2019 年河南省实验中学中考数学一模试卷（备用卷）
副标题
题号 得分
一、选择题（本大题共 1.
10 小题，共 30.0 分）
）
一
二
三
四
总分
-3 的绝对值的相反数是（
A.-3
2.
B.3 C. D.
我国采取“一箭双星”方式， 成功发射了北斗三号导航卫星第三、 四颗组网卫星． 这
两颗卫星上均装载了我国自行研制的一台铷原子钟和一台氢原子钟． 度大约 1000 万年才误差一秒，将数据
1000 万用科学记数法表示为（
其中氢钟的精
）
A. 10×107
3.
B. 1×107 C. 0.1 ×107
）
D. 1000 ×104
将图（ 1）的正方体用阴影部分所在的平面切割后，剩 下如图（ 2）所示的几何体， 则该几何体的俯视图为 （
A. B.
C.
D.
4.
不等式组 的整数解有（ ）
A.6个
5.
B.5个 C.4个 D.3个
将一副直角三角板按如图所示方式摆放在一起，其中，∠ABC=∠MAN=90 °， ∠BAC =45 °， ∠N=30 °，若 MN ∥BA，则 ∠CAM 的度数为（ ）
A. 10°
6.
B. 15° C. 20° D. 30°
规定：“上升数”是一个右边数位上的数字比左边数位上的数字大的自然数（如 23，567， 3467 等）．一不透明的口袋中装有 3 个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字 1， 2， 3，从袋中随机摸出 1 个小球（不放回），其上所标数字作为十位上的数字，再随机摸出 1 个小球，其上所标数字作为个位上的数字，则组成 的两位数是上升数的概率为（）
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A.
B. C.
B， C
D.
7.
如图，在 △ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 为圆心，以大于
BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点
M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD ．如果 CD =AC， ∠ACB =105 °，那么 ∠B 的度数为（
）
A. 20°
8.
B. 25° C. 30° D. 35°
如图，四边形 ABCE 内接于 ⊙ O，∠DCE =50 °，则 ∠BOE=（ ）
A. 100 ° B. 50° C. 70° D. 130 °
9.
如图，点 A（ m，5）， B（ n，2）是抛物线 C1：y= x2-2x+3 上的两点，将抛物线
C1 向左平移，得到抛
A'， B'．若曲
物线 C2，点 A， B 的对应点分别为点 物线 C2 的解析式是（
）
线段 AB 扫过的面积为 9（图中的阴影部分） ，则抛
A. y= （ x-5）2+1
B. y= （ x-2） 2+4
C. y= （ x+1） 2+1
D. y= （ x+2） 2-2
10. 如图，正方形 ABCD 的边长为 ，对角线 AC 和 BD 交于
点 E，点 F 是 BC 边上一动点（不与点 B，C 重合），过
点 E 作 EF 的垂线交 CD 于点 G，连接 FG 交 EC 于点 H．设 BF=x，CH =y，则 y 与 x 的函数关系的图象大致是 （
）
A.
B.
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C.
D.
