2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题03 函数模型(原卷版)

专题点拨 随着新高考改革，函数模型的应用题越来越多，新的课程标准中6大学科素养中，其中2个是数学建模和创新能力，这在函数中体现的很明显。其中数学建模主要是指函数模型的解决，主要有一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型、指对数函数模型等。另外就是构造函数的能力。

真题赏析 x31,x01．(2017·上海) 定义在(0,)上的函数yf(x)的反函数为yf(x)，若g(x)为奇

f(x),x011函数，则f(x)2的解为_______．

2．(2018·上海)已知{2,1,,,,1,2,3}，若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0,)上递减，则_______．

1112322x61pq36pq，3． (2018·上海)已知常数a0，函数f(x)x的图像经过点P(p,)，若2Q(q,)，

2ax55则a_________．

例题剖析

【例1】已知函数f(x)1x1x． (1)求函数f(x)的值域；([2,2])

(2)设F(x)m1xf(x)的最大值为g(m)，求g(m)的表达式； (3)在条件(2)下，试求满足不等式g(m)()的实数m的取值范围．

294m

【例2】已知函数f(x)2k2(xR) (1) 判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2) 设k0，问函数f(x)的图像是否关于某直线xm成轴对称图形，如果是，求出m的值；如果不是，请说明理由；

(3)设k1，函数h(x)a22取值范围．

x1xxx4a，若函数f(x)与h(x)的图像有且只有一个公共点，求实数a的3【变式训练2】

已知函数yf(x)，若在定义域内存在x0，使得f(x0)f(x0)成立，则称x0为函数f(x)的局部对称点.

(1) 若a,bR且a0，证明：函数f(x)axbxa必有局部对称点； (2) 若函数f(x)2c在区间[1,2]内有局部对称点，求实数c的取值范围； (3) 若函数f(x)4m2

xx1x2m23在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.

【例3】(2019·宝山区一模)某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y(单位：度)与时间t(单位：小时，t[0,20])近似地满足函数yt13b关系，其中，b为大棚内一天中保温时段的通风量. t+2(1)若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.10C)； (2)若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于170C，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.

(2019·【变式训练3】静安区二模)某文化创意公司开发出一种玩具(单位：套)进行生产和销售.根据以往经验，每月生产x套玩具的成本p由两部分费用(单位：元)构成： 𝑎.固定成本(与生产玩具套数x无关)，总计一百万元； 𝑏.生产所需的直接总成本50𝑥+100𝑥2．

(1)问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？

1

(2)假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x的增大而适当增加.设每套玩具的售价为q元，𝑞=𝑎+𝑏(𝑎，𝑏∈𝑅).若当产量为15000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a、b的值.(利润=销售收入−成本费用)

𝑥

巩固训练 一、填空题

1. 已知偶函数f(x)ln(xa)在区间(0,b]上的最大值为2，则ab ________．

2. 若函数f(a)(xa)(bx2a) (常数a,bR)是偶函数，且它的值域为(,4]，则该函数的解析式

2f(x)________.

3. 若函数f(x)xln(xax)为偶函数，则a________.

2m6)，4.已知函数f(x)xaxb(a,bR)的值域为[0,)，若关于x的不等式f(x)c解集为(m，2则实数c的值为 _____ ．

1xa,x0,fx5. 函数且方程fxx恰有两解，则实数a的取值范围是 . 2fx1,x0.

二、选择题

sin𝑥0≤𝑥≤2

6. (2019·𝑓(𝑥)={414浦东新区三模)已知函数𝑦=𝑓(𝑥)是定义域为R的偶函数，当𝑥≥0时，，

𝑥

(2)+1𝑥>2若关于x的方程[𝑓(𝑥)]2+𝑎𝑓(𝑥)+𝑏=0(𝑎，𝑏∈𝑅)有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是( )

5

𝜋

A. (−，−1)

2

5

B. (−，−)

2

4

9

59

C. (−，−)∪(−，−1)

2

4

4

59

D. (−4，−1)

9

7. 函数f(x)axb的图像，如图所示，则下列结论成立的是( )

(xc)2

A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0

8. 若关于x的不等式x2xa至少有一个负解，则参数a的取值范围为 ( )

25797A．,2 B．,2 C．,2 D．,3

4444三、解答题

9.共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用. 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y (单位：元)与营运天数xxN*满足

1yx260x800.

