微积分初步形成性考核册答案 全

微积分初步形成性考核作业（一）解答

一、填空题（每小题2分，共20分）

11．函数

f(x)ln(x2)的定义域是 ．

ln(x2)0x解：{3x20， {x2

所以函数

f(x)1ln(x2)的定义域是(2,3)(3,)

2．函数

f(x)15x的定义域是 ．

1解：5x0，x5 所以函数

f(x)5x的定义域是(,5)

23．函数

f(x)1ln(x2)4x的定义域是 ．

ln(x2)0x1x20x2解：4x20 ，2 所以函数f(x)1ln(x2)4x22x的定义域是(2,1)(1,2]4．函数

f(x1)x22x7，则f(x) ．

解：

f(x1)x22x7x22x16(x1)26 所以f(x)x26 5．函数

f(x)x22x0exx0，则f(0) ． 解：

f(0)0222

1

6．函数f(x1)x22x，则f(x) ．

解：

f(x1)x22xx22x11(x1)21，f(x)x21 x22x7．函数

y3x1的间断点是 ． 解：因为当x10，即x1时函数无意义 所以函数

yx22x3x1的间断点是x1sin1limxx118．limxxsin1x ． 解：limxxsin1xx

limsin4x9．若x0sinkx2，则k ．

sin4xlimsin4xx0sinkx4klim4x4x0sinkxk2解： 因为kx 所以k2

sin3x10．若limx0kx2，则k ．

sim3x3sim3解：因为limx0kxklimxx03x3k2

所以

k32

二、单项选择题（每小题2分，共24分）

2

xex1．设函数

ye2，则该函数是（ ）．

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数

y(x)e(x)exexexexex解：因为22y 所以函数y2是偶函数。故应选B

2．设函数yx2sinx，则该函数是（ ）．

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数

解：因为y(x)(x)2sin(x)x2sinxy 所以函数yx2sinx是奇函数。故应选A

2x2x3．函数f(x)x2的图形是关于（ ）对称．

A．yx B．x轴 C．y轴 D．坐标原点

2x2(x)2x解：因为f(x)(x)2x2x2x2x2f(x) 所以函数f(x)x2是奇函数

从而函数x)x2x2xf(2的图形是关于坐标原点对称的 因此应选D

4．下列函数中为奇函数是（ ）．

A．xsinx B．lnx C．

ln(x1x2) D．xx2 3

解：应选C

15．函数

yx4ln(x5)的定义域为（

）．

A．x5 B．x4 C．x5且x0 D．x5且x4

x4解：0x4x50，x5，所以应选D

6．函数

f(x)1ln(x1)的定义域是（ ）．

A． (1,) B．(0,1)(1,) C．(0,2)(2,) D．(1,2)(2,)

解：ln(x1)0x10，x2x1， 函数

f(x)1ln(x1)的定义域是(1,2)(2,)，故应选D 7．设

f(x1)x21，则f(x)（ ） A．x(x1) B．x2 C．x(x2) D．(x2)(x1)

解：

f(x1)x21(x1)(x1)(x1)[(x1)2] f(x)x(x2)，故应选C

8．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．

A．f(x)(x)2，g(x)x B．f(x)x2，g(x)x

4

C．f(x)lnx2，g(x)2lnx D．f(x)lnx3，g(x)3lnx

解：两个函数相等必须满足①定义域相同②函数表达式相同，所以应选D

9．当x0时，下列变量中为无穷小量的是（ ）.

1sinxxA．x B．x C．ln(1x) D．x2

解：因为limx0ln(1x)0，所以当x0时，ln(1x)为无穷小量，所以应选C

10．当）时，函数

f(x)x21,x0k（ k,x0，在x0处连续. A．0 B．1 C．2 D．1

解：因为limx0f(x)limx0(x21)1，f(0)k

x21,x若函数f(x)0k,x0，在x0处连续，则f(0)limx0f(x)，因此k1。故应选B

ex2,x11．当f(x)k（ ）时，函数

0k,x0在x0处连续. A．0 B．1 C．2 D．3

解：

kf(0)limx0f(x)limx0(ex2)3，所以应选D

5

312．函数

f(x)xx23x2的间断点是（ ）

A．x1,x2 B．x3 C．x1,x2,x3 D．无间断点

解：当x1,x2时分母为零，因此x1,x2是间断点，故应选A

三、解答题（每小题7分，共56分）

x23x2⒈计算极限limx2x24．

x23x2解：limlim(x1)(x2)x2x42(x2)(x2)limx1x2x212x4 x25x2．计算极限lim6x1x21

解：limx25x6x1x21lim(x1)(x6)x1(x1)(x1)limx6x1x172 3．limx29x3x22x3

解：limx29lim(x3)(x3)limx3x3x22x3x3(x1)(x3)x3x132 x26x4．计算极限lim8x4x25x4

6

28)解：limx6x5x4lim(x2)(x4x4x4(x1)(x4)limx2x2x4x123

5．计算极限limx26x8x2x25x6．

x26x8解：limlim(x2)(x4)limx4x2x25x6x2(x2)(x3)x2x32

16．计算极限lim1xx0x．

解：lim1x1lim(1x1)(1x1)xx0xx0x(1x1)limx0x(1x1)