二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分）
11. 计算：（ -1） -2-=______．
12. 一元二次方程 x2 -4x+3=0 的根为 ______．
13. 在 ?ABCD 中，点 O 是对角线 AC、BD 的交点， AC 垂
直于 BC，且 AB=10cm，AD=8cm，则 OB=______ cm．
14. 如图，将半径为 1 的半圆 O，绕着其直径的一端点
A 顺时针旋转 30 °，直径的另一
______．
端点 B 的对应点为 B'， O 的对应点为 O' ，则图中阴影部分的面积是
15. 如图，在 Rt△ABC 中，AB =3，BC=4，点P 为 AC 上一点，过点 P 作 PD⊥BC 于点 D，
将 △PCD 沿 PD 折叠，得到 △PED ，连接 AE．若 △APE 为直角三角形， 则 PC=______．
三、计算题（本大题共
1 小题，共 8.0 分）
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16. 先化简代数式 ÷（ + ），然后再选取一个你喜欢的数作为 x 的值代入求值．
四、解答题（本大题共 7 小题，共 67.0 分）
A．由父
20%，并将
17. 为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：
母一方照看； B．由爷爷奶奶照看； C．由叔姨等近亲照看； D．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级， 发现该班留守学生数量占全班总人数的调查结果制成如下两幅不完整的统计图．
（ 1）该班共有 ______ 名留守学生， B 类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为 ______；
（ 2）将条形统计图补充完整；
（ 3）已知该校共有 2400 名学生，现学校打算对 D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？
18. 如图，AB 为 ⊙ O 的直径，点 C 为 AB 上方的圆上一动点，
过点 C 作 ⊙ O 的切线 l ，过点 A 作直线 l 的垂线 AD，交
⊙O 于点 D ，连接 OC， CD，BC ，BD ，且 BD 与 OC 交 于点 E．
（ 1）求证： △CDE≌△CBE； （ 2）若 AB=4 ，填空： ①当
的长度是 ______时， △OBE 是等腰三角形；
②当 BC=______ 时，四边形 OADC 为菱形．
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19. 如图，大楼 AC 的一侧有一个斜坡，斜坡的坡角为
30°．小明在大楼的 B 处测得坡面底部 E 处的俯角为 33°，在楼顶 A 处测得坡面 D 处的俯角为 30°．已知 坡面 DE =20m，CE=30m，点 C，D，E 在同一平面内， 求 A， B 两点之间的距离．（结果精确到
1m，参考
数据： ≈1.73，sin33 °≈ 0.，54cos33°≈ 0.84，tan33 °≈ 0.）65
20. 如图，网格线的交点称为格点．双曲线
y= 与直线 y=k2x 在第二象限交于格点 A．
（ 1）填空： k1=______， k2=______；
（ 2）双曲线与直线的另一个交点B 的坐标为 ______，在图中标出来；
（ 3）在图中仅用直尺、 2B 铅笔画 △ABC，使其面积为 2|k1|，其中点 C 为格点．
21. 某超市销售一种商品，成本每千克
80 元，经市场调查，每天的销售量 关系，部分数据如下表： 售价 x（元 /千克） 销售量 y（千克）
50
40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 y（千克）与每千克售价
60 80
x（元）满足一次函数
70 60
=收入 -
100
（ 1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （ 2）设商品每天的总利润为 成本）；
W（元），求 W 与 x 之间的函数表达式（利润
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（ 3）试说明（ 2）中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
22. 观察猜想
（ 1）如图①，在 Rt△ABC 中， ∠BAC=90°， AB=AC=3，点 D 与点 A 重合，点 E 在边 BC 上，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90°得到线段 DF，连接 BF，BE 与 BF 的位置关系是 ______，BE +BF=______； 探究证明
（ 2）在（ 1）中，如果将点 D 沿 AB 方向移动，使 AD =1，其余条件不变， 如图②，判断 BE 与 BF 的位置关系，并求 BE+BF 的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸
（ 3）如图③，在 △ABC 中， AB=AC，∠BAC=a，点 D 在边 BA 的延长线上， BD=n，连接 DE ，将线段 DE 绕着点 D 顺时针旋转，旋转角 ∠EDF =a，连接 BF ，则 BE+BF 的值是多少？请用含有
