-、勾股定理：
a, b，斜边长为c,那么 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为
a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
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a, b , c有下面关系：a2+ b2 c2，那么这个三角形是直角 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
三角形
2.勾股数：满足a2+ b2= c2的三个正整数叫做勾股数(注意：若 a , b , c、为勾股数，那么ka , kb , kc同
样也是勾股数组。)
* 附：常见勾股数：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,13 3.判断直角三角形：如果三角形的三边长 a、b、c满足a2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。 (经典
直角三角形：勾三、股四、弦五)
其他方法：(1)有一个角为90 °的三角形是直角三角形。 (2)有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： (1 )确定最大边(不妨设为 c)；
(2)若c2= a2+b2」UMBC是以/C为直角的三角形;
若a2+ b2< c2,则此三角形为钝角三角形(其中 c为最大边)；
若a2+ b2>c2,则此三角形为锐角三角形(其中 c为最大边)
4. 注意：(1 )直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(3 )在直角三角形中，如果一条直角边等于 斜
边的一半，那么这条直角边所对的角 等于
30 °。
5. 勾股定理的作用：
(1 )已知直角三角形的两边求第三边。
(3 )用于证明线段平方关系的问题。
(4)利用勾股定理，作出长为 n的线段
6. 2、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
(2 )已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
B
b
C
a = n27、错误的描述方法: “当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
勾股定理：
(一)结合三角形:
2 2
1. 已知 ABC的三边a、b、c满足(a b) (b c) 0，贝U ABC为 _____________________________ 三角形
2
2. 在 ABC 中，若 a = ( b+c)( b-c),贝U ABC 是 _________________ 三角形，且 __________ 90
3. 在 ABC 中，AB=13 ，AC=15，高 AD=12，贝U BC 的长为 _________________ 4. 已知x 12 x y 25与z2
10z 25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的
12
，b=2 n，c = n
5、.已知：在
ABC中，三条边长分别为 a、b、c 1 ( n >1 )
试说明：
C= 90
2 2 2
6.若 ABC的三边a、b、c满足条件a b
c 338 10a 24b 26c，试判断
ABC的形状 形状。
7.已知 Ja 6 2b 8 (c 10)2
0,则以a、b、c为边的三角形是 ______________
(二)、实际应用:
梯子滑动问题：
(1) 一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底
0.7 m (如图)，如果梯子的顶端沿
1. 墙下滑0.4 m，那么梯子底端将向左滑动 ___________ 米
第3题图
A、
第1题图
（2） 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8米，如果梯子的顶
端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 ____________ 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）
（3） 如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC丄BC，AC=BC，当梯子的顶端 A沿AC方向下滑x米时，梯足B 沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（ A. X+y
B. x>y
C. x < y
）
D.不能确定
1 m，当他把绳子的下端拉开 5米
（4） 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多
求证：（1）
1
1
a (2 )a b(3 )以a
b2 hchbh，
，
后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米
2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系:
直角三角形两直角边长为 a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（
■ 1 2
2 . 2 …2
CD=h
)
A. ab b
B. a b 2h
C. 一
1 a
变：
1 1 — — b h
1 1 D.22 a b
1 h2
如图，在 Rt △ABC 中，/ ACB=90 °,CD 丄 AB
试一试：（1） 只需证明
1
h ( 2
a
2
1
）1，从左边推到到右边 2b
2 .2
(2) a b c h 为三边的三角形是直角三角形
(3)
2
a h 2 h2 c h ，注意面积关系ab ch的应用
3. 爬行距离最短问题:
1. 如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 在盒子的内部有一只昆虫乙 （盒 壁的忽略不计）
10cm ,得到C1处有一只昆虫甲，
（1）假设昆虫甲在顶点Ci处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱 BBl的中点E,再连结AE、ECi， 昆虫乙如果沿途径 A E
C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，
并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点 A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。 （2）如图b，假设昆虫甲从点 C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿 C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点 A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？
试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点 沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行， 利用勾股定理建立时间方程，通过比较得岀昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间
2. 如图，一块砖宽 AN=5 cm，长ND=10 cm，CD上的点F距地面的高FD=8 cm，地面上A处的一只蚂蚁 到B处吃食，要爬行的最短路线是 ____________ cm 3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
20 dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两
相对的端点，A点有一只昆虫想到 B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 B点的最短路程是 ______________ 分 米？
4. 如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体表面从点 A爬到点B，则它走过的路程最短为（
A. . 3a
B. 1
）
、2 a C. 3a D. . 5a
B
5、如图，壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正上方油罐上边 缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿
要爬行多少路程才能捕到害虫 ？（n取3）
6、如图为一棱长为 3cm的正方体，把所有面都分为 爬行2cm，则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的
9个小正方形，其边长都是 B点，最少要花几秒钟?
