矩阵可对角化的若干判定条件

理论广角２０１４年４月（中）　矩阵可对角化的若干判定条件　王鲜华　（新乡职业技术学院，河南新乡４５３０００）　摘要：矩阵可对角化是矩阵理论中一个重要的概念，对于简化矩阵运算以及线性变换、二次型等问题有着重要的作用．本文从多个角度探究、总结了矩阵可对角　化的若干判定条件。并给出了一些例子．　关键词：矩阵；可对角化；相似矩阵；特征向量；线性变换　１．引言　矩阵是高等数学中的一个重要工具，并　且有着广泛的应用．矩阵可对角化即矩阵与　项式在复数域中没有重根，则矩阵　在复数　域中可对角化。　注３：因为特征值的取值与数域有关，　判定条件ｌｌ设Ａ为，ｚ阶方阵，　，（　）＝　￡一Ａｌ是　的特征多项式，并令　’贝　可对角化的充分必要　对角矩阵相似是矩阵论中一个重要概念，是　所以一个矩阵是否可对角化与数域的大小　ｇ（　＝　简化矩阵运算的重要理论。同时，矩阵可对　有关。　角化也是线性变换可对角化、二次型化标准　注４：其中判定条件３、４均仅为矩阵可　条件是ｇ（　）＝０　型等问题中经常遇到并需要解决的一　个关　对角化的充分条件而非必要条件．　判定条件１２设　为Ｐ上，ｚ维线性空　键问题。然而并非任何一个矩阵都可以对角　判定条件５矩阵　可对角化的充分必　间，　∈上（　），　在　的一组基　屯，…，　下　，化，本文将从多个角度出发，较系统地总结　要条件是　的若尔当标准形为对角形。　的矩阵为Ａ，则矩阵Ａ可对角化的充分必要　出矩阵可对角化的判定条件。　判定条件６复数矩阵　可对角化的充　２．矩阵可对角化的若干判定条件　分必要条件是　的初等因子全为１次的。　条件是线性变换　可对角化。　注７：该判定定理其实给出了线性变换　定义ｌ如果，ｚ阶方阵　与对角矩阵相　判定条件７复数矩阵　可对角化的充　可对角化与矩阵可对角化的高度一致性，我　似，则称矩阵　是可对角化的。　分必要条件是　的不变因子都没有重根。　们便可以借助线性变换的不变子空间直和、　（矩阵可对角化定义提供了判定矩阵　判定条件８复数矩阵　可对角化的充分　线性空间的最小多项式等工具判定线性变　可对角化最直接的方法．）　必要条件是　的最小多项式没有重根。　换可对角化，进而判定相应矩阵可对角化。　判定条件ｌ，ｚ阶方阵可对角化的充分　注：判定条件５、６、７、８是从若尔当　当然我们也可以利用判定矩阵可对角化的　必要条件是存在可逆矩阵ｒ，使得Ｔ一１ＡＴ为　标准形的理论推导、初等因子、不变因子、　条件判定矩阵可对角化，进而判定相应线性　对角矩。　最小多项式等角度出发，得到的矩阵可对角　变换可对角化．　判定条件２　阶方阵　可对角化的　化的判定条件。　３．矩阵可对角化的判定条件的一些使　充分必要条件是　有　个线性无关的特征　判定条件９复数矩阵　可对角化的充分　用　向量。　必要条件是Ｃ　可分解为　的特征子空间的　例１　判断矩阵　ｆ　０　０　１可否对　注ｌ：该判定条件是判定矩阵可对角化　直和。　常用的依据，同时，该判定条件为矩阵可对　注５：由该判定条件得：对于具体的，ｚ阶　　．角化的其他判定方法提供了强有力的理论　矩阵Ａ，先求其特征值五，再求（＾　一　；０　ｊ　角化？　基础。　的一个基础解系，把这些基础解系联合起　解由于　一　ｌ＝　一１）（　一２）　，故　注２：当，ｚ阶矩阵Ａ有　个线性无关的　来，其中向量个数小于，ｚ时　不可对角化，　特征向量时，则称矩阵　有完备的特征向量　其中向量个数等于，ｚ时　可对角化。　