n， a 的式子直接写出结论．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A， C（ 1， 0），与 y 轴交
于点 B（ 0， -3）． （ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点，过点 交直线 AB 于点 E，作 PD⊥AB 于点 D ．
①当 △PDE 的周长最大时，求出点 P 的坐标； ②连接 AP，以 AP 为边在其右侧作正方形 小、位置也随之改变．则当顶点 出点 P 的坐标．
APMN ，随着点 P 的运动，正方形的大
M 或 N 恰好落在抛物线的对称轴上时，请直接写
P 作 x 轴的垂线，垂足为点
F ，
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答案和解析
1.【答案】 A
【解析】
解：-3 的绝对值为 ：|-3|=3，
3 的相反数 为：-3，
所以 -3 的绝对值的相反数是 为：-3，
故选：A．
根据绝对值的定义，这个数在数 轴上的点到原点的距离， -3 的绝对值为 3；根
据相反数的定 义，只有符号不同的两个数是互 为相反数，3 的相反数 为 -3，进而得出答案即可．
此题考查了绝对值及相反数，关键明确：相反数的定义，只有符号不同的两个
数是互为相反数；绝对值的定义，这个数在数 轴上的点到原点的距离．
2.【答案】 B
【解析】
7
解：1000 万用科学 记数法表示 为 1×10，
故选：B．
科学记数法的表示形式 为 a×10 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的
n
值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移 动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时，n 是负数．
n
此题考查科学记数法的表示方法．科学 记数法的表示形式 为 a×10的形式，其
中 1≤|a|＜ 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
3.【答案】 B
【解析】
解：由题意知，该几何体的俯 视图如下：
故选：B．
根据俯视图是从上面看到的 图形判定则可．
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本题考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的
视图得出是
解题关键．
4.【答案】 C
【解析】
解：解不等式 5x+9＞1，得：x＞- ，
解不等式 1-x＞2x-8，得：x＜3，
则不等式组的解集为-
＜x＜3，
所以不等式 组的整数解 为 -1、0、1、2，
故选：C．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式 组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式 组，注意要遵循以下原 则：同大取较大，同小取
较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
5.【答案】 B
【解析】
解：∵∠ABC= ∠MAN=90° ，∠N=30°， ∴∠M=60°， ∵MN ∥BA ，
∴∠M= ∠BAM=60°，
∴∠CAM= ∠BAM- ∠BAC=60°-45 °=15 °， 故选：B．
依据平行 线的性质，即可得到∠M= ∠BAM=60° ，再根据∠CAM= ∠BAM- ∠BAC 进行计算即可．
本题考查了平行线的性质的运用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直
线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来 寻找角的数量关系．
6.【答案】 C
【解析】
解：画
树状
图为
：
共有 6 种等可能的 结果数，其中组成的两位数是上升数的 结果数为 3，
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所以组成的两位数是上升数的概率 = = ．
故选：C．
画树状图展示所有 6 种等可能的 结果数，找出组成的两位数是上升数的 结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与 树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的 结果
求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式 计算事
件 A 或事件 B 的概率． 7.【答案】 B
【解析】
解：由题意可得：MN 垂直平分 BC，
则 DC=BD ，
故 ∠DCB=∠DBC ， ∵DC=AC ，
∴∠A= ∠CDA ，
设 ∠B 为 x，则∠BCD=x ，∠A= ∠CDA=2x ，
可得：x+2x+105°=180°， 解得：x=25， 即 ∠B=25°， 故选：B．
利用线段垂直平分 线的性质得出 DC=BD ，再利用三角形外角的性 质以及三角形内角和定理得出即可．
此题主要考查了基本作 图以及线段垂直平分 线的性质，得出∠A= ∠CDA 是解
题关键．
8.【答案】 A
【解析】
解：∵四边形 ABCE 内接于 ⊙O，
∴∠A= ∠DCE=50°，
由圆周角定理得，∠BOE=2∠A=100°，
故选：A．
根据圆内接四边形的性质求出 ∠A ，根据圆周角定理 计算即可．