lim1x01x112

7．计算极限lim1x1x0sin4x

解：

lim1x1lim(1x1)(1x1)x0sin4xx0sin4x(1x1) limxx0sin4x(1x1)14lim1x0sin4x1

4x(1x1)8sin4x8．计算极限

limx0x42．

7

4xsin4x(x42)解：

limsinx0x42limx0(x42)(x42)

x(x42)sim

limsin4x0x4limx0[4x4x(x42)16

微积分初步形成性考核作业（二）解答（除选择题）

————导数、微分及应用

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．曲线f(x)x1在(1,2)点的斜率是 ．

f(x)1解：

2x，斜率

kf(1)12

2．曲线f(x)ex在(0,1)点的切线方程是 ．

解：f(x)ex ，斜率

kf(0)e01 所以曲线f(x)ex在(0,1)点的切线方程是：yx1

3．曲线yx12在点(1,1)处的切线方程是

．

133ky112解：y2x，斜率

x12x2x12

8

所以曲线yx12在点(1,1)处的切线方程是：y112(x1)，即：x2y30

4．(2x) ． 解：

(2x)2x12xln22xln22x

5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y(0) =

．解：y(0)(1)(2)(3)6

6．已知f(x)x33x，则f(3)= ．解：f(x)3x23xln3，f(3)2727ln3 17．已知f(x)lnx，则f(x)= ．解：

f(x)x，f(x)1x2

8．若f(x)xex，则f(0) ．

解：f(x)exxex，f(x)ex(exxex)2exxex， f(0)2

9．函数y3(x1)2的单调增加区间是 ．

解：y6(x1)0，x1，所以函数y3(x1)2的单调增加区间是[1,)

10．函数

f(x)ax21在区间(0,)内单调增加，则a应满足 ． 解：f(x)2ax0，而x0，所以a0

二、单项选择题（每小题2分，共24分）

1．函数y(x1)2在区间(2,2)是（ D ）

9

A．单调增加 B．单调减少 C．先增后减 D．先减后增

2．满足方程f(x)0的点一定是函数yf(x)的（ C ）.

A．极值点 B．最值点 C．驻点 D． 间断点

3．若f(x)excosx，则f(0)=（ C ）．

A. 2 B. 1 C. -1 D. -2

4．设ylg2x，则dy（ B ）．

1A．2xdx1 B．xln10dxln101 C．xdx D．xdx

5．．设yf(x)是可微函数，则df(cos2x)（ D ）． A．2f(cos2x)dx

B．f(cos2x)sin2xd2x C．2f(cos2x)sin2xdx D．f(cos2x)sin2xd2x6．曲线ye2x1在x2处切线的斜率是（ C ）．

A．e4 B．e2 C．2e4 D．2 7．若f(x)xcosx，则f(x)（ C ）．

A．cosxxsinx B．cosxxsinx C．2sinxxcosx D．2sinxxcosx

8．若f(x)sinxa3，其中a是常数，则f(x)（ C ）．

10

A．cosx3a B．sinx6a C．sinx D．cosx

29．下列结论中（ B ）不正确．

A．f(x)在xx0处连续，则一定在x0处可微.

B．f(x)在xx0处不连续，则一定在x0处不可导.

C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.

D．若f(x)在[a，b]内恒有f(x)0，则在[a，b]内函数是单调下降的.

10．若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的．

A．函数f (x)在点x0处有定义 B．

xx0limf(x)A，但Af(x0)

C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微 11．下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（ B ）．

A．sinx B．e x C．x 2 D．3 - x

12.下列结论正确的有（ A ）．

A．x0是f (x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x0) = 0 B．x0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点

11

C．若f(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 D．使f(x)不存在的点x0，一定是f (x)的极值点

三、解答题（每小题7分，共56分）

1⒈设yx2ex，求y．

1111y2xexx2ex解：

(1x)2xexex12(2x1)ex 2．设

ysin4xcos3x，求y. 解：

y4cos4x3cos2xsinx 3．设

yex11x，求y.

解：

y12x1ex11x2

4．设yxxlncosx，求y.

