.
模拟试题一
一、
填空题（每空 3 分，共 45 分）
P(B) = 0.93,
1、已知 P(A) = 0.92,
P(B| 。
A ) = 0.85, 则 P(A| B) =
。
P(A ∪B)=
2、设事件 A 与 B ， A 与 B 都不发生的概率为
1
9
，A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生
且 A 不发生的概率相等，则 A 发生的概率为： ；
3、一间宿舍内住有 6 个同学，求他们之中恰好有
4 个人的生日在同一个月份的概率：
；没有任何人的生日在同一个月份的概率
；
Aex,
(x)
1/ 4, 0,
x 0 0 x X
4、已知随机变量 X 的密度函数为：
x
2
2, 则常数 A=
,
分布函数 F x 概率 P{ 0.5
1}
；
( )= ,
5、设随机变量 X~ B(2 ，p) 、 Y~ B(1 ， p) ，若 P{ X
1} 5/ 9 ，则 p =
，
；
若 X 与 Y ，则 Z=max(X,Y) 的分布律：
6、设 X ~ B(200,0.01), Y ~ P(4), 且 X 与 Y 相互，则 D(2X-3Y)=
,
COV(2X-3Y, X)=
；
7、设 X1, X 2, , X5 是总体 X ~ N (0,1) 的简单随机样本，则当 k
时，
Y
k( X1 X 2 )
~ t (3)
；
X32 X 42 X 52
8、设总体 X ~ U (0, )
0 为未知参数， X1, X 2,
, X n 为其样本， X
1 n n i
Xi 为
1
样本均值，则 9、设样本 X1, X 2,
的矩估计量为： 。
, X 9 来自正态总体 N (a,1.44) ，计算得样本观察值 x
10 ，求参
数 a 的置信度为 95%的置信区间： ；
二、
计算题（ 35 分）
1、 (12 分) 设连续型随机变量 X 的密度函数为：
.....
.
1
( x) 2
0,
x,
0 x 2 其它
求： 1） P{| 2X 1| 2} ；2） Y
X 2 的密度函数
Y ( y) ； 3） E(2 X 1) ；
2、 (12 分 ) 设随机变量 (X,Y) 的密度函数为
1/ 4, | y | x,0 x
2,
( x, y)
0, 其他
1） 求边缘密度函数
X (x), Y ( y) ；
2） 问 X 与 Y 是否？是否相关？
3） 计算 Z = X + Y
的密度函数
Z ( z) ；
3 、（ 11 分）设总体 X 的概率密度函数为：
x ( x)1
e ,
x 0 ,
0
x 0
X1,X 2, ⋯ ,X n 是取自总体 X 的简单随机样本。
1）求参数
的极大似然估计量
?；
.....
0
.
2）验证估计量
?
是否是参数 的无偏估计量。
三、
应用题（ 20 分）
1、（ 10 分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别
是 3/10 ，1/5 ，1/10 和 2/5 。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是 1/4 ，1/3 ， 1/2 。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？
2．（ 10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过
0.5 ‰ ，假定有害物
质含量 X 服从正态分布。现在取
5 份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：
0.530
‰， 0.542 ‰， 0.510 ‰， 0.495 ‰ ， 0.515 ‰
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定
(
0.05) ？
附表：
u0.975 1.96, u0.95 1.65,t0.975 (4) 2.776,t0.95 (4) 2.132,t0.975 (5) 2.571,t0.95 (4) 2.015
.....
.
答 案（模拟试题一）
四、 填空题（每空 3 分，共 45 分）
1、 0.8286 ， 0.988 ；
2、 2/3
；
3、 C121C 112 ， C126 6! ；
126 12 6
1 ex, x
0
2
4、 1/2,1 x
F( x)=
, 0
x 2 ， P{ 0.5 X 1}
2 4
1,
x 2
5、 p = 1/3
， Z=max(X,Y) 的分布律： Z 0 1 2
P 8/27 16/27 3/27
6、 D(2X-3Y)= 43.92 , COV(2X-3Y, X)= 3.96
；
7、当 k
3 时， Y
k( X1 X 2 )
~ t (3)
；
2
X 32 X42 X52
8、 的矩估计量为： 2X 。
9、 [9.216
， 10.784]
；
五、
计算题（ 35 分）
1、解 1 ） P{| 2X 1| 2} P{ 0.5
X9
1.5}
16
1(
( X
y )X (
y )),
y 0
Y ( y)
2 y
2） 0,
y 0
1 , 0
y
4
4
0,
其它
3） E(2 X 1)
2EX 1 2
4 1 5
3 3
.....
3
1 e 0.5 ； 4 2
；
.
x2、解： 1） X (x)
(x, y)dy
x
1 dy, 4
0
x 2
x ,0
x
2
2 0,
0, 其它
| y | 2
其它
1
2
Y ( y)
(x, y)dx
| y|
4
dx,
1
(2 | y |),
| y | 2
0,
其它
4 0,
其它
2）显然， (x, y) X ( x) Y ( y) ，所以 X 与 Y 不。
又因为 EY=0， EXY=0，所以， COV(X,Y)=0，因此 X 与 Y 不相关。
3 ）
Z (z)
2 z 2
( x, z x) dx
1
dx,
0 z
4
4
0,
其它
n
1
2 8 0,
z ,
0
z 4
其它
3、解 1） L( x , x
12
, , x , )
n
1
i 1
xi e
xi
1 i 1 e
n
n
ln L( x1, x2 , , xn , )
d ln L
令
n ln 0
nx
n nx
2
d
解出：
2 ）
?
X EX
E EX
?
?
是 的无偏估计量。
六、
应用题（ 20 分）
1、（ 10 分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别
是 3/10 ，1/5 ，1/10 和 2/5 。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是 1/4 ，1/3 ， 1/2 。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？
解：设事件 A1，A2，A3，A4 分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机” ，其概率分别等于 3/10 ， 1/5 ， 1/10 和 2/5 ，事件 B 表示“迟到” ，
.....
.
已知概率 P{ B | Ai }, i 1,2,3, 4 分别等于 1/4 ，1/3 ， 1/2 ， 0
4
则 P{ B)P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
23 120
9 23 6 23
P( A1 | B)
P( A1)P(B | A1)
P(B)
P( A3) P(B | A3 )
P( B)
， P(A2
| B)
P( A2) P(B | A2)
P( B)
P( A4 )P(B | A4)
P( B)
8 23
P( A3 | B)
， P(A4
| B)
0
由概率判断他乘火车的可能性最大。
2．（ 10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过 质含量 X 服从正态分布 N (a,
0.5 ‰ ，假定有害物
2
) 。现在取 5 份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：
0.530
‰， 0.542 ‰， 0.510 ‰， 0.495 ‰ ， 0.515 ‰
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定
(
0.05) ？
解：
H 0 : a 0.5 （ ‰ ）， H 1 : a 50.
拒绝域为：
0
{
x0.5
5 t0.95 (4)}
s
0.018
计算 x 0.5184, s
t
x 0.5 s
5 2.2857 t0.95 (4) ，
所以，拒绝 H 0 ，说明有害物质含量超过了规定。
附表：
u0.975 1.96, u0.95 1.65,t0.975 (4) 2.776,t0.95 (4) 2.132,t0.975 (5) 2.571,t0.95 (4) 2.015
.....