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本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意
一个外角等于它的内 对角是解题的关键．
9.【答案】 C
【解析】
2y= x 2 解： -2x+3= （x-2 ）+1．
∵曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中的阴影部分），点A （m，5），B（n，2）
∴3BB′ =9，
∴BB′ =3，
即将函数 y=
（x-2）+1 的图象沿 x 轴向左平移 3 个单位长度得到一条新函数
2
的图象，
2
∴新图象的函数表达式是 y= （x+1）+1．
故选：C．
由题意知，图中阴影部分的面 积是平行四 边形的面积，根据点 A 、B 的坐标求
得该平行四边形的一高 为 3，结合平行四 边形的面积公式求得底 边长为 3，即
平移距离是 3，结合平移规律解答．
此题主要考查了二次函数 图象与几何 变换以及平行四 边形面积求法等知 识，
根据已知得出 线段 BB′的长度是解题关键 ．
10.【答案】 A
【解析】
解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠EBF=∠ECG=45°，AC ⊥BD ，EB=EC， ∵EF⊥EG，
∴∠BEC=∠FEG=90°， ∴∠BEF=∠CEG，
∴△BEF≌△CEG（ASA ）， ∴EF=EG，
∴∠EFG=45°，
∵∠EFC=45°+∠CFH=45°+∠BEF， ∴∠CFH=∠BEF， ∴△BEF∽△CFH， ∴
=
， ，
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∴ =
2
∴y=-x + x（0＜x＜ ），
证明△BEF∽△CFH ，可得
= ，由此构建函数关系式即可解决 问题．
本题考查动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性 质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】 4
【解析】
解：原式=1+3 =4．
故答案为：4．
直接利用 负指数幂的性质以及立方根的性 质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解 题关键．
12.【答案】 x1=1 ， x2=3
【解析】
2
解：x-4x+3=0
因式分解得，（x-1）（x-3）=0，
解得，x1=1，x2=3．
故答案为：x1=1，x2=3．
根据所 给方程的系数特点，可以利用十字相乘法 对方程的左 边进行因式分解，然后利用因式分解法解答．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通 过移项把等式的右 边化为 0
后，方程的左边能因式分解 时，一般情况下是把左 边的式子因式分解，再利
用积为 0 的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种
简便方法，要会灵活运用．
13.【答案】
【解析】
解：∵四边形 ABCD 是平行四 边形，
∴BC=AD=8cm ，OB=OD ，OA=OC， ∵AC ⊥BC，
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∴AC=
=
=6（cm），
∴OC= AC=3cm，
∴OB=
= ．
=
（cm）；
故答案为：
根据平行四 边形的性质得到 BC=AD=8cm ，根据勾股定理求出 AC ，得出 OC，再由勾股定理求出 OB 即可．
本题考查了平行四 边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四 边形的性质，由勾
股定理求出 AC 得出 OC 是解决问题的关键．
14.【答案】 -
【解析】
解：连接 O′D、B′D，
∵∠B′ AB=30，° ∴∠AO′ D=120，°
∵AB′是半圆 O′的直径，
∴∠ADB′ =90，°又∠B′ AB=30，°
∴B′ D= AB′ =1，
由勾股定理得， AD=
= ，
图 积
∴ 中阴影部分的面 =（
- ×1× ）+（
- ×1× ×）
= -，
故答案为：
-
．
连接 O′D、B′D，根据旋转变换的性质求出 ∠B′AB，根据等腰三角形的性 质求
出 ∠AO′D，根据勾股定理求出 AD ，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
题查积计转质积题本考 的是扇形面 算、旋 的性，掌握扇形面公式是解 的关
键．
15.【答案】
【解析】
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解：当∠AEP=90°时，
设 PC=x，在 Rt△PDC 中，sinC=
，cosC= ，
所以 PD=
，CD= ．
∵△PCD 沿 PD 折叠，得到△PED， ∴DE=CD=
．
=
．
∴BE=BC-CE=4-
在 △ABE 和△EDP 中，∠B=∠PDE，
∠BAE+ ∠AEB=90°，∠PED+∠AEB=90°， ∴∠BAE= ∠PED． ∴△ABE ∽△EPD． ∴
故答案为
，即 ． 时 设
，解得 x= ．
质 或三角函数用 x 表示出 PD、
∠
证
DC、DE， 明△ABE ∽△EPD，列比例式求出 x 即可．
本题主要考查折叠的性 质、勾股定理、相似三角形的判定和性 质及解直角三
角形． 16.