的特征值为＾：１，　：＾：２。　系：否则，称　为亏损矩阵。因此，该判定条　判定条件１０矩阵　可对角化的充分必　对于　：１，解（　一　）　：ｏ，得一组基础　要条件是　的每一个特征值的几何重复度　解系为　：（０．１，１）一　件的另外一种表述为：　阶方阵Ａ可对角化　等于其代数重复度。　对于五；＾：２，解（２　一　ｈ：０，得一　的充分必要条件是Ａ有完备的特征向量系．　注６：代数重复度和几何重复度相等的　（下转第§７４页）　判定条件３如果　阶方阵　有　个　矩阵为单纯矩阵。因此，矩阵　可对角化的　不同的特征值，则矩阵　可对角化。　充要条件是　为单纯矩阵。　判定条件４如果　阶方阵　的特征多　（上接第２０４页）　缝不平直，热影响区宽．形成稳定熔滴过渡　过程质量评价技术的研究进展及发展趋势．　小，一般结构焊后即可使用，这特别适用于　的Ｃ０　气保焊焊缝成形表面波纹细致、美观，　电焊机，２００３．　薄板焊接。　焊缝平直，热影响区窄．　［３］黄敬尧，施保华．基于人机界面的　（４）焊缝质量高　由于焊缝含氮量　２．由于手工电弧焊所采用的焊条直径　ＰＬＣ控制焊接自动化系统．三峡大学学报：自　少，抗裂性能好，焊接接头的力学性能良好，　远大于ｃＯ　气保焊所采用的焊丝直径，导致　然科学版，２００６．　故焊接质量高。　手工电弧焊的熔宽远大于ＣＯｚ气保焊，因此　［４］胡特生．电弧焊．北京：机械工业出版　（５）操作简便　焊接时可以观察到　焊接方法的不同直接决定了手工电弧焊焊　社。１９９６．　电弧和熔池的情况，故操作容易掌握，不易　缝成形系数大于ｃＯ：气保焊焊缝成形系数．　［５］叶志平．焊接工艺因素对焊缝成形　焊偏，有利于实现机械化和自动化焊接。　３。焊接电流、电压的变化直接影响着　影响的分析．煤矿机械，２００４，　２．Ｃ０２缺点　熔深和熔宽的变化，进而影响焊缝成形系数　［６］邓洪军：《焊接结构生产》．高等教育出版　（１）飞溅较大，并且表面成型较差，这　的变化．ｃＯ。气保焊易于实现对焊接规范的　社，２００９．２．　是主要缺点。　精确控制，利于通过调节焊接规范来获得良　［７］陈淑慧：《焊接方法与设备》，高等教育出　（２）弧光较强，特别是大电流焊接时，　好的焊缝成形：而手工电弧焊焊接规范的控　版社，２００９．３．　电弧的光热辐射均较强。　制受到诸多主客观因素的干扰，不利于得到　［８］李荣雪：《金属材料焊接工艺》。机械工业　（３）很难用交流电源进行焊接，焊接设　成形良好的焊缝。　出版社，２００８．１．　备比较复杂。　参考文献：　［９］陈祝年：《焊接工程师手册》，机械工业出　（４））不能在有风的地方施焊：不能焊　［１］吴林，王麟书，陈善本．我国焊接行　版社，２００２．　接容易氧化的有色金属。　业的现状与发展趋势．第八次全国焊接会议　［１Ｏ］张连生：《金属材料焊接》，机械工业出　结论：　文集第一册．北京：机械工业出版社，１９９７　版社。２００４．　１．手工电弧焊焊缝成形表面粗糙，焊　［２］徐忻，吴毅雄，张勇等．ｃｏ　弧焊　２０５　综合论坛２０１４年４月（中）　浅析办公室档案管理的工作改进与人员素养提高　荆晓霖　（卢氏县疾病预防控制中心，河南卢氏４７２２００）　摘要：本文对新形式下的档案管理工作的改进度人员素养问题提出了自己的建议。　