1cm，假设一只蚂蚁每秒
条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击•结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐•请问壁虎至少
7葛藤是一种钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招, 就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线一盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？ 如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
如果树的周长为3 cm，绕一圈升高4cm，则它爬行路程是多少厘米？
如果树的周长为8 cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行 高多少厘米？
10圈到达树顶，则树干
8、如图，A、B是笔直公路I同侧的两个村庄， 且两个村庄到直路的距离分别是
300m和500m，
2
两村庄之间的距离为 d（已知d2=400000m ），现要在
公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最 小。冋最小是多少?
4、实际问题
1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着
面的高度是 __________ 米。
2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 丁3米，则这两株树之间的垂直距离是 ______________ 米，水平 距离是 _________ 米。
45度的坡路走了 500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地
3. _____________ 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离 是 。 4.
使AC垂直江岸，测得 BC = 50
如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C两点，在江对岸取一点 A，
米，/B = 60 °，则江面的宽度为 ______________ 。
离为80米，假使拖拉机行驶时，周围 100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向
18千米/小时，那么学校
行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 受到影响的时间为多少?
5、如图，公路 MN和公路PQ在P点处交汇，点 A处有一所中学，AP=160 米，点A到公路MN的距
5、求边长:
一 0 0
1.
AD=3 , AB=4 , BC=12，求 CD
如图所示，在四边形 ABCD 中，/BAD=90
，/DBC=90 ,
6、方向问题:
1.
有一次，小明坐着轮船由 A点出发沿正东方向 AN航行，在A点望湖中小岛 M，测得/MAN = 30 当他到B点时，测得/ MBN = 45 °,AB = 100米，你能算出 AM的长吗？
2.
向正东方向航行
⑴ 此时轮船离开岀发点多少 km?
一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行 8 km，接着，它又掉头15千米.
⑵若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升
？
7、折叠问题:
1.如图，矩形纸片 ABCD的长AD=9
的长是多少？
cm，宽 AB=3 cm, DE
2. 如图，在长方形 ABCD中，将△ABC沿AC对折至
△AEC位置，CE与AD交于点F。
(1 )试说明：AF=FC ; (2 )如果 AB=3，BC=4，求 AF 的长
3. 如图，在长方形 ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点 E,沿直线 AE把AABC折叠，使点 D恰好在
BC边上，设此点为
尸，若厶ABF的面积为30，
4. 如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边 现
将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边 你能求出CD的长吗？
5. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6 , BC=8，将△ABC折叠，使点B与点 A重合，折痕为DE，则CD等于（ A.
）
25 4
B. C.
22 3
7 4
5
6、 如图，矩形纸片
3
点，将矩形纸片沿 的ABCD 的边 AB=10cm ，BC=6cm ，E 为 BC 上一 长.
AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE
8、利用勾股定理测量长度
如图，水池中离岸边 D点1.5米的C处，直立长 着一根芦苇，出水部分 BC的长是0.5米，把芦苇 拉到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，并求水池 的深度AC.
1、如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=
9、旋转问题
求△ABC的边长。
2 ■
3 ,PC=4,
2、如图 1-3-11 ,有一块塑料矩形模板 ABCD ,长为8cm ,宽为4cm ,将你手中足够大的直角三角板 PHF
的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角
板顶点 ①能否使你的三角板两直角边分别通过点 B与点C?若能，请你求出这
时 AP的长；若不能，请说明理由 ②再次移动三角板位置，使三角板顶点 P在AD上移动，直角 边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点 Q，与BC交于点E,能否使CE=2cm ?若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请你说明理由.
3、如图，正方形 ABCD中，E是BC边上的中点,
角形吗？为什么？
1
F是AB上一点，且FB AB4
，那么△ DEF是直角三