3解：

y2xsinxcosx32xtanx

5．设yy(x)是由方程

x2y2xy4确定的隐函数，求dy. 解：两边微分：2xdx2ydy(ydxxdy)0

12

2ydyxdyydx2xdx

dyy2x2yxdx

6．设yy(x)是由方程

x2y22xy1确定的隐函数，求dy. 解：两边对

x2y22xy1求导，得：2x2yy2(yxy)0 xyyyxy0，(xy)y(xy)，y1

dyydxdx

7．设yy(x)是由方程exxeyx24确定的隐函数，求dy.

解：两边微分，得：

exdxeydxxeydy2xdx0 exxeydy(exey2x)dx，dyey2xxeydx

8．设

cos(xy)ey1，求dy． 解：两边对

cos(xy)ey1求导，得： (1y)sin(xy)yey0

sin(xy)ysin(xy)yey0

13

[eysin(xy)]ysin(xy)

ysin(xy)eysin(xy)

dyydxsin(xy)eysin(xy)dx

微积分初步形成性考核作业（三）解答（填空题除外）———不定积分，极值应用问题

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．若f(x)的一个原函数为lnx2，则f(x)

xlnx22xc 。 2．若f(x)的一个原函数为xe2x，则f(x) 4e2x 。

3．若f(x)dxxexc，则f(x)

1xex ．

4．若f(x)dxsin2xc，则f(x) 2cos2x ．

(x)dxxlnxc15．若f，则f(x)

x ．

6．若f(x)dxcos2xc，则f(x) 4cos2x ．

7．

dex2dx ex2dx

．

14

(sinx)dx8．

sinxc ．

19．若f(x)dxF(x)c，则f(2x3)dx

2F2x3c ．

10．若f(x)dxF(x)c，则xf(1x2)dx 12F1x2c ．

二、单项选择题（每小题2分，共16分）

1．下列等式成立的是（ ）．

dA．dxf(x)dxf(x) B．f(x)dxf(x) C．df(x)dxf(x) D．df(x)f(x)

解：应选A

2．若f(x)dxx2e2xc，则f(x)（ ）.

A.

2xe2x(1x) B. 2x2e2x C. 2xe2x D. xe2x 解：两边同时求导，得：

f(x)2xe2x2x2e2x2xe2x(1x)，所以应选A 3．若f(x)xx(x0)，则f(x)dx（ ）.

332321A. xxc B. x2xc C. x2xc D. 2x223x2c 解：应选A

15

4．以下计算正确的是（ ）

d3x3xdxdxdxA．

ln3 B．1x2d(1x2)

C．xdx D．

lnxdxd(1x) 解：应选A

5．xf(x)dx（ ）

1A. xf(x)f(x)c B. xf(x)c C. 2x2f(x)c D. (x1)f(x)c

解：xf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dxxf(x)f(x)c，所以应选A

6．

da2xdx=（ ）．

A．a2x B．2a2xlnadx C．a2xdx D．a2xdxc

解：应选C

7．如果等式f(x)e1xdxe1xC，则f(x)（ ）

1111A.x B. x2 C. x D. x2 1解：两边求导，得：

f(x)exe1x11x2，所以f(x)x2，故应选B

三、计算题（每小题7分，共35分）

3x3xsinx1．xdx

16

3x3xsinx解：xdx31xdxxdxsinxdx

33lnx23x2cosxc

2．(2x1)10dx

解：(2x1)10dx12(2x1)10d(2x1)121101(2x1)101c122(2x1)11c

sin1x3．

x2dx

sin1x解：

x2dxsin1d(1)cos1xxxc

4．xsin2xdx

11解：xsin2xdx2xdcos2x2(xcos2xcos2xdx)

12xcos2x14sin2xc

5．xexdx

17

xe解：xdxxdex(xexexdx)xexexc

四、极值应用题（每小题12分，共24分）

1． 设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，

才能使圆柱体的体积最大。

解：设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为60x厘米，以60x厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积V为：

Vx2(60x)，即：V60x2x3

dVdV120x3x20dxdx，令，得：

x0 （不合题意，舍去），x40，这时60x20

由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时，才能使圆柱体的体积最大。

2． 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土

地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？

216解：设矩形的长为x米，则矩形的宽为x米，从而所用建筑材料为：

L2x32168L2xx，即：x

18

dL8dL21622012dxx，令dx得：x18（取正值），这时x

由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省

五、证明题（本题5分）

函数f(x)xex在（,0)是单调增加的．

证明：因为f(x)1ex，当x（,0)时，

f(x)1ex0 所以函数f(x)xex在（,0)是单调增加的．

微积分初步形成性考核作业（四）解答（选择题除外）———定积分及应用、微分方程

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．

11(sinxcos2xx2)dx______.