关键词：档案管理；工作改进；人员素养　１对办公室档案管理工作的改进建　议　办公室工作的主要职能是参与政务，管　理事务，搞好服务。而档案管理工作是办公　室“三务”工作的一个重要组成部分，是做　好办公室工作的基础和前提。加强档案规范　化管理，开发和利用档案信息资源，充分发　挥档案在实际工作中的作用，是办公室工作　的一项重要任务。因此，在长期的办公室档　案管理工作中，笔者根据自己的工作经验，　对事业单位中办公室档案管理工作提出几　点改进建议：　ｌ＿１将办公室档案管理工作制度化　建立健全档案管理工作规章制度，实现　档案管理科学化、规范化，是档案管理的保　证。建立健全档案管理的各项规章制度，是　做好档案工作的关键，是开展档案工作的行　为准则。办公室要认真研究档案工作中遇到　的新情况、新问题，根据《档案法》，完善　档案管理“三合一”制度，建立档案员管理　考核制度。同时结合本单位的实际，细化档　案管理的流程，明确档案管理的职责和要　求，使档案管理工作进一步向规范化、标准　化迈进。　１．２办公室档案管理工作要完善硬件资　源　做好档案工作必须有一定的设施保证，　办公室要按标准设置档案库房、阅览室、档　案人员办公室，做到库房、阅览室、办公室　三分开。按照有电脑，有档案柜。有温湿计，　有防火、防潮、防高温器材，有防盗、防火、　防潮、防高温、防尘、防光、防有害气体、　防虫设施等“五有”要求。做好库房的安全　（上接第２０５页）组基础解系为　ａ２＝（Ｏ，ｌ，０）　，口３＝（１，０，１ｙ。　显然，　－口１　为　的三个线性无关的　特征向量，故　可对角化。　　’由该例题可知，判定条件３、判定条件４均　为矩阵可对角化的充分条件而非必要条件。　例２在例１中，矩阵　有两个互异　的特征值１、２，特征值ｌ的代数重复度和几　何重复度相等，均为１；特征值２的代数重　复度和几何重复度相等，均为２。由判定条　件１Ｏ，矩阵　可对角化．　例３用判定条件ｌ１证明判定条件　４（如果，ｚ阶方阵　的特征多项式在复数域　中没有重根，则矩阵　在复数域中可对角　化。）非常简便。　证明因为　阶方阵　的特征多项式　ｒ（　）：Ｉ　一　在复数域中没有重根，由多项　管理工作，这样既为档案管理创造良好的工　作条件，又确保档案运行的完整与安全，也　为档案工作的发展奠定了良好的基础。　１．３推进办公室档案管理方式的电子化　科学技术的进步为档案管理方式方法　的创新提供了条件。电子政务的推行使档案的　归档整理产生了根本性的变革，传统纸质档案　统天下的局面受到冲击。为了适应变革，国　家档案局已颁布了《电子公文归档管理暂行办　法》和《电子文件归档与管理规范》等一系列　法律法规。档案部门必须从当前电子文档形成　的特点出发，采取相应的对策做好电子文档管　理工作。此外，在档案管理从手工操作走向智　能化的趋势下，无论是档案载体，还是档案的　收集、整理、保管、利用等工作实践，无不渗　透着＾类科技进步的成果。　２办公室档案管理工作人员素养的　提高　２１世纪是知识经济时代，是信息时代。　经济的发展必然会丰富档案内容，不断出现　的新载体和现代化管理手段如计算机、互联　网等的应用，让办公室档案管理工作面临着　机会，也面临着诸多困难。办公室档案管理　工作的顺利开展，离不开档案管理人员的高　素养。作为一名路政大队的办公室档案工作　人员，笔者认为可以通过以下几点来提高档　案管理工作人员的素养：　２．