3)
(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
解：(1)原式= (2)原式= (3)原式=
(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
.
举一反三：
【变式1】求值：解
：
另解设=m (m>0).
： ∴
，
∴ ，
∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即
2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?
.
∴ ，
【变式 解：∵ ∴，
类型六、函数的定义域、值域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.
6. 求下列函数的定义域：
(1)； (2)思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.
解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数 (2)因为4-x>0，即x<4，所以函数举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域.
.
.
；
(1) y= 解
(1)
因为
所
(2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).
，
以
函
数
的
定
义
域
所为
(1
：以
，
，
(2)因为 ax-k·2x>0， 所以( [1]当k≤0时，定义域为R； [2]当k>0时，
)2).
)x>k.
(
， (i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；
(ii)若0(iii)若a=2，则当0k)；为.
【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.
思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[≤log2x[，4].
类型七、函数图象问题
2得y=f(log2x)，2]，再由
定义域为
≤的 7．作出下列函数的图象：
(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx. 解：(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3).
类型八、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.
8. 比较下列各组数中的两个值大小：
(1)log23.4，log28.5 (2)log0.31.8，log0.32.7
(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)
思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.
(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方， 所以，log23.4解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4log0.32.7； (3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1loga5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，
当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9
则
所以，b1当0所以，b1>b2，即举一反三：【变式1】（2011 天津理 7）已知
.
则（ ）
A．C． 解析：另 B．D．，
，
，在同一坐标系下作出三个函数图像，
由图像可得 又∵为单调递增函数， ∴
故选C.
9. 证明函数
上是增函数.
思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.
证明 ：设 且 又x1∵y=log2x则在
，
∴函数f(x)=log2(x2+1)在举一反三：
上是增函数f(x1)上是增函数.即 【变式1】已知f(logax)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调
性.
解：设t=logax(x∈R+， t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t1∴ f(t1)-f(t2)=，∵ 01， ∴ f(t1)当01或010．求函数y= 解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=4，
∴ y≥(-x2+2x+3)的值域和单调区间.
t为减函数，且0=-2，即函数的值域为[-2，+∞再由：函数y=∴ t=-x2+2x+3在.
(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y= ∴ 函数y=3
类型九、函数的奇偶性t为减函数.
.
(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，
11. 判断下列函(1) (2)
(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.
解：由
所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称
数的奇偶.
性.
又
所以函数是奇函数；
总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形. (2)解：
由
数的定义域为R关于原点对称
所以函
又
即f(-x)=-f(x)；所以函数.
总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
类型十、对数函数性质的综合应用
12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定
义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.
f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数， 即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，
使u能取遍一切正数的条件是
解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R， 当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；
当a≠0时，有.
a>1.∴ a的取值范围为a>1.
(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数或
∴ a的取值范围为0≤a≤1.
0≤a≤1，a=0
13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、
C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S. (1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域；
(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围. 解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).
并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a， log2a)， B(a+4， log2(a+4))， C(a+8， log2(a+8)) (a>1)，如图.
∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕
∴ S=
(2)
=2log2 =2log2(1+
把
S=f(a)
变
形
得
于|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8). ：
S=f(a)=2
〔
2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)
〕
).
a>1
时
，a2+8a>9， ∴
由1<1+
0<2log2(1+)<2log2，即0(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1又函数∴，
(1+)-(1+)=16· 由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0， )=16(
+8a2>0，
，
1<1+
数y=log2x在(0，+∞)上是增函数， 于是可得f(a1)>f(a2)
∴ S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.
(4)由S>2，即得+8a1>0， a1-a2<0，
<1+
∴，再由函
解之可得：
，-4.1