2 (1)要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； (2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润

10. 若函数f(x)的定义域为R，且对任意x1,x2ÎR都有f(x1+x2)?f(x1)函数”

y的值最大？ xf(x2)，则称f(x)为“V形

(1) 当f(x)=x2时，判断f(x)是否为“V形函数”，并说明理由； (2) 当f(x)=lg(x2+2)时，证明：f(x)是“V形函数”；

(3) 如果函数f(x)=lg(2x+a)为“V形函数”，求实数a的取值范围．

11. 对于函数yf(x)与常数a,b，若f(2x)af(x)b恒成立，则称(a,b)为函数f(x)的一个“p数对”；若f(2x)af(x)b恒成立，则称(a,b)为函数f(x)的一个“类P数对”．设函数f(x)的定义域为R，且

f(1)3．

n(1) 若(2,0)是f(x)的一个“P数对”，且当x[1,2)时f(x)k2x3，求f(x)在区间[1,2)(nN*)上

的最大值与最小值；

nn(2) 若f(x)是增函数，且(2,2)是f(x)的一个“类P数对”，试比较f(2)与2+2(nN*)的大小，并

说明理由．

𝑓1(𝑥)，𝑓1(𝑥)≤𝑓2(𝑥)

12.(2019·徐汇区二模)已知函数𝑦=𝑓1(𝑥)，𝑦=𝑓2(𝑥)，定义函数𝑓(𝑥)={．

𝑓2(𝑥)，𝑓1(𝑥)>𝑓2(𝑥)(1)设函数𝑓1(𝑥)=√𝑥，𝑓2(𝑥)=(2)𝑥−1(𝑥≥0)，求函数𝑦=𝑓(𝑥)的值域；

(2)设函数𝑓1(𝑥)=lg(|𝑝−𝑥|+1)(0<𝑥≤2，p为实常数)，𝑓2(𝑥)=lg𝑥(0<𝑥≤2)，当0<𝑥≤2时，恒有𝑓(𝑥)=𝑓1(𝑥)，求实常数p的取值范围；

(3)设函数𝑓1(𝑥)=2|𝑥|，𝑓2(𝑥)=3⋅2|𝑥−𝑝|，p为正常数，若关于x的方程𝑓(𝑥)=𝑚(𝑚为实常数)恰有三个不同的解，求p的取值范围及这三个解的和(用p表示)．

1

1

1

1

1

新题速递 f(x)1．(2020•虹口区一模)已知函数f(x)|x2|，g(x)|xt|，定义函数F(x)g(x)f(x)„g(x)，若对任

f(x)g(x)意的xR，都有F(x)F(2x)成立，则t的取值为( ) A．4

B．2

C．0

D．2

4x1,x12．(2020•徐汇区一模)已知函数f(x)2关于x的不等式f(x)mx2m20的解集是

x6x10,x„1(x1，x2)(x3，)，若x1x2x30，则x1x2x3的取值范围是 ．

3．(2020•普陀区一模)若M、N两点分别在函数yf(x)与yg(x)的图象上，且关于直线x1对称，则称M、N是yf(x)与yg(x)的一对“伴点” (M、N与N、M视为相同的一对)，已知2x(x2)，g(x)|xa|1，若yf(x)与yg(x)存在两对“件点”，则实数a的取值范f(x)22)4(x4)(x…围为 ．

4．(2020•奉贤区一模)根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升的行为属

于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式pp0gerx(r为常数)．若某人饮酒后血液中的酒精含量为毫克/100毫升，2

小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时)

5．(2020•奉贤区一模)某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价

y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如表：

上市时间x天 市场价y元 4 90 10 51 36 90 (1)根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①yaxb；②yax2bxc；③yaglogbx；④ykgax； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．

6．(2020•浦东新区一模)某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x户(xN*，x„9)从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4x%，而从事水果销售的农户平均每户年收入为1(3x)万元．

5(1)为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？

(2)若一年后，该村平均每户的年收入为f(x)(万元)，问f(x)的最大值是否可以达到2.1万元？

7．(2020•青浦区一模)某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销n10(nN*)10,1剟这个产品的第n个月的利润是f(n)(单位：万元)．记第n个月的当月利润率为

n,11剟n60(nN*)gnf(3)第n个月的利润，例g(3)．

50(f(1)f(2))10%截止到第n个月投入的资金总和(1)求第n个月的当月利润率；

(2)求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．

8．(2020•虹口区一模)某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1(单位：件)，已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k(k…2为正整数)．

(1)设生产甲部件的人数为x，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间；

(2)假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．

9．(2020•崇明区一模)某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求1450060剟x120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为(x100)升．

5x(1)欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；

(2)求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值．

10．(2020•松江区一模)汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法(如图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0、d1、d2、d3，当车速为v(米/秒)，且v[0，33，3]时，通过大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑成都等路面情况而变化，k[0.5，0.9])．

阶段 时间 距离 0、准备 t0 d020米 1、人的反应 t10.8秒 d1 2、系统反应 t20.2秒 d2 3、制动 t3 d312v米 20k(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式d(v)，并求k0.9时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间(精确到0.1秒)； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应在多少米/秒以下？合多少千米/小时？