111x2dx212解：

1(sinxcos2xx2)dx1sinxcos2xdx10x2dx3

22．

(x54xcosx)dx______.2

19

解：

22(x54xcosx)dx2(x54x)dx2cosxdx2202222cosxdx2sinx0

3．已知曲线yf(x)在任意点x处切线的斜率为x，且曲线过(4,5)，则该曲线的方程是 。

33解：由

xdx23x2c得所求的曲线方程由y23x2c确定

352421因为曲线过(4,5)，所以3c，解得：

c3 3y2x21因此所求的曲线方程为

33 4．若11(5x33x2)dx ．

13111解：

1(5x3x2)dx1(5x33x)dx12dx40dx4

5．由定积分的几何意义知，a20a2xdx= 。

a解：由定积分的几何意义知，0a2x2dx就等于圆x2y2a2在第Ⅰ象限的面积，即

1a圆x2y2a2面积的4，因此0a2x2dx14a2

de6．dx1ln(x21)dx .

20

de2ln(x1)dx1解：dx0

7．0e2xdx= ．

0112x2x1102blimedxlimed(2x)lime2xlim(1e)edxbbb22bb02x0解：b 2b8．微分方程yy,y(0)1的特解为 .

dydy解：由yy得dxy，ydx，两边同时积分，得lnyxc

因为y(0)1，所以ln10c，所以c0

从而lnyx，因此微分方程yy,y(0)1的特解为yex

9．微分方程y3y0的通解为 . dy解：y3y0，dx3y0dy，y3dx0，lny3xc1

lnyc13x，yec13x，即yec1e3x

所以微分方程y3y0的通解为yce3x

10．微分方程(y)34xy(4)y7sinx的阶数为 ．

2 21

解：微分方程(y)34xy(4)y7sinx的阶数为4阶

二、单项选择题（每小题2分，共20分）

1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）．

A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4

C．yx22 D．

yx2112．若0(2xk)dx= 2，则k =（ A ）．

1A．1 B．-1 C．0 D．2

3．下列定积分中积分值为0的是（ A ）．

1exexd1exex B．12dx C．(x3cosx)dx D．2A．12x

(xsinx)dx a4．设f(x)是连续的奇函数，则定积分-af(x)dx（ D ）

0A．

2-af(x)dx

B．0-af(x)dxa C．0f(x)dx D． 0

25．

-sinxdx2（ D ）．

A．0 B． C．2 D．2

22

6．下列无穷积分收敛的是（ B ）．

x1A．0exdx

B．0edx C．

1xdx D．

11xdx 7．下列无穷积分收敛的是（ B ）．

2x1A．0sinxdx

B．0edx C．

1xdx D．

11xdx 8．下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程．

A．yx2lnyy B．yyxy2ex C．yxyey D．

ysinxyexylnx9．微分方程y0的通解为（ C ）．

A．yCx B．yxC C．yC D．y0

10．下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ）

dyxydydydyA. dx；

B. dxxyy； C. dxxysinx； D. dxx(yx)

三、计算题（每小题7分，共56分）

ln21．0ex(1ex)2dx

23

ln2ln2ln2解：x(1ex)2d(1ex)1(1ex)38190e(1ex)2dx039033

e152．lnx1xdx

e15lnxe1e解：1xdx1(15lnx)dlnx51(15lnx)d(15lnx)

e 1512(15lnx)21(611110)2 13．0xexdx

111110xex解：

dx0xdexxex00exdxeex0e(e1)1

4．0xsinx2dx

解：0xsinx2dx20xsinx2d(x2)20xdcosx2 

2(xcosxxx2cosdx)20020cos2dx 4xxx 0cos2d(2)4sin240

5．20xsinxdx

24

解：20xsinxdx20xdcosx(xcosx0220cosxdx)

sinx021

y6．求微分方程

yxx21满足初始条件

y(1)74的特解． yep(x)dx解：微分方程的通解为

[q(x)ep(x)dxdxc]

这里

p(x)1x，q(x)x21

代入得微分方程的通解为

y1x(14x412x2c)

将初始条件

y(1)74代入上式，解得c1

1所以微分方程的特解为

yx(14x4122x1)

7．求微分方程

yyx2xsin2x的通解。

yep(x)dx解：微分方程的通解为

[q(x)ep(x)dxdxc]

这里

p(x)1x，q(x)2xsin2x

25

代入得微分方程的通解为yx(cos2xc)

四、证明题（本题4分）

a证明等式af(x)dxa0[f(x)f(x)]dx。

a证明：af(x)dx0aaf(x)dx0f(x)dx

考虑积分0af(x)dx，令xt，则dxdt，从而

00aa

0af(x)dxaf(t)[dt]af(t)dt0f(t)dt0f(x)dxa0a 所以af(x)dxaf(x)dx0f(x)dx

a

f(x)dxaf(x)dxa000[f(x)f(x)]dx

26