【答案】 解：原式 = = =
÷
? ，
x≠±1且 x≠0，
由分式有意义的条件可知： 当 x=3 时，原式
=1．【解析】
根据分式的运算法 则即可求出答案．
题查则题键练则题本考 分式的运算法 ，解的关是熟运用分式的运算法 ，本属
于基础题型．
17.【答案】 10 144
【解析】
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解：（1）2÷20%=10（人），
×100%×360°=144°，
故答案为：10，144；
（2）10-2-4-2=2（人），
如图所示：
（3）2400×
=480（人），
答：估计该校将有 480 名留守学生在此关 爱活动中受益．
（1）依据C 类型的人数以及百分比，即可得到 该班留守的学生数量，依据 B 类
型留守学生所占的百分比，即可得到其所在扇形的 圆心角的度数；
（2）依据D 类型留守学生的数量，即可将条形 统计图补 充完整；
（3）依据D 类型的留守学生所占的百分比，即可估 计该校将有多少名留守学
生在此关 爱活动中受益．
本图
题考
查
的是条形
统计图
和扇形
统计图
的
综
合运用．
读懂
统计图
，从
统计
中得到必要的信息是解决 问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个 项目的数据．
18.【答案】
【解析】
2
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（1）证明：如图 1，延长 AD 交直线 l 于点 F，
∵AD 垂直于直 线 l ，
∴∠AFC=90°，
∵直线 l 为⊙O 切线，
∴∠OCF=90°， ∴AD ∥OC，
∵AB 为⊙O 直径，
∴∠ADB=90°， ∴∠OEB=90°， ∴OC⊥DB ，
∴DE=BE，∠DEC=∠BEC=90°，又 ∵CE=CE，
∴△CDE≌△CBE（SAS）； （2）① 如图 2，连接 OD，
当 △OBE 是等腰三角形 时，
由（1）知∠OEB=90°，
∴△OEB 为等腰直角三角形，
∵∠BOE=45°，
∵OD=OB ，OE⊥BD ， ∴∠DOC=∠BOE=45°， ∵AB=4 ，∴OD=2， ∴
=
= ，
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故答案为： ；
② 当四边形 OADC 为菱形时，
AD=DC=OC=AO=2 ，
由（1）知，△CDE≌△CBE， ∴BC=DC， ∴BC=2， 故答案为：2．
（1）先证明 OC⊥DB ，然后利用垂径定理，得到 DE=BE，∠DEC=∠BEC=90°，又
因为 EC=EC，即可证出 △CDE≌△CBE；
（2）① 先证明△OBE 为等腰直角三角形，得到 ∠BOE 为 45°，连接 OD，再用三
线合一定理求出 ∠DOC=45° ，用弧长公式即可求出 结果；
② 由菱形的性 质可推出 DC=AO=2 ，由△CDE≌△CBE，可知 CB=CD=2 ．
本题考查了圆的相关性 质，等腰直角三角形的性 质，弧长公式，菱形的性质
等，解答本题的关键是熟练掌握圆的相关性 质．
19.【答案】 解：过 D 作 DF ⊥CE 于 F， DG ⊥AC 于 G，
则四边形 DGCF 是矩形， ∴CG=DF ， DG =CF ，
在 Rt△DFE 中， ∵∠DEF =30°， DE =20 ， ∴DF = DE=10 ， EF= DE =10 ， ∴CG=DF =10 ，DG=CF=CE+EF =30+10
，
在 Rt△CEB 中， ∵∠BEC=33°， CE=30 ， BC=CE tan33 =30° ×0.65=19.5
， ∴ ?
∴BG=BC -CG=9.5，
在 Rt△ADG 中， ∵∠ADG=30°， DG=30+10 ，
∴AG=
=
≈ 27.m5，
∴AB=18m，
答： A，B 两点之间的距离为 【解析】
18m．
过 D 作 DF⊥CE 于 F，DG⊥AC 于 G，则四边形 DGCF 是矩形，根据矩形的性 质得到 CG=DF，DG=CF，解直角三角形即可得到 结论 ．
此题是解直角三角形的 应用--仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定 义，
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能够正确地构建出直角三角形，将 实际问题 化归为解直角三角形的 问题是解
答此类题的关键．
20.【答案】 -2 -2
【解析】
（ 1， -2）
解：（1）
由图直
接可得 A （-1， 2），
将点 A （-1，2）
分别代
入双曲
线 y= 和直线 y=k2x，可得 k1=-2，k2=-2，
（2）因为双曲线与正比例函数都是中心 对称图形，
由对称性可知，它们的另一个交点于点
A（-1，2）关于坐标原点对称，
∴另一交点（1，-2）；
图中 B 点即是．
（3）∵k1=-2，
∴2|k1|=4，
∴满足条件的点 C 有四个，如图所示．
（1）由待定系数，将点A （-1，2）代入两个表达式，直接可求．
（2）利用双曲线与正比例函数都关于坐 标原点对称，所以交点也关于原点 对
称，利用对称性直接求点 B．
（3）在网格中直接找到 C 点．
查识对结对
考知 点：待定系数法确定函数解析式；函数的称性，合点的称性，
求交点坐 标．解题关键，熟练掌握正比例函数和反比例函数 图象特点，注意
数形结合思想的 应用．
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21.