１从选人源头把好关　在选配档案工作人员时，要认真坚持德　才兼备的标准，特别是在道德品质方面，要　挑选那些爱岗敬业、公道正派乐于奉献一　遵纪守法、保密观念强的同志从事人事档案　工作。要定期进行业务培训，上级业务主管　一部门应定期举办相关知识培训班，组织档案　管理人员学习上级文件，了解业务知识，交　流工作经验和心得，以适应形势发展的要　求。要鼓励档案管理人员加强进修学习，提　高专业素质，解决“半路出家”、专业性不　强的问题。　２．２培养强烈的责任意识　２．２．１有平常心档案管理人员任务重、　要求严、责任大，工作没有前台的辉煌，只　有后台的艰辛；没有显赫的名位，只有无私　的奉献。这些要求工作人员发扬“老黄牛”　的精神，勤勤恳恳，任劳任怨，置个人得失　于度外，力求达到“淡薄以明志，宁静以致　远”的崇高境界。　２．２．２有上进心档案工作者只有保持旺　盛的学习上进心，不断从学习中汲取营养，　才能更好地适应形势发展的需要。在“学习　实践一提高”的循环往复中使档案管理工　作始终保持蓬勃的生机和活力，不断开创档　—案工作新局面。　３人员的知识结构　３．１要有扎实的信息理论知识和相关知　识。档案工作者必须掌握信息管理和文件、　图书、情报等领域的基本理论和专业管理技　能，才能应对面临的挑战。　３．２要熟悉当代法律知识，并掌握　管理科学的基本知识。　３．３要不断提高自己的计算机水平。事　业单位档案标准和规范本身是一个系统工　程，必须推进事业单位档案数字化和电子化　建设，这就需要档案管理人员要有熟练的计　算机操作技术，充分利用网络资源，不断提　高自己档案管理的水平。　因子、最小多项式、线性变换等多个方面联　要条件是，（　）与ｆ　（　）互素，可知，　‘，　‘　＃　）ｚ　：　义　：　＝　：　＝，　）　系起来。通过系统的分析，循序渐进，便于　掌握和灵活运用矩阵可对角化的判定。　参考文献：　ｇ（　）　，（　）：０（哈密顿一凯莱定理）由判定　条件ｌ１，矩阵　可对角化。　由该例题我们看到，矩阵可对角化的不同判　定条件之间相互融通．　例４设　为数域Ｐ上的一个，ｚ阶方　阵，且满足　：Ａ，证明：Ａ可对角化　证明：（用判定条件８证明）令　，（　＝　一＾，ｊ＾ｌｕ，　）＝Ａ　－Ａ＝Ｏ，　【１】徐仲。陆全，张开院等．高等代数导教・导　学・导考【＾　．西安：西北工业大学出版社（第三　版）。２０１１．３７７—３８７．　【２１严谦泰，王澜峰等．高等代数考点综述与问题　探讨［Ｍ】．北京：国防工业出版社，２００９．８．　［３】方保镕，周继东，李医民．矩阵论［Ｍ】．北京：清华　大学出版社。２００４．４８－５３．　【４】杨子胥．高等代数习题解下册【Ｍ】．济南：山东　科学技术出版社（修订版）。２００１．２５８－２８２．　【５】赵礼峰．高等代数解题法【Ｍ】．合肥：安徽大学　出版社，２００４．１８２—１８５．　ｆ６】李师正＿高等代数解题方法与技巧【Ｍ】．北京：　高等教育出版社，２００４．２２８—２３０．　因此　的最小多项式整除ｒｍ），因为，（　）无　重根，故　的最小多项式无重根，所以矩阵　可对角化。　４．结语　本文归纳总结了矩阵可对角化的十二　个判定条件，把矩阵可对角化问题与特征向　量、特征值、特征子空间、不变因子、初等　式理论：多项式ｒｒ　没有重因式的充分必　３７４