【答案】 解：（ 1）设 y 与 x 之间的函数解析式为 y=kx+b（ k≠0），
，
得 ，
即 y 与 x 之间的函数表达式是 （ 2）由题意可得，
y=-2x+200；
W=（ x-40 ）（ -2x+200） =-2 x +280x-8000 ，
2
2
即 W 与 x 之间的函数表达式是 W=-2x+280 x-8000 ；
（ 3） ∵W=-2x2+280 x-8000=-2 （ x-70） 2+1800， 40≤x≤ 80，
∴当 40 ≤x≤ 70时， W 随 x 的增大而增大，当 70 ≤x≤ 80时， W 随 x 的增大而减小，当 x=70 时， W 取得最大值，此时 W=1800，
答：当 40≤x≤70时， W 随 x 的增大而增大，当 70≤x≤80时， W 随 x 的增大而减小，售价 为 70 元时获得最大利润，最大利润是 【解析】
1800 元．
（1）根据题意可以设出 y 与 x 之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可
求得 y 与 x 之间的函数表达式；
（2）根据题意可以写出 W 与 x 之间的函数表达式；
（3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每千克
40 元，
规定每千克售价不低于成本，且不高于 80 元，即可得到利润 W 随售价 x 的变
化而变化的情况，以及售价 为多少元时获得最大利 润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的 应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解
析式，利用二次函数的性 22.【答案】 BF⊥BE BC
【解析】
质
和二次函数的
顶
点式解答．
解：（1）如图① 中，
∵∠EAF=∠BAC=90°， ∴∠BAF= ∠CAE ， ∵AF=AE ，AB=AC ， ∴△BAF ≌△CAE，
∴∠ABF= ∠C，BF=CE，
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∵AB=AC ，∠BAC=90°， ∴∠ABC= ∠C=45°，
∴∠FBE=∠ABF+ ∠ABC=90°，BC=BE+EC=BE+BF ，故答案为 BF⊥BE，BC．
（2）如图② 中，作DH ∥AC 交 BC 于 H．
∵DH∥AC，
∴∠BDH= ∠A=90 °，△DBH 是等腰直角三角形， 由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE=BH ， ∵AB=AC=3 ，AD=1 ， ∴BD=DH=2 ， ∴BH=2 ，
∴BF+BE=BH=2 ；
（3）如图③ 中，作DH∥AC 交 BC 的延长线于 H，作DM ⊥BC 于 M．
∵AC ∥DH，
∴∠ACH= ∠H，∠BDH= ∠BAC=α， ∵AB=AC ，
∴∠ABC= ∠ACB ∴∠DBH= ∠H， ∴DB=DH ，
∵∠EDF=∠BDH=α， ∴∠BDF=∠HDE ， ∵DF=DE，DB=DH ， ∴△BDF≌△HDE， ∴BF=EH，
∴BF+BE=EH+BE=BH ， ∵DB=DH ，DM ⊥BH ，
∴BM=MH ，∠BDM= ∠HDM ， ∴BM=MH=BD?sin ．
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∴BF+BE=BH=2n?sin ．
（1）只要证明 △BAF ≌△CAE ，即可解决问题；
（2）如图② 中，作DH ∥AC 交 BC 于 H．利用（1）中结论即可解决 问题；
（3）如图③ 中，作DH ∥AC 交 BC 的延长线于 H，作DM ⊥BC 于 M ．只要证明
△BDF ≌△HDE ，可证 BF+BE=BH ，即可解决问题；
本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性 质、
锐角三角函数等知 识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】 解：（ 1） ∵抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B（0， -3）， C（ 1， 0），
∴
， ，
y=x2+2x-3；
解得
所以，抛物线的解析式为 x1=1， x2=-3 ， ∴A（ -3， 0）， ∵B（ 0， 3）， ∴OA=OB=3，
（ 2）① ∵把 y=0 代入解析式可得：
∴△AOB 是等腰直角三角形， ∴∠BAO=45 °， ∵PF ⊥x 轴，
∴∠AEF=90 °-45 °=45 °， 又 ∵PD ⊥AB，
∴△PDE 是等腰直角三角形， ∴PD 越大， △PDE 的周长越大， 易得直线 AB 的解析式为 y=-x-3， 设与 AB 平行的直线解析式为 联立
2
y=-x-m，
，
消掉 y 得， x +3x+m-3=0 ，
即 m= 时，直线与抛物线只有一个交点，
PD 最长，
此时 x=- ， y= -
=- ，
∴点 P（ - ， - ）时， △PDE 的周长最大；
②抛物线 y=x2+2 x-3 的对称轴为直线 x=-
=-1，
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（ i）如图 1，点 M 在对称轴上时，过点
P 作 PQ⊥对称轴于 Q，
在正方形 APMN 中， AP=PM ，∠APM=90°， ∴∠APF+∠FPM =90 °， ∠QPM+∠FPM =90 °， ∴∠APF=∠QPM ，
∵在 △APF 和△MPQ 中，
，
∴△APF ≌△MPQ （ AAS）， ∴PF=PQ，
设点 P 的横坐标为 n（ n＜ 0），则 PQ=-1- n， 即 PF=-1- n，
∴点 P 的坐标为（ n， 1+n）， ∵点 P 在抛物线 y=x22+2 x-3 上， n ∴ +2n-3=1+ n，
2
整理得， n +n-4=0 ， 解得 n1= （舍去）， n2=
，
1+ n=
，
所以，点 P 的坐标为（ ， ）；
（ ii ）如图 2，点 N 在对称轴上时，设抛物线对称轴与
∵∠PAF+∠FPA=90 °，∠PAF+∠QAN=90 °， ∴∠FPA=∠QAN，
又 ∵∠PFA=∠AQN=90°， PA=AN， ∴△APF ≌△NAQ， ∴PF=AQ，
2
设点 P 坐标为 P（ x， x +2x-3），
第22 页，共 24页x 轴交于点，
Q
解得 x= -1（不合题意，舍去）或 此时点 P 坐标为（ - -1，-2）．
x=- -1，
综上所述，当顶点 M 恰好落在抛物线对称轴上时，点 点 N 恰好落在抛物线对称轴上时，点 【解析】
P 坐标为（ -1， -2）．
，
），当顶
P 的坐标为（ -
（1）把点B、C 的坐标代入抛物 线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式
解答即可；
（2）① 根据点 A 、B 的坐标求出 OA=OB ，从而得到△AOB 是等腰直角三角形，
根据等腰直角三角形的性 质可得 ∠BAO=45° ，然后求出△PED 是等腰直角三
角形，根据等腰直角三角形的性 质，PD 越大，△PDE 的周长最大，再判断出当
与直线 AB 平行的直 线与抛物线只有一个交点 时，PD 最大，再求出直线 AB
的解析式 为 y=-x-3 ，设与 AB 平行的直 线解析式为 y=-x+m ，与抛物线解析式
联
别
立消掉 y，得到关于 x 的一元二次方程，利用根的判 式△=0 列式求出 m 的
值，再求出 x、y 的值，从而得到点 P 的坐标；
② 先确定出抛物 线的对称轴，然后（i）分点M 在对称轴上时，过点 P 作 PQ⊥
对称轴于 Q，根据同角的余角相等求出 ∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明
△APF 和△MPQ 全等，根据全等三角形 对应边相等可得 PF=PQ，设点 P的横坐
标为 n，表示出 PQ 的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点
N 在对称轴上时，同理求出△APF 和△ANQ 全等，根据全等三角形 对应边相等可得 PF=AQ，根据点 A 的坐标求出点 P 的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横
坐标，即可得到点 P 的坐标．
本题是二次函数 综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰
直角三角形的判定与性
质
，正方形的性
质
，全等三角形的判定与性
质
，抛物线
上点的坐 标特征，（2）确定出△PDE 是等腰直角三角形，从而判断出点 P 为
平行于 AB 的直线与抛物线只有一个交点 时的位置是解 题的关键，（3）根据全
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等三角形的性 质用点 P 的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐 标是解题
的关键．
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